初中数学几何的动点问题专题练习附答案

动点问题专题训练

1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．

（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇 1.解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米，

∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．

又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，

∴BPD CQP △≌△． ··················· （4分）

P

②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，

又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4

33

BP t ==秒， ∴515

443

Q CQ v t

=

==厘米/秒． ··············· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得15

32104

x x =+?， 解得80

3

x =

秒． ∴点P 共运动了

80

3803

?=厘米． ∵8022824=?+，

∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，

∴经过

80

3

秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ······· （12分） 2、直线3

64

y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出

发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A

运动．

（1）直接写出A B 、两点的坐标；

（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求

出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48

5

S =

时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 2.解（1）A （8，0）B （0，6） 1分 （2）86OA OB ==，

点Q 由O 到A 的时间是881

=（秒）

∴点P 的速度是

610

28

+=（单位/秒） ············· 1分 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，

2S t = ··························· 1分

当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由

PD AP BO AB =

，得4865

t

PD -=， ····· 1分 21324

255

S OQ PD t t ∴=?=-+

·················· 1分 （自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）

（3）82455

P ??

???

， ······················· 1分

1238241224122455555

5I M M 2??????-- ? ? ???????，，，，， ············· 3分

5、在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以

每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间

是t 秒（t ＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与

t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）

（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成

为直角梯形若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值． 5.解：（1）1，85

；

（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC

，4BC =

，

A C

P

图16

得4

5QF

t

=

．∴45

QF t =． ∴14(3)2

5

S t t =-?，

即22655S t t =-+． （3）能．

①当DE ∥QB 时，如图4．

∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°． 由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP

AC

AB

=

， 即335t t

-=． 解得9

8

t =．

②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED

此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得 AQ AP AB

AC

=

，

即35

3t t -=． 解得158t =． （4）5

2

t =或45

14

t

=

． ①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ． 连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．

PC t =，222QC QG CG =+2234

[(5)][4(5)]55

t t =-+--．

由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]5

5t t t =-+--，解得5

2

t =．

②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．

2

2234

(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514

t =】

6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，

过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作 A

A

（备用图）

A

C

P

D

图4

A

C

P

图5

图7

逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB

∥交直线l于点E，设直线l 的旋转角为α．

（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为；

②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；

（2）当90

α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

6.解（1）①30，1；②60，； (4)

分

（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.

∵∠α=∠ACB=900，∴BC∵CE……………………6分在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,

∴∠A=300.

∴AB=4,AC3

∴

AO=1

AC3 . (8)

2

分

在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.

∴BD=2.

∴BD=BC.

又∵四边形EDBC是平行四边形，

∴四边形EDBC是菱

形……………………10分

7如图，在梯形ABCD

中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为

t 秒．

（1）求BC 的长．

（2）当MN AB ∥时，求t 的值．

（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．

7.解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形

∴3KH AD ==． ···················· 1分 在Rt ABK △中，sin 4542

AK AB =?==．

2

cos 4542

42

BK AB =?=

= ·············· 2分 在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==

∴43310BC BK KH HC =++=++= ············ 3分

（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平

行四边形

∵MN AB

∥

∴MN DG ∥ ∴3BG AD ==

∴1037GC =-= ··················· 4分 由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，．

C

M

（图①）

A D

C

B K H

（图②）

A D

C

B

G

M

N

∵DG MN ∥ ∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠ ∴MNC GDC △∽△

∴

CN CM

CD CG =

···················· 5分 即10257

t t -=

解得，50

17

t = ···················· 6分

（3）分三种情况讨论：

①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴10

3

t =

······················ 7分

②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：

由等腰三角形三线合一性质得()11102522

EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，

5cos EC t c NC t

-== 又在Rt DHC △中，3

cos 5

CH c CD ==

∴535

t t -=

解得25

8

t = ····················· 8分

解法二：

∵90C C DHC NEC =∠=∠=?∠∠， ∴NEC DHC △∽△

∴

NC EC

DC HC = 即553

t t -=

A D

C B M

N

（图③） （图④）

A

D C

B M N

H E

∴25

8

t =

······················ 8分 ③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F

点.112

2

FC NC t ==

解法一：（方法同②中解法一）

132cos 1025t

FC C MC t ===- 解得60

17t =

解法二：

∵90C C MFC DHC =∠=∠=?∠∠， ∴MFC DHC △∽△

∴

FC MC

HC DC =

即1102235t

t -= ∴6017

t =

综上所述，当103t =、258t =或60

17

t =时，MNC △为等腰三角形 9分

10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接

ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”

（图⑤）

A D

C

B

H N

M

F

仍然成立，你认为小颖的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

10.解：（1）正确． ·········· （1分）

证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME

．（2分） BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°． CF 是外角平分线， 45DCF ∴∠=°， 135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．

90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，

∴BAE CEF ∠=∠．

AME BCF ∴△≌△（ASA ）． ··············· （5分）

AE EF ∴=． ······················ （6分）

（2）正确． ············ （7分） 证明：在BA 的延长线上取一点N ．

使AN CE =，连接NE ． ······· （8分）

BN BE ∴=．

45N PCE ∴∠=∠=°．

四边形ABCD 是正方形，

AD BE ∴∥．

A

D

F C G

E B

图1 A

D

F C

G E B

图2 A

D

F

C G E B

图3

A D

F C G

E

B

M A

D

F

C G

E B

N

DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．

ANE ECF ∴△≌△（ASA ）．

················ （10分） AE EF ∴=． （11分）

11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．

（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标； 11.解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则ACD BCD △≌△.

设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.

在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+， 即()2

2242m m -=+，解得32

m =.

∴点C 的坐标为302??

???

，. ···················· 4分

（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围； （Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，， 则4B C BC OB OC y '==-=-，

在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.

()2

224y y x ∴-=+，

即2128

y x =-+ ······················· 6分 由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，

∴ 解析式21

28

y x =-+()02x ≤≤为所求.

∴ 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，

y ∴的取值范围为3

22

y ≤≤. ················ 7分

（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．

（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥

则OCB CB D ''''∠=∠.

又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=

∠，，有CB BA ''∥.

Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.

有OB OC OA OB

''=，得2OC OB ''=. ················ 9分 在Rt B OC ''△中，

设()00OB x x ''=>，则02OC x =. 由（Ⅱ）的结论，得2001

228

x x =-+， 解得000808x x x =-±>∴=-+，

∴点C 的坐标为()

016. ················ 10分

12如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD

边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当CE/CD=1/2时，求AM/BN 的值．

图（1）

A B

C

D E

F

M N

数），则

AM

BN

的值等于 ．（用含n 的式子表示） 联系拓广

如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设

()111AB CE m BC m CD n =>=，，

则AM

BN

的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）

12解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．

由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． ······· 1分

∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．

∵

1

12

CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-． 在Rt CNE △中，2

2

2NE CN CE =+．

∴()2

2221x x =-+．解得54x =，即54

BN =． ········· 3分

在Rt ABM △和在Rt DEM △中，

222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，

∴2222AM AB DM DE +=+． ················ 5分

设AM y =，则2DM y =-，∴()2

222221y y +=-+．

解得14y =，即1

4AM =． ················· 6分

∴1

5

AM BN =．

····················· 7分 方法二：同方法一，5

4

BN =． ·············· 3分

如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．

∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．

同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54

AG BN ==． ∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°． 在BCE △与NGM △中

图（2）

N A

B C D E

F

M

N 图A B C

E F

M N

图A B

C

D

E

F

M G

90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠??

=??∠=∠=?

，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ···· ５分

∵114

AM AG MG AM =--=5，=．4 ············· 6分 ∴

1

5

AM BN =．

····················· 7分 12..如图所示，在直角梯形ABCD 中，

AD 25410917()2

211

n n -+2222211n m n n m -++E=AB=12;AE=BP

(1).s=1/2×AB ×DQ=1/2×12×(AD-AQ)=6×(16-t)=96-6t;

(2).当 BC-2t=21-2t=PC=DQ=AD-t=16-t,即t=5时,四边形PCDQO 为平形四边形.

(3).①QE=AE-AQ=BP-AQ=2t-t=t,而ED=AD-AE=16-BP=16-2t;当QE=ED 时,PE 为QD 的垂直平分线时,PQ=PD,而此时t=16-2t; t=16/3;所以当t=16/3时,PD=PQ;

.②在Rt △PEQ 中,PE=AB=12; EQ=AE-AQ=PB-AQ=2t-t=t; PQ2=QE2+PE2=t2+122;

QD2=(AD-AQ)2=(16-t)2; 所以当t2+122=(16-t)2,即:t=时,DQ=PQ; 解：因为∠C=90°，∠CBA=30°，BC=20√3 所以可求出AB ＝40

如图，圆心从A 向B 的方向运动时，共有三个位置能使此圆与直线AC 或直线BC 相切

当圆心在O1点时，设切点为P

显然PO1＝6，∠APO1＝90°，∠AO1P＝30° 所以AO1＝4√3

因为圆O 以2个单位长度/秒的速度向右运动

所以当t1＝4√3/2＝2√3（秒）时，圆O与直线AC相切

当圆心在O2点时，设切点为Q

显然QO2＝6，∠BQO2＝90°，∠QBO2＝30°

所以BO2＝12，AO2＝40－12＝28

因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右运动

所以当t2＝28/2＝14（秒）时，圆O与直线BC相切

当圆心在O3点时，设切点为R

显然RO3＝6，∠BRO3＝90°，∠RBO3＝30°

所以BO3＝12，AO3＝40＋12＝52

因为圆O以2个单位长度/秒的速度向右运动

所以当t3＝52/2＝26（秒）时，圆O与直线BC相切

综上所述，当圆O运动2√3秒、14秒、26秒时与△ABC的一边所在的直线相切.