勾股定理经典例题(含答案)

勾股定理经典例题

类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.

思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

举一反三

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

类型二：勾股定理的构造应用

2

、如图，已知：在中，，

，. 求：BC的长.

1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）

A、450a元

B、225a 元

C、150a元

D、300a元

举一反三【变式1】如图，已知：

，，于P. 求证：.

150°

20m 30m

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

举一反三

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

（二）用勾股定理求最短问题

4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，

沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

类型四：利用勾股定理作长为的线段

5、作长为、、的线段。

作法：如图所示

举一反三【变式】在数轴上表示的点。

解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，

为了有利于画图让其他两边的长为整数，

而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。

类型五：逆命题与勾股定理逆定理

6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

1．原命题：猫有四只脚．（正确）

2．原命题：对顶角相等（正确）

3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）

4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

。

举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.

【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。

请问FE与DE是否垂直?请说明。

【答案】答：DE⊥EF。

证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,

∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；

DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

连接DF（如图）

DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

∴DF2=EF2+DE2,

∴FE⊥DE。

练习

一、判断直角三角形问题：

1、.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是

A.b2=c2－a2

B.a∶b∶c=3∶4∶5

C.∠C=∠A－∠B

D.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15

2、若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是

A.42

B.52

C.7

D.52或7

3、如果△ABC的三边分别为m2－1，2 m，m2+1(m＞1)那么

A.△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1

B.△ABC是直角三角形，且斜边长2 为m

C.△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定

D.△ABC不是直角三角形

4、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24cm 2

B 、36cm 2

C 、48cm 2

D 、60cm 2

5、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④

6、 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )

A. 等边三角形;

B. 钝角三角形;

C. 直角三角形;

D. 锐角三角形. 7、已知0)10(862=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 9、已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2+b 2+c 2+338=10a +24b +26c .试判断△ABC 的形状.

10、若△ABC 的三边长为a ,b ,c ，根据下列条件判断△ABC 的形状.

（1）a 2+b 2+c 2+200=12a +16b +20c (2)a 3－a 2b +ab 2－ac 2+bc 2－b 3=0

11、已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。

经典例题精析

类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A、8，15，17

B、4，5，6

C、5，8，10

D、8，39，40

类型二：勾股定理的应用

2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

【答案】4

【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

（1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

类型三：数学思想方法

方程的思想方法

4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。

思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。

解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，

则，由勾股定理，得。

因为，所以，

，，。

总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。

因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，

在Rt△ABF中，AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，

所以。所以。

设，则。

在Rt△ECF中，，即，解得。

即EF的长为5cm。

三、折叠问题

1、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、6cm 2

B 、8cm 2

C 、10cm 2

D 、12cm 2

2、 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗？

3处，已知AB = 8cm ，BC = 10 cm ，求EC 的长

第11题图