一元二次方程概念专项练习

知识梳理：

1.一元二次方程的一般形式：a x2＋bx＋c=0(a≠0)

2.一元二次方程的特点：

①整式方程

②a不为0

③只含有一个未知数

④未知数的最高次数为2

3.重点：一元二次方程的识别与判断

4.难点：题目不表明所需要判断的方程是一元二次方程还是一元一次方程时，需要分类讨论

一、选择题

1、在下列方程中是一元二次方程的是（）

A．x2－2xy+y2=0 B．x(x+3)=x2－1 C．x2－2x=3 D．x+ =0

2、下列方程为一元二次方程的是 ( )

A. B. C. D.

3、下列方程中，一元二次方程个数（）

①、；②、；③、；④、；⑤、.

A、5个

B、4个

C、3个

D、2个

4、已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）

A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2

5、以1，-2为根的一元二次方程是

A.x2+x-2=0

B.x2-x+2=0

C.x2-x-2=0

D.x2+x+2=0

6、已知x=0是二次方程（m +1）x2+ mx + 4m2- 4 = 0的一个解，那么m的值是（）

A．0 B．1 C．- 1 D．

7、若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

8、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于

A．1 B．2 C．1或2 D．0

9、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知

是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）

A． B． C． D．

10、若为方程的解，则的值为（）

A.12

B.6

C.9

D.16

二、填空题

11、如果,则一元二次方程必有一个根是.

12、已知是方程的解，则代数式的值为 .

13、已知，则的值是 .

14、某中学摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有名学生，则根据题意列出的方程是。

15、若实数a满足，则3___________．

三、简答题

16、关于的方程是否一定是一元二次方程？请证明你的结论.

17、若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值是多少？

18、已知关于x的方程．

（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？

一元二次方程的概念

一元二次方程的概念知识点：一、一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程称为一元二次方程。识别一元二次方程必须抓住三个方面：（1）整式方程（2）含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2次【例】下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？说说你的理由. (1)16x 2= (2)0125x 2=--x (3)032x 2=-+y (4)03x 1 2=-+x (5)0x 2= (6)052x 24=--x 二、一元二次方程的一般形式：02 =++c bx ax （a ≠0）一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下的形式：02=++c bx ax （a ≠0）.这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 【整理】2ax 是二次项，a 是二次项系数， bx 是一次项，b 是一次项系数， c 是常数项. 例1.把6)4)(3(-=-+x x 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。例2.指出 mx 2-nx-mx+nx 2=p 二次项，一次项，二次项系数，一次项系数， . 练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项，常数项。 ①()x x x x 3422 -=- ②()()2 21248-+=+x x x ③12132=+-x x ④ ()0p 2 2≠+-=++-n m q nx mx nx mx 小结：理解一元二次方程以下方面入手：（1）一元：只含有一个未知数，"元"的含义就是未知数（2）二次：未知数的最高次数是2，注意二次系数不等于0. （3）方程：方程必须是整式方程，这是判断的前提。

一元二次方程概念和解法测试题

一元二次方程概念与解法测试题姓名：得分： ⑤2 2230x x x +-=；⑥x x 322 +=；⑦231223x x -+= ；是一元二次方程的是。 1．把下列一元二次方程化成一般形式，并写出相应的二次项系数、一次项系数、常数项： 3．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（） A .2(2)210m x x ---= B .2530k x k ++= C 21203x --= D.22 340x x +-= 4、已知关于x 的一元二次方程5)12(2 =+--a x a x 的一个解为1，则a= 。 5．方程22(4)(2)310m x m x m -+-+-=，当m = 时，为一元一次方程；当m 时，为一元二次方程。 6．已知关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，则m = 。 8、2 2 ___)(_____6+=++x x x ； 2 2 ____)(_____3-=+-x x x 9、方程0162 =-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ; 10、如果二次三项式16)122 ++-x m x （是一个完全平方式，那么m 的值是_______________. 11、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（）； A 、02 =++c bx ax B 、 2112 =+x x C 、122 2-=+x x x D 、)1(2)1(32+=+x x 12、方程()()2 4330x x x -+-=的根为（）；（A ）3x = （B ）125x = （C ）12123,5 x x =-= （D ）1212 3,5x x == 13、解下面方程：（1）()2 25x -=（2）2 320x x --=（3）2 60x x +-=，较适当的方法分别为（）（A ）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法（B ）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法（C ）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法（D ）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法

一元二次方程解法专项训练以及题型分类

一元二次方程题型分类讲解一元二次方程解法《基础训练篇》（1）直接开平方 1.方程 (3x －1)2=－5的解是。 2.用直接开平方解下列方程： (1)4x 2－1＝0 ； (2)(x+4)2 = 9； (3)81(x-2)2=16 ； (4)4(2x+1)2-36=0 ； (5)2 2 )32()2(+=-x x （4）因式分解法 1、填写解方程2-2-3=0x x 的过程解： x -3 x 1 -3x+x=-2x 所以2-2-3=x x （x- ）（x+ ）即（x- ）（x+ ）=0 即x- =0或x+ =0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 2、用十字相乘法解方程6x 2－x -1=0 解： 2x 1 2x- x=-x 所以6x 2－x -1=（2x ）（）即（2x ）（）=0 即2x =0或 =0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 例题1、26=x x 2、4(3+)7(3+)x x x = 3、 244-y+=0 39y 4、2 2-1=9x x （2） 5、20322--x x =0；练习：解方程 1、22-3=0x x 2、(3)3(3)x x x -=- 3、24-12x-9=0x 4、22 -3=25+4x x （）（）

5、2 2-3=-9x x （） 6.3x 2 ＋7x －6=0 ； 7.2216-3(4)x x =+ 8.22 (-3)+436x x = 9.(-3)2(2)x x =+（x+2） 10.2 (4-3)+44-3+4=0x x （） 11. 2x 2 ＋5x ＋2=0； 12.27196=0x x -- （2）配方法 1、填空：（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2； (3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)x 2+px+ =(x+ )2； 2、用配方法解下列方程： (1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0； (3)x 2+23x-4=0； (4)x 2-32x-3 2 =0. （3）公式法 1.用公式法解下列方程： (1) 3 y 2-y-2 = 0 (2) 2 x 2+1 =3x (3)4x 2-3x-1=x-2 (4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1) 一元二次方程考点以及典型例题《提高篇》

一元二次方程的定义教案

第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程的定义【知识与技能】探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】一元二次方程的概念. 【教学难点】如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？你能设出未知数，列出相应的方程吗？【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知

你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？（1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程；一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠

一元二次方程概念题组

一元二次方程的概念题组说明：构建知识框架，复习整式、分式概念、方程的概念（方程的解、一元一次方程）知识点：一元二次方程的概念、一般形式题组1：列方程（不解）（1）如图，要使一个边长为8的正方形花坛的面积增加80平方米后仍为正方形，边长应延长多少米？ m2+16m-80=0 （2）用80米长的篱笆在墙边围一个矩形的草坪，当面积是75平方米是，它的长和宽应是多少米？ x2-40x+375=0 （3）给木质器具表面刷油漆时，每平方米需用油漆100克，当我们把一个正方体表面刷满油漆时，恰好用掉油漆2400克，那么这个正方体的棱长是多少呢？a2-4=0 （4）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x。（5）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x。（6）把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长。（7）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x。（8）有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形? （9）要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? （10）绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900㎡的一块长方形绿地,并且长比宽多10m,则绿地的长和宽名为多少? x2+10x-900=0

（11）学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 5x2+10x-2.2=0 （12）一个直角三角形的两条直角边相差3cm ，面积是9cm 2 ，求较长的直角边的长。（13）用一块长80cm ，宽60cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子．试求出截去的小正方形的边长。x2-70x+825＝0．（14）剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，这块铁片应怎样剪？ x2+5x-150＝0 （15）要设计一座高2m 的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米? 题组2：下列方程哪些是一元二次方程 1常数方程（1）x 3 －2x 2 ＋5＝0；（2）x 2 ＝1；；（3） (x+3)(x-4)=－6 （4）2（x ＋1）2 ＝3（x ＋1）；（5）x 2 －2x ＝x 2 ＋1；（6）2x+1=0（7）5x ＋3＝0，（8）2x ＋ｙ＝3，（9）3122 =+x ，（10）3 2 51 )2(= -x ；（11）x 2 －2x ＋１＝0 (12) y 2 －x+3=7 (1)x2+y+5=0 (2)x2+2x -7=0 (3)x2+2=1/x (4)x2+6x (5)x(2x-3)=6 (6)3m2=2（2m ＋1） (7)x (3＋x2)＋1＝5 （8）3y －5＝4（2－y ）（9）（2k-3）（k+5）＝7k （10）2x （x+3）=6x x2+3x+2=0 （11） 3 x 2 =5x+2 (1) x 2 =0 (2) 1-x 2=0

21一元二次方程专项练习

一元二次方程专项练习一、选择题 x2-2a=0的一个根，则2a-1的值是 1.已知x=2是关于x的方程3 2 ( )．（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，? 制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，?那么x满足的方程是( )．（A）x2+130x-1400=0 （B）x2+65x-350=0 （C）x2-130x-1400=0 （D）x2-65x-350=0 3.当代数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x-2的值是( )．（A）4 （B）0 （C）-2 （D）-4 4.方程（x+1）（x+2）=6的解是( )．（A）x1=-1，x2=-2 （B）x1=1，x2=-4 （C）x1=-1，x2=4 （D）x1=2，x2=3 5.下列方程属于一元二次方程的是( )．（A）（x2-2）·x=x2（B）ax2+bx+c=0 （C）x+1 =5 （D） x x2=0

6.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1， ?那么这个一元二次方程是( )．（A）x2+3x+4=0 （B）x2-4x+3=0 （C）x2+4x-3=0 （D）x2+3x-4=0 7.某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，?这两年平均每年绿地面积的增长率是( )．（A）19% （B）20% （C）21% （D）22% 8.下列方程中，无实数根的是( )．（A）x2+2x+5=0 （B）x2-x-2=0 （C）2x2+x-10=0 （D）2x2-x-1=0 9.方程x（x-1）=5（x-1）的解是( )．（A）1 （B）5 （C）1或5 （D）无解 10.把方程x2-4x-6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为( )．（A）（x-4）2=6 （B）（x-2）2=4 （C）（x-2）2=0 （D）（x-2）2=10 二、填空题 1.已知x2+y2-4x+6y+13=0，x，y为实数，则x y=_________． 2.请写出两根分别为-2，3的一个一元二次方程_________． 3.方程2x2-x-2=0的二次项系数是________，一次项系数是 ________，常数项是________． 4.已知三角形的两边分别是1和2，第三边的数值是方程2x2-5x+3=0 的根，则这个三角形的周长为_______． 5.若方程ax2+bx+c=0的一个根为-1，则a-b+c=_______．

一元二次方程定义及其解法

班级姓名课题一元二次方程定义及其解法（配方法）一、目标导航 1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 二、教学重难点重点：1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 难点：配方法解一元二次方程. 三、走进教材知识点一：一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最

高次数为2的方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。举例：2230x x +-= 3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。自主练习：下列方程中，是一元二次方程的有。（填序号） ①2 5x =； ②30x y +-=； ③253302x x +-=； ④2(5)2x x x x +=-； ⑤23580x x -+=； ⑥2 04y y -=。知识点二：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。

2. 配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是一个非负数，即把一个方程转化成()2 x n p +=（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。 3. 配方法具体操作：（1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举例：解方程2230 +-=， x x （2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配方。举例：解方程22230 +-=。 x x 4. ()2 += x n p x n p +=（p≥0）的解法：对于方程()2

一元二次方程基本概念

一元二次方程基本概念 1、基本概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程（等式），叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 2、解方程常用方法： (1). 直接开平方法: 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n= (2).配方法：左边不含有x的完全平方形式、左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有x的完全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程。转化过程如下： x2-64x+768=0 移项→x2-64x=-768 两边加（ 64 2 ）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024 左边写成平方形式→（x-32）2=?256 ? 降次→x-32=±16 即x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x1=48，x2=16 可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根例1．解下列方程（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．

解：（1）移项，得：x 2+6x=-5 配方：x 2+6x+32=-5+32（x+3）2=4 由此可得：x+3=±2，即x 1=-1，x 2=-5 （2）移项，得：2x 2+6x=-2 二次项系数化为1，得：x 2+3x=-1 配方x 2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54 由此可得x+32=x 132，x 232 （3）去括号，整理得：x 2+4x-1=0 移项，得x 2+4x=1 配方，得（x+2）2=5 x+2=x 1，x 2 总结用配方法解一元二次方程的步骤．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．（3）公式法：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，它的两个根 x 1=2b a -+， x 2=2b a - 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+ b a x=- c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a =±2a

一元二次方程的应用专项练习60题(有答案)

一元二次方程的应用专项练习60题（有答案） 1．某单位组织职工观光旅游，旅行社的收费标准是：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团，结束后，共支付给旅行社2700元．求该单位这次共有多少人参加旅游？ 2．4月7日国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009～20XX年》．某市政府决定用于改善医疗卫生服务的经费为6000万元，并计划20XX年提高到7260万元．若从到20XX年每年的资金投入按相同的增长率递增，求到20XX年的平均增长率． 3．某商场按定价销售某种电器时，每台可获利48元，按定价的九折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等，（1）该电器每台进价、定价各是多少元？（2）按（1）的定价该商场一年可销售这种电器1000台．经市场调查：每降低一元一年可多卖该种电器出10台．如果商场想在一年中使该种电器获利32670元，那么商场应按几折销售？ 4． 5月1日，目前世界上最长的跨海大桥﹣﹣杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用是每车380元，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元．若设问这批货物有x车．（1）用含x的代数式表示每车从宁波港到B地的海上运费；（2）求x的值． 5．有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样大的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个无盖的方盒．如果制成的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得即解方程，得当时，原方程都可化为解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三：【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.

. 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由，得，，

，所以，故. (2)由，得，，，所以故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里并且所以，所以，. (2)将原方程变形为，则，所以，

所以. (3)将原方程展开并整理得，这里，并且，所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为，提取公因式，得，因为，所以所以或，故 (2)直接提取公因式，得所以或，(即故. (3)直接用平方差公式因式分解得

一元二次方程的概念及解法

题型切片（四个）对应题目题型目标一元二次方程的概念例1；例2；演练1；例8 直接开平方法解一元二次方程例3；例4；演练2；配方解一元二次方程例5；例6；演练3；演练4；因式分解法解一元二次方程例7；演练5．模块一一元二次方程的概念知识互联网一元二次方程的基本解法题型切片

定义示例剖析一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ⑴整式方程． ⑵方程中只含有一个未知数． ⑶化简后方程中未知数的最高次数是2． ⑷二次项的系数不为0 22210x x -+= 此方程满足：整式方程；只含有一个未知数x ； x 的最高次数是2，系数是2 所以这个方程是一个一元二次方程．一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=()0a ≠．其中2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程22210x x -+=，其中221a b c ==-=，，．一元二次方程的根：如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠，则0x 就是方程 20(0)ax bx c a ++=≠的一个根． 1满足2110-=，则1是方程20x x -=的一个根．0满足2000-=，则0是方程20x x -=的另一个根．∴0,1是方程20x x -=的两个根，表示为12=0, =1x x 一元二次方程都可化成如下形式： 20ax bx c ++=（0a ≠）． 1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形． 2．一般形式中，b 、c 可以是任意实数，而二次项系数0a ≠，若0a =，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对b 进行讨论． 3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定a 、b 、c 的值，不要漏掉．．符号．．． 4．项及项的系数要区分开．建议强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认识数学概念的方法，在今后学习基本初等函数时也要使用．【例1】 1. 判断下列方程是不是一元二次方程．【例2】 ⑴ 2210x kx --=（k 为常数） ⑵ 4 13 x =+ ⑶ 210x -=；【例3】 ⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2 2 33x x +=-；【例4】夯实基础知识导航

一元二次方程及解法经典习题及解析

┃知识归纳┃ 1．一元二次方程的概念只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．[注意] 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数． 2．一元二次方程的解法一元二次方程有四种解法：法、法、法和法． [注意] 公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0. 3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac (1)Δ>0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根； (2)Δ＝0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根； (3)Δ<0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根． 4．一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝，x1·x2＝. [注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0. 四大解法一、开平方法方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0)

二、配方法 “配方法”的基本步骤：一化、二移、三配、四化、五解 1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方; 4.变形:化成 5.开平方，求解三、公式法 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0. 四、因式分解法 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 解题技巧：先考虑开平方法,

一元二次方程的概念说课稿

21.1 一元二次方程说课稿各位评委老师好：我今天说课的题目内容是：一元二次方程。这节课我将从教材、目标、教法、过程、板书这五方面进行分析。一、教材的地位和作用一元二次方程是新人教版九年制义务教育课本中九年级上第21 章的第一节内容，是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习二次函数、可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式等知识的基础。此外，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念。一、内容和内容解析二、教学目标根据大纲的要求、本节教材的内容和学生已有的知识经验，确定本节课的三维目标：知识与能力目标：（1）继续体会方程是刻画数量关系的一个有效数学模型；（2）理解一元二次方程的概念，一般形式，会将一元二次方程化成一般形式，正确识别一般形式中的项和系数；（3）培养学生观察、类比、归纳的能力。过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学生自己抽象出一元二次方程的概念情感、态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。 3、教学重点与难点要运用一元二次方程解决生活中的实际问题，首先必须了解一元二次方程的概念，而概念的教学又要从大量的实例出发。教学重点：理解一元二次方程的概念，掌握它的一般形式。教学难点：；一元二次方程的概念，正确识别一般式中的项及系数。三、教法、学法：因为学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程及相关概念，所以本节课我主要采用启发式、类比法教学。教学中力求体现“问题情景--- 数学模型----------- 概念归纳” 的模式。指导学生从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点。同时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。四、教学过程设计1．创设情境，引入新知请同学们阅读本章的章前问题--- 雕像的黄金分割问题，并回答：

一元二次方程的概念整理

一元二次方程的概念整理： 1. 一元二次方程的概念：（1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。（2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），才能确定a 、b 、c 的值。一元一次方程与一元二次方程的区别和联系 2. 一元二次方程的解法：熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点。一元二次方程的基本解法有四种：（1）直接开平方法： ()它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的方程。 ax b c a c +=≠≥200() （2）配方法： ()先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。 1x px p x m n n 22 220+?? ?? ?+=≥() （3）公式法：用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。

关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式），若，则代入求根公式。a b c b ac b ac x b b ac a ?=--≥=-±-22 244042 （4）因式分解法：适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。 3. 一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。 4. 一元二次方程的根与系数的关系： ()已知、是一元二次方程＋＋＝的两个根，那么，，，逆命题也成立。x x ax bx c a x x b a x x c a 122121200≠+=-?= 一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用：（1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。（2）不解方程，求某些代数式的值。（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。（4）已知两数和与积，求这两个数。（5）二次三项式的因式分解。 …… 运用根与系数的关系，可以大大缩减了复杂的运算量，避免进行无理数的计算。注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。?≥≠???00a 5. 二次三项式的因式分解：在实数范围内分解二次三项式ax 2＋bx ＋c （a ≠0），可先用求根公式求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根x 1、x 2，然后写成ax 2＋bx ＋c ＝a （x －x 1）（x －x 2）。当a ≠1时，分解时注意不要忘了a 。 ()()例如：x x x 2555-=+- 6. 可化为一元二次方程的分式方程的解法：解分式方程的常用方法是去分母，换元法转化为整式方程求解。解分式方程时，一定要注意验根，验根后要写结论。

九年级数学上册一元二次方程,二次函数的概念练习题

2012届九年级上学期第四周周测（内容：一元二次方程，二次函数的概念，y ax 2 的图像性质）姓名：_______________学号：________成绩：______________一、选择题（该题共有5个小题，每小题4分，共20分）1．下列函数中，开口方向向上的是（） A.y ax2 B.y 2x2 C.1 y x 22 D. 1 y x 2 2 2.方程x22x A. x 2的解为（） B.x 2，x 2 12 C.x 2，x 0 12D.x 2，x 0 12 3.二次函数y 2(x 3)24中，当x 3时，y （） A.-4 B.4 C.5 D.6 4.二次函数y x 2 的图像，在y轴左侧，y随x的增大而（） A.增大 B.减小 C.不变 D.无法确定 5.某校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到8万册，若设这两年的年平均增长率为x，则可列方程为（） A.（51x）28 B.（512x ）8 C.（51-x）28 D.（512x）28 二、填空题（该题共有5个小题，每题4分，共20分） 6.一元二次方程2x23x 20的根的情况是：___________________； 7.写出一个根是-1的一元二次方程：____________________； 8.二次函数2 y x 32 有最________值； 9.函数y 2x 1的取值范围是_____________；

10.矩形的长x与宽的和是14，则矩形面积S与x 的函数关系式为 ___________，自变量的取值范围是______________。三、解答题（共60分） 11.按要求解一元二次方程：（每题7分，共14分）新课标第一网（1）用公式法解方程：（2）用配方法解方程：x24x 10x24x 10 12.（本题满分9分）已知关于x的方程x2kx 60的一个解与方程4x 120的解相同（1）求k的值；（2）求方程x2kx 60的另一个解.

人教版数学中考复习《一元二次方程》专题练习题含答案

人教版数学初三中考复习一元二次方程专题练习题 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是( ) A ．3x 2＋2x －1＝0 B ．5x 2－6y －3＝0 C ．ax 2－x ＋2＝0 D ．3x 2－2x －1＝0 2．若关于x 的方程(a －2)x 2－2ax ＋a ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D ．不等于2的任意实数 3．将一元二次方程3x 2＝－2x ＋5化为一般形式，其一次项系数与常数项的和为____． 4．将一元二次方程y(2y －3)＝(y ＋2)(y －2)化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 2x 2＋x ＝2的解是( ) ＝－1和x ＝0 6．已知关于x 的方程x 2＋x ＋2a －1＝0的一个根是0，则a ＝______． 7．若关于x 的一元二次方程ax 2－bx －2018＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝______． 8．今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m ，若将短边增长到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m 2，设扩大后的正方形绿地边长为x m ，下面所列方程正确的是( ) A ．x(x －60)＝1600 B ．x(x ＋60)＝1600 C ．60(x ＋60)＝1600 D ．60(x －60)＝1600 9. 有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( ) A .12x(x －1)＝45 B. 12x(x ＋1)＝45 C ．x(x －1)＝45 D ．x(x ＋1)＝45 10．如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______________________． 11．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ．x 2＋1x 2＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x ＋2)＝1 D ．x(x －1)＝x 2＋2x 12．若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 13．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝______． 14．若方程(m －2)x 2＋m x ＝1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是

一元二次方程的基本概念及性质

一元二次方程的基本概念及性解法 1、一般式：____________，a 为____________，b 为___________，c 为________。即时巩固: 1．方程（m 2－1）x 2 ＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（）（A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1 2.方程(x –1)(2x +1)=2化成一般形式是，它的二次项系数是 . 2、一元二次方程的解法 (1)直接开平方法（也可以使用因式分解法） ①2(0)x a a =≥ 解为:________ ②2()(0)x a b b +=≥ 解为:__________ ③2()(0)ax b c c +=≥ 解为:_______ ④22 ()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为:_______ 1．方程x 2 －2＝0的解是x ＝； (2)配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示： 2220()()022P P x Px q x q ++=?+-+=示例：222 33310()()1022x x x -+=?--+=②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上： 22220 (0)()0 ()()022b b b ax bx c a a x x c a x a c a a a ++=≠+ +=?-?++= (3)公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 222 4()24b b ac x a a -+=①当____________时，右端是正数．方程有两个不相等的实根： ② 当____________时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根;__________ ③ 当__________________时，右端是负数．因此，方程没有实根。备注：公式法解方程的步骤： ①把方程化成一般形式，并确定出a 、b 、c ②求出2 4b ac ?=-，并判断方程解的情况。③代公式：1,2x =(4)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：2 0(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠?+= 适合用提供因式，而且其中一个根为0 24120(6)(2)0x x x x --=?-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=?-+= 课堂巩固： 1、若12,x x 是方程2 220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 12 11 x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．