2007年四川高考理科数学试卷和答案详解

2007年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第n卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

注意事项：

1 ?答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2 ?每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3?本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：

1 +i 2

(1)复数i的值是

1 -i

(A) 0 (B)1 (C)-1 (D)1

⑵函数f(x)=1+log 2x与g(x)=2 x+1在同一直角坐标系下的图象大致是

X2 _1

2x2 -x -1

(A) 0(B)1

(4)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体,

(A ) BD //平面CB1D1

(C)-

2

F面结论错误

2

(D)3

的是

(5)如果双曲线

2 2

-y 1上一点P到双曲线右焦点的距离是

4 2

2,那么点P到y轴的距离是

(A) 口

3

(B)竽

3

(C) 2 6(D) 23

(B) AC」BD

(C) AC」平面CB1D1 ( D)异面直线AD与CB1角为60

(6)设球0的半径是 1 , A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是丄，且

2 如果事件A、B互斥，那么

P(A B)二P(A) P(B)

如果事件A、B相互独立，那么

P(A B) =P(A) P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

k k n-k

P n(k) =C n P (1 -P)

一?选择题：

球是表面积公式

S 二4 二R2

其中R表示球的半径

球的体积公式

V 二4二R

其中R表示球的半径

2

面角B-OA-C 的大小为一，则从A 点沿球面经 3

5 二 B 、 C 两点再回到 A 点的最短距离是 (A )

6 {a,1}, T (D) 2 {2, b }, C {4,5},为坐标平面上三点， O 为坐标原点，若 (B )4

(7 )设 A T T OA 与0B 在0C 方向 (A) 4a _5b =3 (C) 4a 5b =14 (8) 已知抛物线 (A ) 3 (9) 某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资 的2倍，且对每个项目的投资不能低于 5万元，对项目甲每投资 1万元可获得0.4万元的利润，对项 3 目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大 利润为

(A ) 36万元 (10) 用数字0, 1,

(A ) 288 个 (11) 如图，i 12、 |2与l 3间的距离是2, 则厶ABC 的边长是 上的投影相同，则 a 与b 满足的关系式为

(B )5a -4b =3

(D) 5a 4b =14

-3上存在关于直线 x ? y =0对称的相异两点 A 、B ,则|AB|等于

(B ) 4 ( C ) 32 ( D ) 4 2 (B ) 31.2 万元 (C ) 30.4 万元 (D ) 24 万元 2, 3, 4, 5可以组成没有重复数字，并且比 20000大的五位偶数共有 (B ) 240 个 (C ) 144 个 l 1与l 2间的距离是 I 2、b 上 I 3是同一平面内的三条平行直线， 正三角形ABC 的三顶点分别在 l i 、 (A)

2 3 (12)已知一组抛物线 (B )乞6 (C )

3 1 2 y ax bx 1，其中 2 3.17 4

a 为2,4,6,8中任取的一个数,

1 个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 1 7 (A )丄 (B )— 1

2 60 x=1交点处的切线相互平行的概率是 6 5 (C ) (D )

25 25

二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上. (13) 若函数f(x)=e -(m 皿(c 是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数，贝U m+u= (14) 如图，在正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，侧棱长为、2，底面三角形的边长为

1, 则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 _______ . 2 2 2 2 (15) 已知O O 的方程是x +y -2=0, O O '的方程是x +y -8x+10=0,由动点P 向O

O 和 o

O'所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程是 ____________________ . (16) 下面有五个命题： ①函数y=sin 4x-cos 4

x 的最小正周期是 兀. ② 终边在y 轴上的角的集合是{a|a= k , Z

2

③ 在同一坐标系中，函数 y=sinx 的图象和函数

④ 把函数y =3sin(2x ? §)的图象向右平移

|. y=x 的图象有三个公共点. 6得到y=3S "2x 的图象-

⑤ 函数y =sin(x )在〔0,二〕上是减函数?

其中真命题的序号是

(写出所言 )

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

(17)(本小题满分12 分)已知cos-J ,cos-)J3,且0<

7 14 2

(I )求tan 2 的值.

(n)求「

(18) (本小题满分12分)厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品

(I)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格

品的概率；

(n)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望E '，并求该商家拒收这批产品的概率

(19) (本小题满分12分)如图，PCBM是直角梯形，/ PCB = 90°, PM // BC , PM = 1, BC

=2，又AC = 1，/ ACB = 120 ° ,

(I)求证：平面PAC丄平面ABC

(n)求二面角M - AC - B的大小

(川)求三棱锥P - MAC的体积.

2

(20) (本小题满分12分)设F1、F2分别是椭圆y2=1的左、右焦点.

4

(I)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1 ? PF2的最大值和最小值；

(n)设过定点M(0,2)的直线丨与椭圆交于不同的两点A、B，且/ AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线丨的斜率k的取值范围.

已知函数f(x) x2 4,设曲线y = f (x)在点()处的切线与x轴线发点()()其中xn为实数

(21) (本小题满分12分)

不存在，请说明理由.

(22)(本小题满分14分)

「

1计

1 (n N ,且n 「1,x N). n

1 n

+—i 的展开式中二项式系数最大的项

n

f(2x) +

(n )对任意的实数x,证明')2

n

(川)是否存在a N ，使得an v

k 4

设函数f (x)二 (I )当x=6时,求1

f

⑵ > f (x)( f (x)是f (x)的导函数);

1 1 v (a 1)n 恒成立？若存在，试证明你的结论并求出 a 的值;若

.k

2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

理科数学参考答案

「?选择题: 本题考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分

(1) A(2) C (3) D(4) D(5) A(6) C (7) A(8) C (9) B(10) B(11) D(12) B 二填空题: 本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分

(13) 1z x . x JI

(14) —(15) X =3

- (16)

①④

62

三?解答题：

（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。

1

解：(I)由cos ,0 ::: > :::

7

(n)由0 :::二

又T cos ： - - ，二sin : - - 1 -cos2

cos =cos ： - ： - - - cos cos ： - - sin ： sin ： - - - - 13二3」- 7 14

7 14

所以]二一

3

（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考

察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。

解：（I）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A

用对立事件A来算，有P A]=1-P A =1-0.24 =0.9984

（n）?可能的取值为0,1,2

012

P

136513

190190190

芦136丄51丄3 3

E = 0 1 2 -

190 190 190 10

记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件

p =1 _p B]=1 136 _ 27

190 95

，得sin : . 1 -cos :-=

2

二tan 匚-sin ''

cos a 473 7

= 4.3，于疋tan2 2tan

飞8.3

47

L）小闾2书

136

190

P /工牛=51

C20 190

P =2洛

C20

3

190

B,则商家拒收这批产品的概率

95

（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思 维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。 解法一：

(I)v PC _ AB,PC _ BC, AB^BC =B

??? PC _ 平面 ABC , 又??? PC 二平面PAC

?平面PAC _平面ABC

(n)取BC 的中点N ，则CN =1，连结AN,MN ,

?/ PM 〃CN ,? MN 〃PC ，从而 MN _ 平面 ABC

所以商家拒收这批产品的概率为 27 作NH _ AC ，交AC 的延长线于H ，连结MH ，则由三垂线定理知, 从而.MHN 为二面角M - AC - B 的平面角 直线AM 与直线PC 所成的角为600

? . AMN

AC _ NH ,

在. ACN -600 中， 在. AMN 中, 在. CNH 中, 在 MNH

中, 由余弦定理得 AN

AC 2 CN 2 -2AC CN cos120°

￡

3

if 2 2.3

3

MN NH

MN

=AN cot AMN F'3 =CN sin NCH =1 -3

2 1

"3 二tan MHN 二刖

NH

2

故二面角M - AC - B 的平面角大小为arctan 2 3

3

（川）由（n ）

知，PCMN 为正方形 ? jc SC M 八5 i —E 寸 AC CN sin12° MN 嗚 解法二：（i ）

同解法一 （n ）

在平面 ABC 内，过C 作CD _CB ，建立空间直角坐标系 C-xyz （如图）

，设 P(0,0,Z o 心0 ),

1 =1 —, —,z I 2

2丿 ,CP =(0,0, z 0 )

则 M 0,1, z 0 , AM 由直线AM 与直线PC 所成的解为600

，得 AM CP = AM CP cos60°，即 N 2 = 2 z 02 - 3 3 1

? CM 二 0,0,1 ,CA

, ,0 J 2 2

，设平面MAC 的一个法向量为n 二,,y 1, z/ ,

PFM PF 1 启

cos _ F 1PF 2 PF i 2

+ PF.

2 PF 1 PF 2

J x ,3

y 2

x _ 3 亠 y 2

2 IL

（n ）显然直线x = 0不满足题设条

件, -12 ： = x 2 ? y 2 -3 （以下同解法一）

可设直线I : y =kx-2,A %也,B x ?』？，

y = kx _2

联立*x 2

° ，消去y ，整理得:

——+ y =1

.4

k 2

1

x 2 4kx 3 = 0 4 4k

3

1,x 1 x 2 1 k 2 1 k 2 1 4

4

由 （4k ） -4.k+-

l 4丿

二 x 1 x 2 二

3 3

或 k ? - '

2 2

￡：：_AOB ：：9O 0 = COS A0B 0= OA OB 0 汉 3=4k 2—3>0 得: k <

又

二 OA OB = %x 2 %y 2 0

比乙=0

彳

3

1

，取 X r = 1，得 n = 11, .'3, - 3 f

y

1

z

1 = 0

2 2

i

4

平面ABC 的法向量取为 m =iQ 0,1 显然，二面角 M —AC -B 的平面角为锐角,

故二面角M —AC-B 的平面角大小为

arccos

（川）取平面PCM 的法向量取为m = 1,0,0，则点A 到平面PCM 的距离h =

（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及 推理计算能力。

解：（I ）解法一：易知 a=2,b=1,c=?.3 所以 R 「3,0 ,F 2、,3,0，设 P x,y ，则

—_3 J 3x 2 一8 .亠 4

因为1-2,2 1,故当x = 0，即点P 为椭圆短轴端点时， PF 1

PF 2有最小值-2

当x =「2，即点P 为椭圆长轴端点时，

PR PF ?有最大值1

解法二：易知a =2,b =1,C 「3 , 所以 FN —亦,0 ）, F2（J 3,0 ），设 P （x,y ），则

设m 与n 所成的角为二，则COST 二 T T

CA n

1

v"3

PC

PM

=1

，二 V

P JMAC -V

A_PCM

= ^1

|PC '：PM

PF 1 PF 2

3—x,—y , 、3—x,—y = x 2

y 2

-3= x 2

1

21 7

2