初中数学三角形经典测试题及解析

初中数学三角形经典测试题及解析

一、选择题

1．如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，∠BAF=600，那么∠DAE等于（）

A．45°B．30 °C．15°D．60°

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据矩形的性质得到∠DAF=30°，再根据折叠的性质即可得到结果．

【详解】

解：∵ABCD是长方形，

∴∠BAD=90°，

∵∠BAF=60°，

∴∠DAF=30°，

∵长方形ABCD沿AE折叠，

∴△ADE≌△AFE，

∴∠DAE=∠EAF=1

2

∠DAF=15°．

故选C．

【点睛】

图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量．

2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（）

A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm

【答案】B

【解析】

【分析】

根据“AAS”证明ΔABD≌ΔEBD .得到AD＝DE，AB＝BE，根据等腰直角三角形的边的关系，求

【详解】

∵ BD 是∠ABC 的平分线，

∴ ∠ABD ＝∠EBD .

又∵ ∠A ＝∠DEB ＝90°，BD 是公共边，

∴ △ABD ≌△EBD (AAS)，

∴ AD ＝ED ，AB ＝BE ，

∴ △DEC 的周长是DE ＋EC ＋DC

＝AD ＋DC ＋EC

＝AC ＋EC ＝AB ＋EC

＝BE ＋EC ＝BC

＝10 cm.

故选B.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．

3．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )

A ．2cm ，3cm ，5cm

B ．7cm ，4cm ，2cm

C ．3cm ，4cm ，8cm

D ．3cm ，3cm ，4cm

【答案】D

【解析】

【详解】

A ．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误；

B ．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误；

C ．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误；

D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．

故选D ．

4．如图，在ABC V 中，AB AC =，30A ∠=?，直线a b ∥，顶点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 与点E ，若1145∠=?，则2∠的度数是（ ）

A ．30°

B ．35°

C ．40°

D ．45°

【答案】C

【分析】

先根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得ACB ∠度数，由三角形外角的性质可得AED ∠的度数，再根据平行线的性质得同位角相等，即可求得2∠．

【详解】

∵AB AC =，且30A ∠=?， ∴18030752

ACB ∠?-?=

=?， 在ADE ?中，∵1145A AED ∠∠∠=+=?，

∴14514530115AED A ∠∠=?-=?-?=?，

∵//a b ，

∴2AED ACB ∠∠∠=+，

即21157540∠=?-?=?，

故选：C ．

【点睛】 本题考查综合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及平行直线的性质等知识内容．等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等；三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180?；三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；两直线平行，同位角相等．

5．如图，在Rt ABC ?中，90BCA ∠=?，CD 是高，BE 平分∠ABC 交CD 于点E ，EF ∥AC 交AB 于点F ，交BC 于点G ．在结论：(1) EFD ∠=BCD ∠；(2) AD CD =；

(3)CG EG =；(4) BF BC =中，一定成立的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】B

【解析】

【分析】 根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE=∠BCA=90°，然后根据等角的余角相等即可求出∠EFD=∠BCD ；只有△ABC 是等腰直角三角形时AD=CD ，CG=EG ；利用“角角边”证明△BCE 和△BFE 全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BF=BC ．

【详解】

∵EF ∥AC ，∠BCA=90°，

∴∠CGE=∠BCA=90°，

∴∠BCD+∠CEG=90°，

又∵CD 是高，

∴∠EFD+∠FED=90°，

∵∠CEG=∠FED （对顶角相等），

∴∠EFD=∠BCD ，故（1）正确；

只有∠A=45°，即△ABC 是等腰直角三角形时，AD=CD ，CG=EG 而立，故（2）（3）不一定成立，错误；

∵BE 平分∠ABC ，

∴∠EBC=∠EBF ，

在△BCE 和△BFE 中，

EFD BCD EBC EBF BE BE ∠∠∠∠?????

＝＝＝，

∴△BCE ≌△BFE （AAS ），

∴BF=BC ，故（4）正确，

综上所述，正确的有（1）（4）共2个．

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，综合题，但难度不大，熟记性质是解题的关键．

6．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=?，CA x ⊥轴，点C 在函数

()0k y x x

=

>的图象上，若1AB =，则k 的值为（ ） A ．1

B 2

C 2

D ．2

【答案】A

【解析】

【分析】 根据题意可以求得 OA 和 AC 的长，从而可以求得点 C 的坐标，进而求得 k 的

值，本题得以解决．

【详解】

Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=?，CA ⊥x 轴，1AB =，

45BAC BAO ?∴∠=∠=， 22OA OB ∴==，2AC =， ∴点C 的坐标为2,22?? ? ??，

Q 点C 在函数()0k y x x

=>的图象上， 2212

k ∴=?=， 故选：A ．

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答．

7．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的长为（ ）

A ．9 cm

B ．10 cm

C ．11 cm

D ．12 cm

【答案】B

【解析】

【分析】 由CD ⊥AB ，可得DM=4．设半径OD=Rcm ，则可求得OM 的长，连接OD ，在直角三角形DMO 中，由勾股定理可求得OD 的长，继而求得答案．

【详解】

解：连接OD ，设⊙O 半径OD 为R,

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，

∴DM=1

2

CD=4cm，OM=R-2,

在RT△OMD中，

OD2=DM2+OM2即R2=42+(R-2)2,

解得：R=5,

∴直径AB的长为:2×5=10cm．

故选B．

【点睛】

本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．

8．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则 h 的取值范围是（）

A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm

【答案】C

【解析】

【分析】

筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.

【详解】

当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cm

AD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长

由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形

∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm

∴8cm≤h≤17cm

故选：C

【点睛】

本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.

9．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边

AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）

A．13B．5C．22D．4

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．

若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．

∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．

在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．

在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，

由勾股定理得：AD1=13．

故选A.

考点: 1.旋转；2.勾股定理.

10．如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD 于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）

A．1 B．3

4

C．

2

3

D．

1

2

【答案】D

【解析】

【分析】

由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．

【详解】

∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，

∴△AGC是等腰三角形，

∴AG=AC=3，GF=CF，

∵AB=4，AC=3，

∴BG=1，

∵AE是△ABC中线，

∴BE=CE，

∴EF为△CBG的中位线，

∴EF=1

2

BG=

1

2

，

故选：D．

【点睛】

此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

11．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是()

A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF

【答案】D

【解析】

解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；

∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；

∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；

故选D．

点睛：本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS 和HL是解题的关键．

12．如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）

A．9 B．310C．326

D．12

【答案】B

【解析】

【分析】

将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．

【详解】

解：如图，AB=22(36)3310++= ．

故选：B ．

【点睛】

此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．

13．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）

A ．三条边的比为2∶3∶4

B ．三条边满足关系a 2＝b 2﹣c 2

C ．三条边的比为1∶12

D ．三个角满足关系∠B +∠C ＝∠A

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．

【详解】

A 、三条边的比为2：3：4，22+32≠42，故不能判断一个三角形是直角三角形；

B 、三条边满足关系a 2=b 2-c 2，即a 2+c 2=b 2，故能判断一个三角形是直角三角形；

C 、三条边的比为1：12，12+12=2）2，故能判断一个三角形是直角三角形；

D 、三个角满足关系∠B+∠C=∠A ，则∠A 为90°，故能判断一个三角形是直角三角形． 故选：A ．

【点睛】

此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于掌握判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．

14．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，则等腰三角形顶角的度数是（ ）

A ．140o

B ．20o 或80o

C ．44o 或80o

D ．140o 或44o 或80o

【答案】D

【解析】

【分析】 设另一个角是x ，表示出一个角是2x-20°，然后分①x 是顶角，2x-20°是底角，②x 是底角，2x-20°是顶角，③x 与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．

【详解】

设另一个角是x ，表示出一个角是2x-20°，

①x 是顶角，2x-20°是底角时，x+2（2x-20°）=180°，

解得x=44°，

∴顶角是44°；

②x 是底角，2x-20°是顶角时，2x+（2x-20°）=180°，

解得x=50°，

∴顶角是2×50°-20°=80°；

③x 与2x-20°都是底角时，x=2x-20°，

解得x=20°，

∴顶角是180°-20°×2=140°；

综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．

故答案为：D ．

【点睛】

本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．

15．如图，90ACB ∠=?，AC CD =，过D 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E ，若2AB DE =，则BAC ∠的度数为（ ）

A ．45°

B ．30°

C ．22.5°

D ．15°

【答案】C

【解析】

【分析】 连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，求出∠CAB=∠CDM ，根据全等三角形的判定得出△ACB ≌△DCM ，求出AB=DM ，求出AD=AM ，根据等腰三角形的性质得出即可．

【详解】

解：连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，

∵∠ACB=90°，AC=CD ，

∴∠DAC=∠ADC=45°，

∵∠ACB=90°，DE ⊥AB ，

∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM ，

∵∠ABC=∠DBE ，

∴∠CAB=∠CDM ，

在△ACB 和△DCM 中

CAB CDM AC CD

ACB DCM ∠=∠??=??∠=∠?

∴△ACB ≌△DCM （ASA ），

∴AB=DM ，

∵AB=2DE ，

∴DM=2DE ，

∴DE=EM ，

∵DE ⊥AB ，

∴AD=AM ， 11

4522.522

BAC DAE DAC ??∴∠=∠=

∠=?= 故选：C ．

【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM 是解此题的关键．

16．如图，在ABC ?中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ．ABC ?的周长为19，ACE ?的周长为13，则AB 的长为（ ）

A ．3

B ．6

C ．12

D ．16

【答案】B

【解析】

【分析】 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．

【详解】

∵AB 的垂直平分线交AB 于点D ，

∴AE=BE ，

∵△ACE 的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13，△ABC 的周长=AC+BC+AB=19，

∴AB=△ABC 的周长-△ACE 的周长=19-13=6，

故答案为：B ．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

17．如图,在ABC ?中,90C ∠=?,2AC =,点D 在BC 上,5AD =,ADC 2B ∠=∠,则BC 的长为（ ）

A 51

B 51

C 31

D 31

【答案】B

【解析】

【分析】 根据ADC 2B ∠=∠，可得∠B=∠DAB ，即5BD AD ==

Rt △ADC 中根据勾股定理可得DC=1，则51.

【详解】

解：∵∠ADC 为三角形ABD 外角

∴∠ADC=∠B+∠DAB

∵ADC 2B ∠=∠

∴∠B=∠DAB ∴5BD AD ==在Rt △ADC 中，由勾股定理得：22DC 541AD AC =

-=-=

∴51

故选B

【点睛】

本题考查勾股定理的应用以及等角对等边，关键抓住ADC 2B ∠=∠这个特殊条件.

18．如图，经过直线AB 外一点C 作这条直线的垂线，作法如下：

（1）任意取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两旁．

（2）以点C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和E ．

（3）分别以点D 和点E 为圆心，大于12

DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ． （4）作直线CF ．

则直线CF 就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定．．．是等腰三角形的为（ ）

A ．△CDF

B ．△CDK

C ．△CDE

D ．△DEF

【答案】A

【解析】

【分析】 根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.

【详解】

由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK

所以，是等腰三角形的有 △CDK ， △CDE ，△DEF ；△CDF 不一定是等腰三角形.

故选：A

【点睛】

考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键.

19．一个等腰三角形的顶角为钝角，则底角a 的范围是（ ）

A ．0°

B ．30°

C ．0°

D ．45°

【答案】C

【解析】：∵等腰三角形顶角为钝角

∴顶角大于90°小于180°

∴两个底角之和大于0°小于90°

∴每个底角大于0°小于45°

故选：C

20．如图，在ABC V 中，90C ∠=?，60CAB ∠=?，按以下步骤作图：

①分别以A，B为圆心，以大于1

2

AB的长为半径画弧，两弧分别相交于点P和Q．

②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若4

CE ，则AE的值为（）A．6B．2C．43D．8

【答案】D

【解析】

【分析】

根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB＝∠CAE＝30°，即可得出AE的长．

【详解】

由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，

∵在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，

∴∠CBA＝30°，

∴∠EAB＝∠CAE＝30°，

∴CE＝1

2

AE＝4，

∴AE＝8．

故选D．

【点睛】

此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB＝∠CAE＝30°是解题关键．