初中数学教师解题比赛训练讲义
第2题
从正面看 第7题
C
B A
第6题
初中数学综合讲义（1）姓名＿＿＿
一、选择题
1．如图，反比例函数y ＝k
x 的图象经过点A (－1,－2)．
则当x ＞1时，函数值y 的取值范围是( )
A ．y ＞1
B ．0＜y ＜1
C ．y ＞2
D ．0＜y ＜2
2．如图，是由8个相同的小立方块搭成的几何体的左视图，它的三个视图是2×2的正方形．若拿掉若干个小立方块后（几何体不倒掉．．．），其三个视图仍都为2×2的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的距离为
20千米．他们前进的路程为s (单位：千米)，甲出发后的时间为 t (单位：小时)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是( ) A ．甲的速度是4千米/小时 B ．乙的速度是10千米/小时 C ．乙比甲晚出发1小时 D ．甲比乙晚到B 地3小时
4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）(a ＞2)，半径
为2，函数y =x 的图象被⊙P 的弦AB
的长为a 的值是( ) A
．B
．2+
C
．D
．2
二、填空题
5．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，请再添加一个条件，使
四边形ABCD 是矩形，你添加的条件是 ．（写出一种即可） 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕A
按逆时针方向旋转15°后得到△A 1B 1C 1，B 1C 1交AC 于点D ，如果AD ＝22，则△ABC 的周长等于 ．
D
E (第13题图) 7．△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A ＝_ ．
8．一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角长为_ ． 9．如图，海边有两座灯塔A 、B ，暗礁分布在经过A 、B 两点的弓形（弓形的弧是⊙O 的一
部分）区域内，∠AOB =80°，为了避免触礁，轮船P 与A 、B 的张角∠APB 的最大值为______°．
10．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，BE =CF ，连接AE 、BF ，将△
ABE 绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF ，旋转角为a （0°＜a ＜180°），则∠a =______．
11．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为____________． 12．已知：如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，并与直线 y ＝
3
3
x 相切。设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ． 三、解答题 13．一枚棋子放在边长为1个单位长度的正六边形ABCDEF 的顶点A 处，通过摸球来确定
该棋子的走法，其规则是：在一只不透明的袋子中，装有3个标号分别为1、2、3的相同小球，搅匀后从中任意摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个，摸出的两个小球标号之和是几棋子就沿边按顺时针方向走几个单位长度．棋子走到哪一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率．（用列表或画树状图的方法求解）
(第9题
)
(第10题)
A
B
C
D
F
(第12题)
14．如图，有牌面数学都是2，3，4的两组牌．从每组牌中各随机摸出一张，请用画树状图或列表的方法，求摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率．
(1)
从口袋内任取一张卡片，卡片上数字是偶数的概率是 ；
(2)从口袋内任取一张卡片记下数字后放回．搅匀后再从中任取一张，求两张卡片上数字
和为5的概率．
15．光明中学十分重视中学生的用眼卫生，并定期进行视力检测．某次检测设A 、B 两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力． （1）求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率；
（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B 处检测视力的概率．
16．如图，自来水厂A 和村庄B 在小河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设一知输水管道．为了
搞好工程预算，需测算出A ，B 间的距离．一小船在点P 处测得A 在正北方向，B 位于南偏东24.5°方向，前行1200m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏东49°方向，B 位于南偏西41°方向．
（1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由； （2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）
17．如图，AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB，求∠B的度数．
18．已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF．将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F ′O E ′（如图2）．（1）探究AE ′与BF ′的数量关系，并给予证明；
（2）当α＝30°时，求证：△AO E ′为直角三角形．
19．（7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．
⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
第22题
20．如图，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图象与x 轴的一个交点为A (4,0)，与y 轴交于点B ．
（1）求此二次函数关系式和点B 的坐标；
（2）在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得△P AB 是以
AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，抛物线y ＝1
2
x 2－x ＋a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C 其顶点在直线y ＝－2x 上． （1）求a 的值； （2）求A ，B 的坐标；
（3）以AC ，CB 为一组邻边作□ACBD ，则点D 关于x 轴的对称点D ′ 否在该抛物线上？请说明理由．
22．已知∠AOB ＝60°，半径为3cm 的⊙P 沿边OA 从右向左平行移动，与边OA 相切的切
点记为点C ．
（1）⊙P 移动到与边OB 相切时（如图），切点为D ，求劣弧的长； （2）⊙P 移动到与边OB 相交于点E ，F ，若EF ＝42cm ，求OC 的长；
23．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6㎝，BC =8㎝，P 为BC 的中点．动点Q 从
点P 出发，沿射线PC 方向以2㎝/s 的速度运动，以P 为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q 运动的时间为t s ．
⑴当t =1.2时，判断直线AB 与⊙P 的位置关系，并说明理由； ⑵已知⊙O 为△ABC 的外接圆，若⊙P 与⊙O 相切，求t 的值．
24．如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果
存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．
⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点．
⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．
①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
B
B
B C
C C
①
②
③
(第24题)
(第23题)
25．小华观察钟面（题27－1图），了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针每小时旋转30度．他为了进一步探究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2:00开始对钟面进行了一个小时的观察．为了探究方便，他将分针与分针起始位置OP （题27－2图）的夹角记为y 1度，时针与OP 的夹角记为y 2度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为t 分钟．观察结束后，他利用获得的数据绘制成图象（题27－3图），并求出了y 1与t 的函数关系：y 1
＝???6t （0≤t ≤30）－6t ＋360（30≤t ≤60）
．
请你完成：
（1）求出题27－3图中y 2与t 的函数关系式；
（2）直接写出A 、B 两点的坐标，并解释这两点的实际意义； （3）若小华继续观察一个小时，请你在题27－3图中补全图象．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．当E、F 同时从点P出发，分别沿P A、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，当点E 到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S
（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是▲；
当t＝3时，正方形EFGH的边长是▲；
（2）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系；
（3）直接答出：在整个运动过程中
．．．．．．．，当t为何值时，
S最大？最大面积是多少？
A
B
C
图1
P 1 P 2
R 2
R 1
A
B
C
图2
P 1 P 2 R 2
R 1
D
12A
D
C
B
P 1 P 2 P 3 P 4
Q 1 234图3
A
D
P 1 P 2 P 3
B
Q 1
2 3
C
图4
S 1 S 2 S 3
S 4 27．某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论： （1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比； （2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
…
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S 表示面积） 问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC ，P 1，P 2三等分边AB ，R 1，R 2三等分边AC ．经
探究知
2
121R R P P S 四边形＝1
3
S △ABC ，请证明．
问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD ，如图2，
Q 1，Q 2三等分边DC ．请探究2
211P Q Q P S 四边形与S 四边形ABCD 之间的数量关系．
问题3：如图3，P 1，P 2，P 3，P 4五等分边AB ，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4五等分边DC ．若S 四边
形ABCD
＝1，求3
32
2
P Q Q P S 四边形．
问题4：如图4，P 1，P 2，P 3四等分边AB ，Q 1，Q 2，Q 3四等分边DC ，P 1Q 1，P 2Q 2，P 3Q 3
将四边形ABCD 分成四个部分，面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．请直接写出含有S 1，S 2，S 3，S 4的一个等式．
28．问题情境
已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型
设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x
=+＞．
探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1
(0)y x x x
=+
＞的图象性质． ① 填写下表，画出函数的图象： ②
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数1
y x x
=+
(x ＞0)的最小值． 解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
29．已知A (1,0)、B (0,－1)、C (－1,2)、D (2,－1)、E (4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k (a ＞0)经过其中三个点．
（1）求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k (a＞0)上；
（2）点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k ( a＞0)上吗？为什么？
（3）求a与k的值．
30．如图，直线l 经过点A (1,0)，且与曲线y ＝m
x (x ＞0)交于点B (2,1)．过点P (p ,p －1) (p ＞
1)作x 轴的平行线分别交曲线y ＝m x (x ＞0)和y ＝－ m
x (x ＜0)于M 、N 两点．
（1）求m 的值及直线l 的解析式；
（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；
（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △APM ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不
存在，请说明理由．
1.D．
2.B
3. A
4.B
5.对角线相等．
6.3+．
7.
5
58. 2 2 9. 40 10. 90°．11. 4 12. 9
13
和为2的有1次，和为3的有2次，和为4的有3次，和为5的有2次，和为6的有1次，
所以走到E点的可能性最大？
P（走到E点）＝1/3
14.画树状图：
∴共有9种等可能的结果，其中两张牌的牌面数字之和为6的占三种，
∴摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率==．
15：(1)列出甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力的所有情况：
三人都不选A处，则三人都选B处，计1种情况。
三人中一人选A处，另二人选B处，计3种情况；甲选A处，乙、丙选B处；乙选A处，甲、丙选B处；丙选A处，甲、乙选B处。
三人中二人选A处，另一人选B处，计3种情况；甲、乙选A处，丙选B处；甲、丙选A 处，乙选B处；乙、丙选A处，甲选B处。
三人都选A处，则三人都不选B处，计1种情况。
所有可能情况计8种情况，甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的情况计2种情况：都选A处或都选B处。因此甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率为
21
84
=。
(2)甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的情况计4种情况：三人中有二人选
B处和三人都选B处。因此甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率为41 82 =。
16．解：（1）相等
由图易知，∠QPB＝65.5°，∠PQB＝49°，∠AQP＝41°，
∴∠PBQ＝180°－65.5°－49°＝65.5°．∴∠PBQ＝∠BPQ．
∴BQ＝PQ
（2）由（1）得，BQ ＝PQ ＝1200 m ．
在Rt △APQ 中，AQ ＝PQ cos ∠AQP ＝1200
0.75 ＝1600（m ）．
又∵∠AQB ＝∠AQP ＋∠PQB ＝90°，
∴Rt △AQB 中，AB ＝AQ 2＋BQ 2 ＝16002＋12002 ＝2000（m ）．
答：A ，B 间的距离是2000 m ．
17：∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC ＝∠COB ，
∵AM 切⊙O 于点A ，即OA ⊥AM ，又BD ⊥AM ， ∴OA ∥BD ，∴∠AOC ＝∠OCB
又∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠B ，∴∠B ＝∠OCB ＝∠COB ＝600。 18：(1)AE 1＝BF 1，证明如下：
∵O 为正方形ABCD 的中心，∴OA ＝OB ＝OD ，∴OE ＝OF ∵△E 1OF 1是△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到，∴OE 1＝OF 1。 ∵ ∠AOB ＝∠EOF ＝900， ∴ ∠E 1OA ＝900－∠F 1OA ＝∠F 1OB OE 1＝OF 1 在△E 1OA 和△F 1OB 中， ∠E 1OA ＝∠F 1OB ，∴△E 1OA ≌△F 1OB （SAS ） OA ＝OB ∴ AE
1＝BF 1。
(2)取OE 1中点G ，连接AG 。 ∵∠AOD ＝900，α＝30° ， ∴ ∠E 1OA ＝900－α＝60°。
∵OE 1＝2OA ，∴OA ＝OG ，∴ ∠E 1OA ＝∠AGO ＝∠OAG ＝60°。 ∴ AG ＝GE 1，∴∠GAE 1＝∠GE 1A ＝30°。∴ ∠E 1AO ＝90°。
∴△AOE 1为直角三角形。 19：⑴当x =0时，1y =．
所以不论m 为何值，函数261y mx x =-+的图象经过y 轴上的一个定点（0，1）． ⑵①当0m =时，函数61y x =-+的图象与x 轴只有一个交点；
②当0m ≠时，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则方程
2610mx x -+=有两个相等的实数根，所以2(6)40m --=，9m =．
综上，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9． 20.（1）把点A （4，0）代入二次函数有： 0=﹣16+4b+3
得：b=
所以二次函数的关系式为：y=﹣x 2
+x+3．
当x=0时，y=3
∴点B 的坐标为（0，3）． （2）如图：
作AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，连接BP ， 则：BP=AP
设BP=AP=x ，则OP=4﹣x ，
在直角△OBP 中，BP 2=OB 2+OP 2
即：x 2=32+（4﹣x ）2
解得：x=
∴OP=4﹣=
所以点P 的坐标为：（，0）
21．解：（1）抛物线的顶点坐标为(1,a －12
)
∵顶点在直线y ＝－2x 上，∴a －12 ＝－2．即a ＝－ 3
2
（2）由（1）知，抛物线表达式为y ＝12 x 2－x － 3
2
，
令y ＝0，得12 x 2－x － 3
2
＝0．解之得：x 1＝－1，x 3∴A 的坐标 (－1,0)，B 的坐标 (3,0)； （3）解法一：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴点C ，D 关于对角线交点(1,0)对称 又∵点D ′ 是点D 关于x 轴的对称点， 点C ，D ′ 关于抛物线的对称轴对称． ∴D ′ 在抛物线上．
解法二：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，
∵A 的坐标 (－1,0) ，B 的坐标 (3,0)， C 的坐标 (0, —3
2
)
∴AO ＝1，BO ＝3 OC ＝3
2
在□ACBD 中，AC ＝DB ，AC ∥DB ，∴∠CAB ＝∠DBA 在△AOC 和△BDE 中 AC ＝DB ∠CAB ＝∠DBA ∠AOC ＝∠DEB ＝90° ∴△AOC ≌△BDE
∴
AO ＝BE ＝1 OC ＝DE ＝32
∴OE ＝2
∴D 的坐标 (2, 3
2 )
∴D ′ 的坐标 (2, －3
2
)
把x ＝2代入函数关系式得 y ＝12 ×22－2－ 32 ＝12 ×4－2－ 32 ＝－32 ∴D ′ 在抛物线上．
22．解：（1）连接PC ，PD （如图）
∵OA ，OB 与⊙P 分别相切于点C ，D ∴∠PDO ＝∠PCO ＝90°，
又∵∠PDO ＋∠PCO ＋∠CPD ＋∠AOB ＝360°． ∠AOB ＝60°
∴∠CPD ＝120°
l ＝120×π×3180
＝2 π．
（2）可分两种情况．
① 如答图2，连接PE ，PC ，过点P 作PM ⊥EF 于点M ，延长CP 交OB 于点N ∵EF ＝42，∴EM ＝22cm ．
在Rt △EPM 中，PM ＝32
－(22)2
＝1． ∵∠AOB ＝60°，∴∠PNM ＝30°． ∴PN ＝2PM ＝2．∴NC ＝PN ＋PC ＝5． 在Rt △OCN 中，OC ＝NC ·tan30°＝5×
33 ＝53
3
(cm)． ② 如答图3，连接PF ，PC ，PC 交EF 于点N ，过点P 作PM ⊥EF 于点M ．由上一种情况可知，PN ＝2，∴NC ＝PC －PN ＝1．
在Rt △OCN 中，OC ＝NC ·tan30°＝1×33 ＝3
3 (cm)． 综上所述，OC 的长为533 cm 或3
3
cm ．
23:⑴直线AB 与⊙P 相切．
如图，过点P 作PD ⊥AB , 垂足为D ．
在Rt △A BC 中，∠ACB ＝90°，∵AC =6cm ，BC =8cm ， ∴10AB cm =．∵P 为BC 的中点，∴PB =4cm ．
∵∠P DB ＝∠ACB ＝90°，∠PBD ＝∠ABC ．∴△PBD ∽△ABC ． ∴
PD PB AC AB =,即4
610
PD =，∴PD =2.4(cm) ． 当 1.2t =时，2 2.4PQ t ==(cm)
∴PD PQ =，即圆心P 到直线AB 的距离等于⊙P 的半径． ∴直线AB 与⊙P 相切．
⑵ ∠ACB ＝90°，∴AB 为△ABC 的外切圆的直径． ∴1
52
OB AB cm =
=． 连接OP ．∵P 为BC 的中点，∴1
32
OP AC cm =
=． ∵点P 在⊙O 内部，∴⊙P 与⊙O 只能内切． ∴523t -=或253t -=，∴t =1或4． ∴⊙P 与⊙O 相切时，t 的值为1或4．
24: ⑴在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 上的中线，∴1
2
CD AB =
，∴CD =BD ． ∴∠BCE ＝∠ABC ．∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝90°，∴∠BEC ＝∠ACB ．∴△BCE ∽△ABC ． ∴E 是△ABC 的自相似点．
⑵①作图略． 作法如下：（i ）在∠ABC 内，作∠CBD ＝∠A ；（ii ）在∠ACB 内，
作∠BCE ＝∠ABC ；BD 交CE 于点P ．则P 为△ABC 的自相似点．
②连接PB 、PC ．∵P 为△ABC 的内心，∴12PBC ABC ∠=
∠，1
2
PCB ACB ∠=∠． ∵P 为△ABC 的自相似点，∴△BCP ∽△ABC ．
∴∠PBC ＝∠A ，∠BCP ＝∠ABC=2∠PBC =2∠A ， ∠ACB ＝2∠BCP=4∠A ． ∵∠A +∠ABC+∠ACB ＝180°． ∴∠A +2∠A+4∠A ＝180°．
∴1807A ∠= ．∴该三角形三个内角的度数分别为1807 、3607 、7207
．
25.（1）y 2=0.5t ； （2）A （12，6），B （55
，
）；
A 表示时针与分针第一次重合的情况，
B 表示是时针与分针与起始位置OP 的夹角的和是360
度．
（3）
26.（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1， ∴正方形EFGH 的边长是2； 当t=3时，PE=1，PF=3， ∴正方形EFGH 的边长是4；
A
B
C
图 2
P 1 P 2 R 2
R 1
D
Q 1
Q 2
（2）：①当0＜t≤时，S 与t 的函数关系式是y=2t×2t=4t 2
；
②当＜t≤时，S 与t 的函数关系式是：
y=4t 2
﹣
[2t ﹣（2﹣t ）]×[2t ﹣（2﹣t ）]，=﹣t 2
+11t ﹣3；
③当＜t≤2时；S 与t 的函数关系式是：y=（
t+2）×（t+2）﹣（2﹣t ）（2﹣t ）=3t ；
（3）当t=5时，最大面积是：s=16﹣××=；
27．解：问题1：方法1：由结论（2），可知S 11R
AP ?S 2
2R
AP ? ＝AP 1·AR 1AP 2·AR 2 ＝14 ．
同理可得S 1
1R
AP ?S △ABC ＝19 ，S 22R AP ?S △ABC ＝49 ，
∴2121R R P P S 四边形＝4－19 S △ABC ＝1
3
S △ABC
方法2：∵P 1，P 2三等分边AB ，R 1，R 2三等分边AC ，
∴P 1R 1∥P 2R 2∥BC ．∴△AP 1 R 1∽△AP 2R 2∽△ABC ，且面积比为1:4:9． ∴2
121R R P P S 四边形＝4－19 S △ABC ＝1
3 S △ABC
问题2：连接Q 1R 1，Q 2R 2，如图，由问题1的结论，可知 ∴2
121R
R P P S 四边形＝13 S △ABC ，2
211Q R R Q S 四边形＝1
3 S △ACD ∴2121R R P P S 四边形＋2211Q R R Q S 四边形＝1
3
S 四边形ABCD
由∵P 1，P 2三等分边AB ，R 1，R 2三等分边AC ，Q 1，Q 2三等分边DC ， 可得P 1R 1:P 2R 2＝Q 2R 2:Q 1R 1＝1:2，且P 1R 1∥P 2R 2，Q 2R 2∥Q 1R 1． ∴∠P 1R 1A ＝∠P 2R 2A ，∠Q 1R 1A ＝∠Q 2R 2A ．∴∠P 1R 1Q 1＝∠P 2R 2 Q 2．
由结论（2），可知111Q R P S ?＝222Q R P S ?．
∴2211P Q Q P S 四边形＝2211P R R P S 四边形＋2211Q R R Q S 四边形＝1
3 S 四边形ABCD
． 问题3：设2211P Q Q P S 四边形＝A ，4433P Q Q P S 四边形＝B ，设3322P Q Q P S 四边形＝C ， 由问题2的结论，可知A ＝1
3
33P ADQ S 四边形，B ＝13 CB
Q P S 22四边形．
A ＋
B ＝13 (S 四边形ABCD ＋C)＝1
3
(1＋C)．
又∵C ＝13 (A ＋B ＋C)，即C ＝13 [1
3 (1＋C)＋C]．
整理得C ＝15 ，即3322P Q Q P S 四边形＝1
5
问题4：S 1＋S 4＝S 2＋S 3．
函数y x x
=+(0)x >的图象如图．
②本题答案不唯一，下列解法供参考．
当01x <<时，y 随x 增大而减小；当1x >时,y 随x 增大而增大；当1x =时函数
1
y x x
=+
(0)x >的最小值为2．
③1y x x =+
=2
2+=22+-
=2
2+
，即1x =时，函数1y x x =+(0)x >的最小值为2．
⑵仿⑴③2()a y x x =+
=222??+???
?=222?
+-??
=2
+
，即x=2()(0)
a
y x x
x
=+＞
的最小值为
29：(1)
(4，2)都在抛物线y＝a(
x－1)2＋k
(a＞0)上，联立方程，
解之得a＝0，k＝2。这与要求的a＞0不符。
∴C、E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。
(2)点A不在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。这是因为如果点A在抛物线上，则k＝0。B(0，－1)在抛物线上，得到a＝－1，D(2，－1)在抛物线上，得到a＝－1，这与已知a＞0不符；而由(1)知，C、E两点不可能同时在抛物线上。
因此点A不在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上。
(3)综合(1)(2)，分两种情况讨论：
①抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)三个点，
a(0－1)2＋k＝－1
联立方程a(－1－1)2＋k＝2，
a(2－1)2＋k＝－1
解之得a＝1，k＝－2。
②抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过B(0，－1)、D(2，－1)、E(4，2)三个点，
a(0－1)2＋k＝－1
联立方程a(2－1)2＋k＝－1，
a(4－1)2＋k＝2
解之得a＝
3
8
，k＝
11
8
-。
因此，抛物线经过B、C、D三个点时，a＝1，k＝－2。抛物线经过B、D、E三个点时，a＝
3
8
，k＝
11
8
-。
30：(1)由点B(2，1)在y＝
m
x上，有2＝1
m
，即m＝2。
y kx b
=+，由点A(1，0)，点B(2，1)在y kx b
=+上，得
，解之，得1=1
k b
=-
，
1
y x
=-。
(2) 点P(p，p－1)在直线y＝2上，∴P在直线l上，是直线y＝2
和l的交点，见图（1）。
∴根据条件得各点坐标为N（－1，2），M（1，2），P（3，2）。
∴NP＝3－（－1）＝4，MP＝3－1＝2，AP=
BP
初中数学青年教师解题竞赛试卷
初中数学青年教师解题竞赛试卷 一、填空（本题共有8小题，每小题5分，共40分） 1?把多项式x2y—xy 遵y分解因式所得的结果是 _________________________ . 2?如果不等边三角形各边长均为整数，且周长小于13,那么这样的三角形共有____________ 个. 3?函数y=^3 + 2x—x2中，自变量x的取值范围是__________________ . 4?若关于未知数x的一元二次方程（m - 1）x2+ x + m2+ 2m-3 = 0有一个根为0，则m的 ________ 5.条件P：x=1或x=2，条件q：x -1 = J x-1中，P是q的______________________ 条件.（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中的一个） 6.两个等圆相交于A、B两点，过B作直线分别交两圆于点C、D .那么△ ACD —定是 ________________ 三角形.（要求以边或角的分类作答） 7?—直角三角形的斜边长为c,它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的 8?不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高也为整数，那么它的长度最大可 能是______________ ? 二、（本题满分12分） 9.如图，已知点A在O O上，点B在O O夕卜，求作一个圆，使它经过点B,并且与O O相切于点A. （要求写出作法，不要求证明） O ?A 三、（本题满分12分） 10?一次选拔考试的及格率为25%，及格者的平均分数比规定的及格分数多15分，不及格者的平均分数比规定的及格分数少25分，又知全体考生的平均分数是60分，求这次考试规定的及格分数是多少？ 四、（本题满分13分） 11.有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000米处放一根，以后每50米放一根，一辆汽车每次只能运3根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少千米？ 五、（本题满分13分） 12 .正实数a、b满足a b=b a，且a v 1，求证：a=b. 六、（本题满分14分）
2020年初中数学教师培训心得体会(精选5篇)
2020年初中数学教师培训心得体会（精选5 篇） 2020年初中数学教师培训心得体会 当我们心中积累了不少感想和见解时，写心得体会是一个不错的选择，这样我们就可以提高对思维的训练。那么问题来了，应该如何写心得体会呢？下面是为大家整理的2020年初中数学教师培训心得体会，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。 初中数学教师培训心得体会1 八月十六日，我有幸参加了常德淮阳中学初中部教师培训，经过学习，使我受益匪浅，此次培训内容相当丰富，主要有师德师风学习、规章制度学习、班主任工作交流会，集体备课等。 特别是听了各位班主任的经验交流之后，我对班级工作也有了新的看法与思考： 第一，走进学生，和学生做朋友。作为班主任就应该走进学生，亲近学生，与学生建立一种和谐、民主、平等的师生关系，用心去了解学生的一切，用爱去管理班级。 第二，和学生一起共同管理好班级，形成班集体荣誉感。对于班规，一旦形成就要严格执行，特别是对班干部，既要树立他们的威信，又要加以严格要求。 第三，竖立良好的班风，形成正确的舆论。好的环境能够激励人，可以改造人，因此这个集体需要有一种精神，那就是蓬勃向上的集体
主义精神，你追我赶、爱班好学的争优精神。在交流会中，老师们多次提及小组评比制度，有助于提高学生们的竞争意识。 第四，做好家校沟通。多与家长沟通，这一点显得尤为重要，要想真正把一个孩子教好，需要班主任与家长的及时沟通、互相配合，在这次交流会中，各位老师都提出了要与家长和谐沟通，换一种和家长沟通的思路与方式，用平等、融洽、真诚的方式去和家长交流，让班主任与家长之间建立“体谅、关心、配合”的桥梁，只有如此，大家才能齐心协力引领孩子不断进步。 通过这次班主任工作交流会，让我深深的体会到：班主任工作是平凡而繁琐的工作，是很有挑战性的工作，每个学生都是一个世界，要想得到每个学生的信任，需要付出很多心血;班主任工作是一门学问，也是一门艺，术，育人无止境，管理无边界，作为班主任，累中也有很多快乐。 再就是集体备课，作为一名新老师，我认为集体备课，可以吸收到别人的优点来不断完善自己，使自己的教学不断进步，下面是我的一些心得体会： 一、集体备课，促进了教师从意识间的合作走上了行为上的合作，从单一的知识结构形成了集体智慧的结晶，形成了教师间平等、互助、合作，共进步的良好风尚。 二、在集体备课的时候，由于相互交流、讨论，可以集中大家的智慧、经验、成果，调动了积极性和主动性的同时，让我们对课程有了更深刻的理解。
历年各地初中数学青年教师解题竞赛试题及参考标准答案(上)
1. ２002年秋季广州市初中数学青年教师解题比赛试题及解答 2. 常州市武进区初中数学教师解题竞赛试题及参考答案 3. 20０３年广州市初中数学青年教师解题比赛试题 4. 20０５年武进区初中数学教师解题竞赛试题 初中数学青年教师解题竞赛试卷 一、填空(本题共有10小题,每小题4分，共4０分） 1．函数1 12-+-=x x y 中,自变量x 的取值范围是 . 2.圆锥的母线长为5cm ，高为3 cm,在它的侧面展开图中，扇形的圆心 角是 度. ３.已知3=xy ,那么y x y x y x +的值是 ． 4．△ＡBC 中,D 、Ｅ分别是ＡB 、ＡC 上的点,D Ｅ／/ＢC ，BE 与C Ｄ相交 于点O ，在这个图中，面积相等的三角形有 对．
５.不等式x x 4115≥+的正整数解的共有 个. 6．函数13++=x x y 的图象在 象限． 7．在△ＡBC 中,A Ｂ=10,ＡC =5，Ｄ是BC 上的一点,且ＢD ：DC =2:3,则AD 的取值范围是 . 8.关于自变量x 的函数c bx ax y ++=2是偶函数的条件是 ． 9.若关于未知数x 的方程x p x =-有两个不相等的实数根,则实数p 的取值范围是 . 1０．A Ｂ、AC 为⊙Ｏ相等的两弦，弦AD 交ＢC 于Ｅ,若A Ｃ=1２,AE ＝8， 则A Ｄ= . 二、(本题满分12分） 1１．如图,已知点A 和点B ，求作一个圆⊙O , 和一个三角形ＢCD ,使⊙Ｏ经过点A ，且使所作的 图形是对称轴与直线AB 相交的轴对称图形．（要求 写出作法，不要求证明） 三、(本题满分１２分) 12.梯子的最高一级宽33ｃm ，最低一级宽110c ｍ，中间还有10级,各级 的宽成等差数列,计算与最低一级最接近的一级的宽. 四、（本题满分13分） 13．已知一条曲线在ｘ轴的上方，它上面的每一点到点Ａ（0，2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程． 五、（本通满分13分） 14．池塘中竖着一块碑,在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为 ?20,测得碑顶在水中倒影的俯角为?30(研究问题时可把碑顶及其在水中的 倒影所在的直线与水平线垂直)，求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，747.270tan ≈?). 六、(本题满分1４分）. 1５.若关于未知数x 的方程022=-+q px x （p 、q 是实数）没有实数根, ..A B
初中数学教师研修计划
初中数学教师研修计划 保靖葫芦中学梁晓霞 为使自己不断提高教育理论和学术水平，增强知识，更新教育教学理念，从各方面不断完善自己，提高自身综合素质，不断适应新时期教师培训和教研的需要，跟上时代的步伐，使自己尽快成长起来，特制定个人校本研修计划： 一、研修目标 1、树立良好的师德观念，提高个人职业道德水平。学习相关资料，以参与案例教学、聆听报告为载体，树立良好的师德风尚。 2、积极参与“分层教学、合作学习”的课堂教学模式，树立以“学生为本”的教育教学观念，尊重学生的个性发展，努力在民主、平等、和谐的师生关系氛围中帮助指导学生全面主动发展。 3、以课改研究为主要形式，提升个人的教育科研水平，培养自身的可持续发展能力。通过研读课标，课堂实践、自我反思、同伴互助，请教教学能手等形式，提高自己的教学水平。 4、通过参与电子备课，参加电脑知识的培训，实践多媒体教学等形式，提高个人综合素质。 二、研修内容 （一）学校规定的研修内容 1、师德研修。积极参与读书活动，学习贯彻落实《中小学教师职业道德规范（修订版）》，学习《新义务教育法》、《教师法》、《未成年人保护法》等教育法律法规，进一步提高自己的职业道德素质，提高自己依法从教的水平。 2、新课程标准研修。学习《初中数学学科新课程标准及解读》，更新教育教学理念。以组内集体学习和个人自主学习相结合，认真学习新的教育理论，学习新课程改革的指导思想、改革目标及相关政策。同年级内研讨交流，使理论与教学实际相结合，促进自己将先进的理念内化为教学行为。 3、教学教研能力研究。积极参与组内教研活动，参与课题研究研讨课活动、听评课活动。积极研讨，在互助学习中更新理念，改进不足，努力提高自身教学教研能力。 4、教育科研能力研修。要树立教研科研意识，把研修和教育科研紧
关于2005年广州市中学数学青年教师解题比赛的通知
关于2005年广州市中学数学青年教师解题比赛的通知
2011年广州市中学数学青年教师解题比赛决赛的 通知 各区（县级市）教研室（教育发展中心），省、市直属各中学： 现将2011年广州市中学数学青年教师解题比赛决赛的有关事项通知如下。 一、参赛对象 广州市范围内35周岁以下的中学数学教师。 二、比赛办法 本项活动在各区（县级市）教研室（教育发展中心）中数科举行初赛的基础上分初中和高中两个组别进行。 各区（县级市）教研室（教育发展中心）中数科在初赛优胜选手中按不超过本区（县级市）（包括属地中的省、市属中学）青年数学教师总人数的20%确定送市参加决赛的名额。（参赛名单与考室见附件） 三、比赛时间及地点 比赛时间：2011年4月10日上午9：00～11：00 。 比赛地点：广雅中学。 ★★参赛选手入场时请出示身份证或工作证。 四、命题范围 ⑴初中解题比赛决赛命题范围为广州市初中中考数学考试大纲和国家高中数学课程标准中规定的内容，其中初中内容占70%，高中内容占30%，试题难度为初中内容按中考要求，高中内容按课本例题要求。 ⑵高中解题比赛决赛命题范围为2007年高考广东卷文科数学和理科数学
考试大纲的说明中规定的全部内容，试题难度参考理科高考的难度。命题时将控制难题的数量。 五、授奖方式及等级 全市分初中、高中各设立一、二、三等奖。获奖者均发获奖证书，以资鼓励。 广州市教育局教研室数学科 广州市中学数学教学研究会 二○一一年三月二十日 附件： 2011年广州市中学数学青年教师解题比赛决赛名单与试室安排 试室安排（初中） 第一试室 考号序号学校全称姓名 1001 386 番禺区华南碧桂园学校白晓红 1002 328 番禺区市桥桥兴中学毕旺兴 1003 1203 67中边志强 1004 340 番禺区石碁第三中学宾英 1005 376 番禺区市桥桥兴中学蔡键秋 1006 936 广州市第16中学蔡智雄 1007 1001 第5中学曹灵灵 1008 1214 新市中学曹永强 1009 1002 第52中学岑洁明 1010 121 增城二中陈畅 1011 140 荔城三中陈安安 1012 383 番禺区桥城中学陈柏祥 1013 363 番禺区海鸥实验学校陈炳添 1014 935 广州大学附属中学陈丹波 1015 1003 珠江中学陈丹芸 1016 325 番禺区钟村奥园学校陈迪银 1017 211 从化市龙潭中学陈冠标 1018 1117 广雅实验学校陈鸿 1019 317 番禺区洛溪新城中学陈尖峰
省培 初中数学骨干教师 培训方案
河北省2013年中小学教师省级培训项目 中数学骨干教师省级培训项目---培训方案 沧州师范学院 一、培训目标 立足于初中数学教育的实际，引导、激励、帮助学员在现有起点上持续发展，力争在职业道德水准，现代教育观念，素质教育技巧、科学研究能力等方面有一个质的飞跃。为使他们成为高素质，高水平，符合时代要求，能发挥示范和辐射作用的初中数学教育专家型人材创造条件。深化职业理解与学生发展认识，激发积极实践新课程的动力。使参训初中数学教师的教育教学理论水平得到明显提高，教育教学中分析、思考和解决问题的能力进一步提高，整体把握初中数学课程目标、内容主线和教学关键，提高整体把握数学课程的能力和数学素养。根据整体把握的理念进行单元教学设计，提高教学设计的能力。知识结构有较大改善，教师综合素质得到进一步提升，使接受过培训的农村教师在推进素质教育和教师培训方面能真正发挥示范引领作用。充分发挥现代远程教育手段的优势，远程培训跟踪指导研修一年，帮助农村初中数学教师解决教育教学中的实际问题，培养教师远程学习的习惯和能力；同时充分发挥远程培训资源的辐射作用，让更多初中数学教师共享优质培训资源。 二、培训内容 主要内容有：以学生发展为本，关爱全体学生，尊重学生人格，以公正对待学生，融洽师生关系的策略、案例;形成积极认知，改变思维偏差，转变不良心绪，回归平和心态;教师与家长交往中的角色规范，对家长的教育引导，有效沟通策略、案例;解读《义务教育数学课程标准（2011 年版）》基本理念的内涵、发展、作用;终身教育，团队学习，合作精神的养成，合作机制的建立，合作研究的开展;数学的文化价值，专题选讲;课程目标在设计中的整体实现;学生发现问题和提出问题的引导;课堂教学观察的目的和意义，课堂教学观察的手段和方法，课堂教学观察的信息采集，课堂教学观察的有效诊断;在导师指导下，
初中数学教师解题比赛训练讲义
第2题 从正面看 第7题 C B A 第6题 初中数学综合讲义（1）姓名＿＿＿ 一、选择题 1．如图，反比例函数y ＝k x 的图象经过点A (－1,－2)． 则当x ＞1时，函数值y 的取值范围是( ) A ．y ＞1 B ．0＜y ＜1 C ．y ＞2 D ．0＜y ＜2 2．如图，是由8个相同的小立方块搭成的几何体的左视图，它的三个视图是2×2的正方形．若拿掉若干个小立方块后（几何体不倒掉．．．），其三个视图仍都为2×2的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的距离为 20千米．他们前进的路程为s (单位：千米)，甲出发后的时间为 t (单位：小时)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是( ) A ．甲的速度是4千米/小时 B ．乙的速度是10千米/小时 C ．乙比甲晚出发1小时 D ．甲比乙晚到B 地3小时 4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）(a ＞2)，半径 为2，函数y =x 的图象被⊙P 的弦AB 的长为a 的值是( ) A ．B ．2+ C ．D ．2 二、填空题 5．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，请再添加一个条件，使 四边形ABCD 是矩形，你添加的条件是 ．（写出一种即可） 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕A 按逆时针方向旋转15°后得到△A 1B 1C 1，B 1C 1交AC 于点D ，如果AD ＝22，则△ABC 的周长等于 ．
培训机构招聘初中数学老师笔试试题
培训机构招聘初中数学老师笔试试题 （满分120分，时间90分钟） 一、填空题（6×5＝30分） 1. 如果22a =-+1 1123a +++的值为 ． 2. 小智沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟． 3. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5， 6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是 ． 4. 如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是 BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ． 5. 如图，正方形ABCD 的边长为1，顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形A 1B 1C 1D 1，由顺次连接正方形A 1B 1C 1D 1四边的中点得到第二个正方形A 2B 2C 2D 2…，以此类推，则第六个正方形A 6B 6C 6D 6周长是 _________ ． 6.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，先以点A 为圆心，AD 的长为半径画 弧，再以AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是________(结果保留π)． 二、解答题（15×6=90分） 1. 为了解大岭山某水果批发市场荔枝的销售情况，智荟教育数学兴趣小组对该市场的三种荔枝品种A 、B 、C 在6月上半月的销售进行调查统计，绘制成如下两个统计图（均不完整）．请你结合图中的信息，解答下列问题：
高中数学教师解题比赛试题.
珠海市2006年高中数学教师解题比赛试题 注意: 1.本次考试允许使用各型计算器. 2.若认为试题少了条件,请自行补充.若认为试题有误,可自行修改.不必要的修改为错解. 一、填空题(每题7分,共56分)： 1．求和：1×21 +2×22 +3×23 +…+n ×2n (n ∈N,n ≥5)=______________。 2．已知三角形ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，则cosB 的范围是______________。 3． 已知x 2 +xy+y 2 =3，则x 2 +y 2 的范围是______________。 4．函数3,.x x R ∈请给出它的单调递增区间:______________ 。 5．已知函数f （x ）满足以下条件：在定义域R 上连续，图象关于原点对称，值域为（-1，1）。请给出一个这样的函数：______________。 6．已知点O 在△ABC 内部，且有24OA OB OC ++=0，则△OAB 与△OBC 的面积之比为______________。 7．已知四面体ABCD 的五条棱长为2，一条棱长为1，那么它的外接球半径为________。 8．从1到10的十个整数中任选三个,使它们的和能被3整除,这样的选法共有__________种。 二、解答题(每题20分,共80分)： 9．设是x 1,x 2,x 3,…,x n 是非负实数，且11 2 n k k x =< ∑， n ∈N,n ≥5.求证：121(1)(1)(1)2n x x x --???->。 10．有人玩掷硬币走跳棋的游戏.已知硬币出现正面和反面的概率都是0.5,棋盘上标有第0站,第1站,第2站,…,第20站.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站,若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到第19站(胜利之门)或第20站(失败之门)时,该游戏结束.求玩该游戏获胜(即进入胜利之门)的概率. 11．已知在一个U 形连通管内始终保持着4升的液体（当一端注入液体时，另一端将同时排出同样体积的液体），原来全是A 液体。现将B 液体注入其中，每隔10秒钟注入0。1升（假设两种液体5秒左右能够均匀互溶）。请问从注入B 溶液起多长时间A 、B 两种溶液浓度最为接近？ 12．若抛物线y=ax 2 -2上总存在关于直线x+y+1=0对称的不同两点，求a 的范围。
超级资源(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用
第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富: 它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨: 从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨: 求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨: 因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨: 通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111， 试求x 的值. 思路点拨: 运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注: 一元二次方程常见的变形形式有: (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==.
初中数学骨干教师培训学习心得体会
初中数学骨干教师培训学习心得体会 我作为江津区农村中学数学一线教师幸运地来到长江师范学院，参加国培计划——中西部农村骨干教师置换脱产区划培训项目培训学习。培训学院为我们安排了为期两个月的理论学习与技能研修，期间我们认真聆听了宋乃庆、于海洪、黄翔、潘孝富、罗增儒、夏小刚、李忠如、吕传汉、吴亚萍、万明春等著名学者、专家和长江师范学院知名教授及本地著名特级教师、名师生动的专题讲座。期间先后到过涪陵14中、涪陵9中等市内名校，深入课堂真切体验了新课程、新理念给课堂教学所带来的巨大变化，领会到什么课堂才是有效的教学。 在这两个月的培训中，让我最感折服的是培训班领导和所有讲座老师强烈的敬业精神，无论是宋乃庆教授的讲座，还是于海洪教授的讲座及老师们活动等，他们遵守授课时间，用精彩的授课方式为我们讲解、示范、指导，表现出了极强的事业心和责任感，这些天无不让我感到钦佩，并将时刻鞭策着我不断学习，不断进步。仅仅几天的培训，使我在理论水平上也有了明显的提高，这次培训班具有很强的教育性、针对性和创造性。另外，也使我对今后的教育教学工作充满信心，在彼此的研究中、讨论中，提高了教学的方法的掌握，使我的业务能力也有了进一步的提高。
此次学习使我们在教学理论和教育观念上得到了大量的补充。如：众多专家的“教师专业化成长理论研究；再谈建国六十年数学教育争鸣；中学数学建模；青少年学生中的危机预预警与心理干预；行动研究法及其应用；教学反思与数学教师专业发展……”这一切都为教师们开辟了新视野，使我们改正并更新了头脑中原有的死板的教学思想的观念。同时体会到了作为一名教师能感受到教育方法侧重培养学生的创新思维和发散思维，注重学生的学习积极性的培养和调动。以鼓励、肯定、分析、讨论，给孩子以充分的展示空间，锻炼提高孩子们的交流能力。注重实际能力培养，尊重学生个性，充分挖掘学生潜力的方法，是我们所追求的素质教育内涵。 12月，我们一行9人来到涪陵16中参加脱产置换数学国培班的影子培训。虽然已是寒冬，但我内心感觉到无限的激动和温暖，作为一名扎根山区中小学工作二十余年的农村教师——我，虽也听过一些城市教师的教研课、优质课，但能这样面对面地与城市教师、学生接触，零距离地感受城市师生的教学生活，实算是人生一大喜事、幸事！再次感谢长江师范学院对我们数学国培班培训工作的悉心组织、精心安排。 影子培训期间，我严格遵守长江师范学院对我们学员的研修要求，不论刮风下雨，每天早晨7：30准时坐28路车到涪陵16中学习，一到校，我就与影子老师、学生亲密接触，认真、虚心地向郎老师学习和请教，对郎老师上的每一节课都认真地进行反思，感受到郎老师丰富的教学经验和对教材知识内容的熟练驾驭；学习郎老师管理班级
初中数学教师解题比赛试题及答案
青年教师基本功大赛试题 一、选择题（10×2=20分,单选或多选） 1.现实中传递着大量的数学信息，如反映人民生活水平的“恩格尔系数”、预测天气情况的“降雨概率”、表示空气污染程度的“空气指数”、表示儿童智能状况的“智商”等，这表明数学术语日趋（） （A）人本化（B）生活化（C）科学化（D）社会化 2. 导入新课应遵循（） （A）导入新课的方法应能激发学生的学习兴趣、学习动机，造成悬念，达到激发情感，提出疑问的作用 （B）要以生动的语言、有趣的问题或已学过的知识，引入新知识、新概念 （C）导入时间应掌握得当，安排紧凑 （D）要尽快呈现新的教学内容 3.下列关于课堂教学的改进，理念正确的是（） （A）把学生看作教育的主体，学习内容和学习方法由学生作主 （B）促进学生的自主学习，激发学生的学习动机 （C）教学方法的选用改为完全由教学目标来决定 （D）尽可能多的提供学生有效参与的机会，让学生自己去发现规律，进而认识规律4．为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（） （A ）7000名学生是总体（B）每个学生是个体 （C ）500名学生是所抽取的一个样本（D）样本容量是500 5. 一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体是（） 主 视 图 左 视 图 俯 视 图图2 （A）（B）（C）（D）
6．如图1，点A(m,n)是一次函数y=2x 的图象上的任意一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，那么三角形ABO 的面积Ｓ关于m 的函数关系的图象大致为（ ） 7．有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边， 各选该边的一条绳子。若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为（ ） (A) 21 (B) 31 (C) 61 (D) 9 1 8．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，折出一个菱形。甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），乙同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE ＝∠DAC ，∠ACF ＝∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较 大的是( ) （A ）甲 （B ）乙 （C ）甲乙相等 （D ） 无法判断 9．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是（ ）. (A)1643 (B)1679 (C)1681 (D)1697 10．如图，圆O 1、圆O 2、圆O 3三圆两两相切，直径AB 为圆O 1、圆O 2的公切线， A B 为 半圆，且分别与三圆各切于一点。若圆O 1、圆O 2的半径均为1，则圆O 3的半径为（ ） (A) 1 (B) 21 (C) 2－1 (D) 2＋ 1 B （方案一） （方案二） A B C D E F
中学数学教师基本功大赛演讲题目
竭诚为您提供优质文档/双击可除中学数学教师基本功大赛演讲题目 篇一：初中数学青年教师教学基本功比赛试题 初中数学青年教师教学基本功比赛试题 基础知识测试题（南京下关） 一、填空题（共6小题，每空0.5分，计10分） 1．数学是研究________________________的科学，这一观点是由____________首先提出的． 2．通过义务教育阶段的学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的____________、 ____________、____________、____________． 3．维果斯基的“最近发展区理论”认为学生的发展有两种水平：一种是学生的___________发展水平；另一种是学生_________________发展水平，两者之间的差异就是最近发展区． 4．从数学史上看，有理数的概念传入我国存在着翻译上的错误，其原意是_________数，包括______________小数和______________小数，______________的发现，引发了
第一次数学危机． 5．_________是概率论发展史上首先被人们研究的概率模型，它具有两个特征：一是_________、二是 _______________． 6．波利亚在其名著《怎样解题》中提出的解数学题的四个步骤是：_________________、_________________、_________________、_________________；他认为“怎样解题表”有两个特点，即普遍性和_____________性． 二、简答题（共3小题，每小题5分，计15分） 7．大约在公元前6世纪至4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的 三大尺规作图问题，这就是著名的古代几何学作图三大难题．请你简述这三大难题分别是什么？ 8．《义务教育数学课程标准》（20XX年版）从知识与技能等四个方面对总目标进行了阐述． （1）请写出其他三个方面目标的名称； （2）请简述总目标的这四个方面之间的关系． 9．“角平分线上的一点到角的两边距离相等”这一结论在苏教版义务教育数学教材八上的《1.4线段、角的轴对称性》以及九上的《1.2直角三角形全等的判定》中都有所出现．请你结合教学实际，简述课本上八上和九上分别是如何引导学生得到这一结论的，说说它们之间的区别、联系和这
2020年初中数学教师培训心得体会.pdf
数学教师培训心得体会 振兴民族的希望在教育，振兴教育的希望在教师，造就一支高素质的教师队伍，是实施科教兴国战略、实施可持续发展和全面实施素质教育及推进新课程改革的基本保证。为了适应现代教育的要求，我市举行农村中学教师（初中数学）教育教学能力提升工程培训，我有幸参加了这次培训学 习，在学习过程中，我认真听取了各位领导及专家的精彩讲演，认真观看了海西教育网专题培训平台初中数学的每一个视频课件，认真做好了笔记，并在网上与学员一起互相交流、取长补短，共同学习。自己无论在思想认识及教育观念、教育理论和方法、教师业务素质及业务修养、新课程改革及教师的教学观等各方面都学到了很多东西，这对于改进我自身的教育教学工作有很大的帮助，也对推动我校的新一轮课程改革将起到很重要的作用。 一、树立良好的育人观、健康的学生 观 传统的以传授知识为重点的教育模式已经不适应现代教育的发展要求，时代的发展、社会的进步对教师提出了新的挑战，教师要通过不断的学习、不断的发展逐步使自己成为专业性的人才，除了具备较强的专业知识和专业技能外，还要有有促进学生发展的教育观念，特别是在新课程下教师的角色将发生转变，将改变教师原先的拥有知识的权威者的形象，而侧重于对学习过程的组织、引导，并对自己的教学实践进行反思、研究，以取得更好的教育教学效果。具体的说应从以下几方面去改变自己的育人观。第一，教师要成为学生学习的促进者，促进以学习能力为重心的学生整个个性的和谐、健康发展。第二，教师要成为学生人生的引路人，在学生的成长道路上设置不同的路标，引导他们不断的向更高的目标前进。第三，教师要成为教育教学的研究者，教师在教学过程中要以研究者的心态置身于教学情景中，以研究者的眼光审视和分析教学理论与教学实践中的各种问题。第四教师要成为课程建设者和开发者，要改变以往的学科本位论和消极被动执行的做法，在课堂教学中使课程不断增值、不断丰富、不断完善。 要有一个健康的学生观，用发展的、变化的、全面的观点对待学生。学生是祖国未来的劳动者，学生是完整人格的人，不是装知识的容器。学生是有血有肉、有感情、有思想、多姿多彩的，教师的教学过程要成为与学生沟通感情的桥梁，教师要通过恰当的方式倾注对学生的爱心，批评、表扬总要让学生能够接受，才能形成一种融洽的师生感情。爱是面对学生的全体，不论成绩的好坏、表现的优劣，教师的爱都应是平等而持久、博大而宽厚的。关于后进生，要认识到，有差别是客观的，学生的能力是多方面的，不能苛求学生都成为自己这一科的人才；先进和后进是相对的，成功的教育是使学生共同提高，在教学中不能以同一标准对待每一位学生，要实行分层教学。我们要认真探讨转化后进生的规律和方法，以发
初中数学青年教师解题大赛试题参考答案
A. a > 1 2.5 学 学5. 平面上动点 A( x, y) 满足 7. 设集合｛ +b ︱1≤a≤b≤2｝中的最大元素与最小元素分别为 M 、m,则 M-m 0) 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5 n ? (n + 1)(n + 2) 2014 年安庆市初中数学青年教师解题大赛试题 参考答案 （2014 年 12 月 4 日下午 1:30—4:00） 一、选择题（每题 6 分，共 36 分） 1. 已知 a = - 6 + 6 - 4 2 2 ，则 a 3 + 6a 2 + 2a + 6 的值为（C ） 名 姓 姓 A. - 2 B. 2 C. 6 D. - 6 2. 已知 a, b , c 满足 2a - 4 + b + 2 + (a - 3)b 2 + a 2 + c 2 = 2 + 2ac ，则 a - b + c 的值为 （ D ） A. 4 B.6 C.8 D.4 或 8 3．小青步行从家出发，匀速向学校走去，同时她哥哥小强骑摩托车从学校出发， 匀速向家驶去，二人在途中相遇，小强立即把小青送到学校，再向家里驶去，这 样他在途中所用的时间是原来从学校直接驶回家所用时间的 倍，那么小强骑摩托 车的速度是小青步行速度的（ B ）. A. 2 倍 B. 3 倍 C.4 倍 D. 5 倍 4. 方程 2 x - 1 - 1 = a 的解的个数是 4，则 a 的取值范围为（ B ） 1 B. 0 < a < 1 C. a > 1 D. 0 < a < 2 2 校 x 5 + y 3 = 1 ， B(-4,0) ， C (4,0) ,则一定有（ B ） A ． A B + A C < 10 B ． AB + A C ≤ 10 C ． AB + AC > 10 D ． AB + AC ≥ 10 6. 函数 f(x)=ax 2+bx +c(a ≠ ，对任意的非 0 实数 a 、b 、c 、m 、n 、g 关于 x 的方程 m [f(x)]2+n f(x)+g =0 的解集不可能是( D ) A. {1,3} B . {2,4} C . {1,2,3,4} D . {1,2,4,8} 二、填空题（每题 8 分，共 32 分） 3 a 的值为 5-2√3 。 8. 化 简 ： 1 1 1 1 + + + + =n 2+3n/4(n+1)(n+2) 市 县 。 9. 在 ?ABC 中， AB = 4 , AC BC = 2 则 ?ABC 的面积的最大值为 16/3 . 10. 袋内有 8 个白球和 2 个红球，每次从中随机取出一个球，然后放进 1 个白球， 则第 4
广州市初中数学青年教师解题比赛试卷
广州市初中数学青年教师解题比赛试卷 一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分） 1．函数1 1 42-+ -=x x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 2．若一个半径为32㎝的扇形面积等于一个半径为2㎝的圆的面积，则扇形的圆心角为 ． 3．分式方程 11-x －() 11 -x x ＝2的解是 ． 4．代数式x 2－2xy ＋3y 2―2x ―2y ＋3的值的取值范围是 ． 5．⊙O 1、⊙O 2的半径分别为2和3，O 1O 2＝9，则平面上半径为4且与⊙O 1、⊙O 2都相切的圆有 个． 6、若关于未知数x 的方程＋＋＋＋＋＝()0522=++++m x m x 的两根都是正数，则m 的取值范围是 ． 7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，如果BC ＝a a BC =，＝βB =∠，则AD ＝ ． 8．平面内一个圆把平面分成两部分，现有5个圆，其中每两个圆都相交，每三个圆都不共点，那么这5个圆则把平面分成 部分． 9．在平坦的草地上有甲、乙、丙三个小球．若已知甲球与乙球相距5米，乙球与丙球相距3米，问甲球与丙球距离的取值范围？答： ． 10．计算12003200220012000+???所得的结果是 ． 二、（本题满分12分） 11．如图，已知A 是直线l 外的一点，B 是l 上的一点． 求作：（1）⊙O ，使它经过A ，B 两点，且与l 有交点C ； （2）锐角△BCD ，使它内接于⊙O ． （说明：只要求作出符合条件的一个圆和一个三角形，要求写出作法，不要求证明） 三、（本题满分12分） 12．如图，己知正三棱锥S —ABC 的高SO ＝h ，斜高SM ＝l ． 求经过SO 的中点平行于底面的截面△A ′B ′C ′的面积． 四、（本题满分13分） 13．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点． 五、（本题满分13分） 14．甲、乙两船从河中A 地同时出发，匀速顺水下行至某一时刻，两船分别到达B 地和C 地．已知河中各处水流速度相同，且A 地到B 地的航程大于A 地到C 地的航程.两船在各自动力不变情况下，分别从B 地和C 地驶回A 地所需的时间为t 1和t 2．试比较t 1和t 2的大小关系． 六、（本题满分14分） 15．如图，在锐角θ内，有五个相邻外切的不等圆，它们都与θ角的边相切， 且半径分别为r 1、r 2、r 3、r 4、r 5．若最 小的半径r 1＝1，最大的半径r 5＝81。求θ． 七、（本题满分16分） 16．过半径为r 的圆O 的直径AB 上一点P ，作PC ⊥AB 交圆周于C ．若要以P A 、PB 、PC 为边作三角形，求OP 长的范围． 八、（本题满分16分） 17．设关于未知数x 的方程x 2―5x ―m 2＋1＝0的实根为α、β,试确定实数m 的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立． 九、（本题满分16分） 18．在重心为G 的钝角△ABC 中，若边BC ＝1，∠A ＝300，，且D 点平分BC ．当A 点变动，B 、C 不动时，求DG 长度的取值范围． 2002年广州市初中数学青年教师解题比赛试卷 参考答案 一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分） 1．22≤≤-x 且1±≠x 2．60° 3．2 1 = x 4．[)+∞,0 5．3 6．45-≤<-m 7．ββcos sin a 8．22 9．相距大于等于2米而小于等于8米 10．4006001 二、（本题满分12分） · · l A B θ · A ' B ' C ' A C M O S
初中组别数学青年教师教学基本功评比解题能力竞赛题
初中数学青年教师教学基本功评比解题能力竞赛题 1.（满分15分） (1)请你用几种不同的分割方法，将正三角形分别分割成四个等腰三角形（要求，徒手画出正三角形、画出分割线，并标出必要的角的度数）． (2)如图，是某学生按题（1）要求画出的一种分割图，请简述你将如何讲解？ 2. （满分15分）已知ABCD 是矩形，以C 为圆心，CA 为半径画一个圆弧分别交AB ， AD 延长线于点E ，点F ，连接EB ，FD ，若把直角∠BCD 绕点C 旋转角度θ(0 < θ < 90°) ，使得该角 第1题
的两边分别交线段AE ，AF 于点P ，点Q ，则CQ 2+CP 2等于（ ） A ．2QF ?PE B ．QF 2 + PE 2 C ．(QF + PE )2 D ．QF 2 + PE 2 +QF ?PE （1）请用你认为最简单的方法求解（注意：是选择题）； （2）请用几何方法证明你的选择是正确的； （3）建立一个直角坐标系，用代数方法证明你的选择是正确的． 3. （满分15分）如图，已知圆柱底面半径为r ， SA 是它的一条母线，长为l . 设从点A 出 发绕圆柱n 圈到点S 的最短距离为m (n 为正整数） . (1) 用r 与l 表示m 可得m = （注意：是填空题）. (2) 写出你得出题（1）结论的详细过程. 4. （满分15分）如图，七个边长均为1的等边三角形分别用①至⑦表示．给出命题：如果移出其中1个三角形，再把某些三角形整体作一次位置变换， 那么一定可以与位置未变的三 (第2题) （第3题）
角形拼成一个正六边形． (1) 设位置变换为平移变换，试通过具体操作说明命题是正确的（分别写出：移出哪个三角形？哪些三角形组成的图形作平移，及平移的方向和平移的距离）； (2) 设位置变换为旋转变换，请列举出能使命题成立的所有情况（分别写出：移出哪个三角形？哪些三角形组成的图形作旋转，旋转的方向、角度，并在图中标上字母表示旋转中心； (3) 将移出的三角形作相似变换，使之放置在某个位置时，能盖住正六边形，问：相似比能否等于3.14? 请说明理由． 5. （满分20分）图形既关于点O 中心对称，又关于AC ，BD 轴对称. 已知AC = 10，BD = 6，点E ，M 是线段AB 上的动点. 称互相对称的一对三角形组成的图形为“蝶形”，称以点 O （第4题）
初中数学教师解题能力竞赛卷
2D． 2014年杭州市初中数学青年教师解题能力竞赛 试题卷 一、选择题(本题有8个小题,每小题3分,共24分)四个选项中,只有一个是正确的. 1．可以用来证明命题“若a2>0.01，则a>0.1”是假命题的反例（） A.可以是a＝－0.2，不可以是a＝2B．可以是a＝2，不可以是a＝－0.2 C．可以是a＝－0.2，也可以是a＝2 D．既不可以是a＝－0.2，也不可以是a＝2 2．已知杭州市2014年1月24日部分整点时气温的 统计图，则这天各整点时气温的中位数是（） A．10.5B．10.9 C．12.9D．13.3 (第2题) 3．已知m＝(–3 3)?(–2 21)，则有（） A．5.0