§3.6 有理函数及三角函数有理式的积分
§3.6 有理函数及三角函数有理式的积分
教学目的：使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法，掌握有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。 重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用 难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用
教学过程：
一、问题的提出
前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发（换元积分法与分部积分法）已经求出了一些不定积分。从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数，而求不定积分却没有那样容易。即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还“积不出”。例如，
????+-31,,ln ,sin 2
x dx dx e x dx dx x x x ，
被积函数都是初等函数，看起来也并不复杂，但是在初等函数范围内却积不出来，这是
因为被积函数的原函数不是初等函数。本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。
求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套” “拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。“变”，即代数恒等变形：加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、提取公因子；三角恒等变形：半角、倍角公式，平方和公式，积化和差、和差化积、和角公式；陪完全平方：根号下配完全平方、分母配完全平方等；“凑”，即凑微法（第一类换元法）。“换”，即第二类换元法（三角代换、倒代换、指数代换法等）。“分”，即分部积分法。“套”，即套基本公式。
求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字，即巧用上述方法和综合
运用上述方法。
二、 有理函数的积分
有理函数)(x R 是指由两个多项式的商所表函数，即
=)(x R m m m m n
n n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P +++++++=
----11101110)
()(ΛΛ 其中m 和n 都是非负整数；n a a a a ,,,,210Λ及m b b b b ,,,,210Λ都是实数，通常总假定
分子多项式)(x P 与分母多项式)(x Q 之间没有公因式，并且00≠a ，00≠b .
当m n <时，称)(x R 为真分式；而当m n ≥时，称)(x R 为假分式. 一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式.例如
111122
234-++++=-+x x x x x x x .
多项式的积分容易计算，因此，有理函数的积分主要是解决真分式的积分问题，而真分式的积分往往是转化为最简分式来计算．鉴此，我们先来讨论真分式分解为最简分式问题.
在实数范围内，真分式)()
(x Q x P 总可以分解成最简分式之和，且具有这样的对应关系：
① 如果)(x Q 中有因式k
a x )(-，那么分解后相应有下列k 个最简分式之和
)()()(1
2
1a x A a x A a x A k k k -+
+-+--Λ， 其中1A 、2A 、…、k A 都是常数.特别地，如果1=k ，那么分解后只有一项a x A
-；
② 如果)(x Q 中有因式k q px x )(2++（042<-q p ），那么分解后相应有下列k 个
最简分式之和
q px x N x M q px x N x M q px x N x M k k k k ++++
++++++++-2122
2211)()(Λ，
其中i M 、i N 都是常数.特别地，如果1=k ，那么分解后只有一项
q px x N
Mx +++2
. 有理真分式总能分解为若干个部分分式之和的形式（部分分式是指这样一种简单分式，
其分母为一次因式或二次质因式）。从而得到，有理真分式的积分总可以归纳为以下四种形式的部分分式的积分：
（1）
;dx a x A
?- （2）dx a x A n ?-)( （2）
)04(22<-+++?q p dx q px x N
Mx
（3）
?<-+++为常数、、其中系数N M A q p dx
q px x N
Mx n ),04()(22
综上所述，有理函数分解为多项式及部分分式之和以后，各个部分都能积出，且原函数都是初等函数，因此，有理函数的原函数都是初等函数。
由上述定理，我们得到求有理真分式不定积分
dx x Q x P m n ?)()
(的步骤书为：
第一步 将)(x Q m 分解为（2）的形式； 第二步 将
)
()
(x Q x P m n 分解为（3）的形式；
第三步 求各部分分式的原函数。
下面通过具体的举例来说明分解的方法和步骤．
例1 把2
)1(1
-x x 分解为最简分式之和.
解：根据真分式的性质可设
2)1(1
-x x =)1()1(2-+
-+x C x B x A
上式两端去分母后，得
)1()
1()1(12-++-=x Cx Bx x A 或
)2()2()(12A
x C B A x C A +-+-++=
因为这是恒等式，等式两端对应项的系数应相等，于是有
??
?
??==-+-=+1020A C B A C A
从而解得1=A ，1=B ，1-=C .
于是得2)1(1-x x =
)1(1
)1(112---+x x x . 注：此题定A 、B 、C 还有另法： 在恒等式⑴中，代入适当的x 值，即可求出待定的
常数.
在式⑴中
令1=x ，得1=B ； 令0=x ，得1=A ； 再令2=x ，得1-=C .
于是得
2)1(1-x x =)1(1
)1(112--
-+x x x .
例2 把6532
+-+x x x 分解为最简分式之和．
解：因为)3)(2(652
--=+-x x x x
所以，令6
532
+-+x x x 32-+-=x B
x A ，其中A 、B 为待定常数． 上式两端去分母后，得
)3()
2()3(3-+-=+x B x A x 或
)4()
23()(3B A x B A x +-+=+
比较两端系数有
??
?=+-=+3)3(1
B A B A
从而解得 5-=A ，6=B .所以
6532+-+x x x 36
25-+
--=x x
注：此题也可以采用上例第二种方法确定待定系数．
例3 把
)22)(2(2
2+++x x x x 分解为最简分式之和．
解：因为分母中222
++x x 为二次质因式，故应分解为
)22)(2(2
2+++x x x x ++=2x A 222+++x x C
Bx
两端去分母得
)2)(()22(22+++++=x C Bx x x A x
比较两端对应项的系数不难求得2=A ，1-=B ，2-=C 所以
)22)(2(2
2+++x x x x -+=22x 222
2+++x x x
由上可知，有理函数总能分解为多项式及最简分式之和，其积分最终归结为多项式、
a x A
-、k a x A )(-、q px x N Mx +++2、k q px x N Mx )(2+++)04,1,(2
<->∈q p k N k 等五类函
数的积分．显然，前面四类都比较容易积出，我们将在下面的例子中进行介绍，而对于最后一类积分较繁，其结果可通过查阅积分表求得，这里不作讨论.
例4 求dx x x x x x ?+-++-659
24223.
解：因为
+
+=+-++-165924223x x x x x x 6532+-+x x x 又由前面例2知6
532
+-+x x x 36
25-+--=x x 所以,
dx x x x x x ?+-++-65924223???? ??-+--+=dx
x x x 36251 C x x x x +-+--+=3ln 62ln 522
例5 求?-dx
x x 2)1(1
.
解：因为
2)1(1-x x =)1(1
)1(112--
-+x x x
所以
?-dx x x 2
)1(1
????? ??---+=dx x x x )1(1)1(112
?=dx x
1?-+dx x 2)1(1?--dx x 11 C
x x x +----=1ln 11
ln .
例6 求?+++dx
x x x x )22)(2(22
.
解：由例3可得
?+++dx x x x x )22)(2(22-+=?dx x 22?+++dx x x x 222
2
又?+++dx x x x 222
2?++++=dx x x x 221
)22(21
2
?+++=dx x x x 2222212?+++dx x x 2212 ?++++=22)22(2122x x x x d ?++++1)1()1(2x x d C x x x +++++=)1arctan(22ln 21
2
从而
?+++dx x x x x )22)(2(22
C
x x x x ++-+++=)1arctan(22)2(ln 22
二、三角函数有理式的积分
由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角有理式。由于各种三角函数都可用x x cos sin 及的四则运算来表示，故三角函数有理式也可以说是由x x cos sin 、及常数经过有限次四则云素所构成的函数，记为)cos (sin x x R ，,其中),(v u R 表示两个变量的 有理式，积分?
dx x x R )cos ,(sin 称为三角有理式的积分。
下面通过举例来说明这类函数的积分方法.
例7 求?++dx x x cos sin 11
.
解：因为
2cos 2sin 2cos 2sin 2sin 22x x x x x +=
2tan 12tan
22
x x += 2
cos 2sin 2sin 2cos cos 2
222x
x x x x +-=
2tan 12tan 122
x x +-= 所以,令
u x
=2tan
，则u x arctan 2=，于是
=x sin 212u u +，=x cos 2211u u +-，=dx 212u du
+.
代入原积分得
?++dx x x cos sin 11?
++-+++=2
2
2212111211
u du
u u u u
?+=du u 11C u ++=1ln
C
x
++=2tan 1ln .
一般说来，对于三角函数有理式积分，总可作变量代换u x
=2tan
，将其转化为u 的有
理函数的积分.即有 dx x x R ?)cos ,(sin
?+???? ??+-+du u u u u u R 222
212
11,12
例8 求?++dx x x x
)cos 1(sin sin 1
解：令u x
=2tan
，则u x arctan 2=，于是 ?++dx x x x )cos 1(sin sin 1????
??++=du u u 2121
C u u u +++=241
ln 21 C x x x +++=2tan 2tan 412tan ln 212.
最后需要指出的是：上面所谈两类函数的积分方法是常规方法，虽然有效但往往非常麻
烦，因此，在具体解题时，应尽量采用其它简便方法，只有在用其它方法难以积分的情况下才采用上述方法.如下面的例题
例9 求?+dx x x 132
解：此题属于有理函数积分，可采用上述常规方法做，但用下列方法计算较简便
?+dx x x 132?++=1)1(3133x x d C x ++=1ln 313
.
例10 求?-+dx
x x 2)1(5
.
解：此题也属于有理函数积分，用下列做法计算较简便
?-+dx x x 2)1(5?-+-=dx x x 2)1(6)1(+-=?dx x 11?-dx
x 2)1(16
+--=?)1(11x d x ?--)1()1(162x d x
C
x x +---=16
1ln
例11 求?+dx x x
sin 1sin .
解：此例属于三角函数有理式积分，用下面做法计算较为简便
?+dx x x sin 1sin ?-=dx x x x 2cos )sin 1(sin ?=dx x x
2cos sin ?--dx x x 22cos cos 1
?-=x
x d 2cos )(cos ?-dx x 2cos 1?+dx C x x x ++-=tan cos 1
u
x
=2
tan
形如
)0(cos sin cos sin 2
2≠+++?b a dx x b x a x d x c 的积分，一般可将被积函数的分子凑成分母与
分母的导数的线形组合，即令
)cos sin ()cos sin (cos sin '+++=+x b x a B x b x a A x d x c ，
通过比较等式两端x x cos sin 和的系数，求出A 和B.
对形如???
nxdx mx nxdx mx nxdx mx cos cos ,sin sin ,cos sin 的积分一般是将被积函数积化和差后再积分。
小结：本节主要学习了有理函数及三角函数有理式的积分。
习题3.6
求下列积分：
⑴?+++dx x x x x )3)(2)(1(； ⑵?+++dx x x x 43322； ⑶?+-dx x x x 2324
； ⑷?-+dx x x x )1)(1(2；
⑸?+dx x 133； ⑹?-+-dx x x x 32)1(12；
⑺?-+-dx x x x x 342
5
1； ⑻?-++dx x x x )1()1(122
；
⑼?+x dx sin 45； ⑽?+x dx
cos 3；
⑾?+dx x x 2cos 21tan ； ⑿?+-5cos sin 2x x dx
；
2.6三角函数在电工学中的应用
2.6 三角函数在电工学中的应用 旧课复习：正弦定理、余弦定理: c c B b A a sin sin sin = =. A bc c b a cos 2222-+=; B ca a c b cos 22 22-+=; .cos 2222C ab b a c -+= 新课引入： 1.分析正弦交流电流的变化规律举例 我们知道,正弦交流电的电流强度i 随时间t 变化的规律 为 )sin(0?ω+=t I i m . 其中m I ------电流强度的最大值,称为幅值(或峰值); ω-------称为角频率(或圆频率),它表示电流变化的快慢,其单位是“弧度/秒”; 0?-------称为初相位(或初位相或初相);0?ω+t 称为t 时刻的相位(或位相), 它是发电机转子的绕组面在t 时刻所在位置与定 子磁场方向所成的角(图2-12).这里,i 关于t 是 正弦型函数,因此我们可以利用正弦型函数的图象 (正弦波形)和性质来具体分析正弦交流电流i 随时
间t 的变化情况. 例 1 图 2-13画出了两种正弦交流电的电流 强度i 随时间t 变化在一个周期里的图象,其中横坐标表示 t ω. 根据图2-13,回答下列问题: (1)1i 与2i 的幅值各为多少? (2) 1i 与2i 的周期相等吗?是多少? (3) 1i 与2i 哪个先达到最大值? 解: (1)从图2-13中可以看出, 1i 的幅值为30A ,2i 的幅值为20A . (2) 图2-13中,横轴代表t ω,从图中看出, t ω每增加(减少) , 1i 与2i 函数值都不变.因此1i 与2i 的周期相同, 都等于ω π 2. (3) 从图2-13中看出,当6 π ω=t 时,1i 达到最大值; 当 3 2π ω=t 时, 2i 达到最大值.因此1i 先达到最大值. 从图2-13中还可以看出, 1i 的初相位是3 π ,2i 的初相位
高等数学公式(定积分 微积分 三角函数 导函数 等等 应有尽有)
高等数学公式 基本积分表（1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+ （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）2 1 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a =+?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）22 11tan x dx arc C a x a a =++? （17）2 2 11ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+? （18） sin x arc C a =+ （19） ln(x C =++
（20） ln |x C =++ （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2 x x += ， 21cos 2sin 2 x x -= 。 注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ????=??，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 小结： 1常用凑微分公式
有理函数及三角函数有理式的积分
§3.6 有理函数及三角函数有理式的积分 教学目的：使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法，掌握有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。 重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用 难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用 教学过程： 一、问题的提出 前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发（换元积分法与分部积分法）已经求出了一些不定积分。从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数，而求不定积分却没有那样容易。即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还“积不出”。例如， ????+-31,,ln ,sin 2 x dx dx e x dx dx x x x ， 被积函数都是初等函数，看起来也并不复杂，但是在初等函数范围内却积不出来，这是 因为被积函数的原函数不是初等函数。本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。 求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套” “拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。“变”，即代数恒等变形：加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、提取公因子；三角恒等变形：半角、倍角公式，平方和公式，积化和差、和差化积、和角公式；陪完全平方：根号下配完全平方、分母配完全平方等；“凑”，即凑微法（第一类换元法）。“换”，即第二类换元法（三角代换、倒代换、指数代换法等）。“分”，即分部积分法。“套”，即套基本公式。 求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字，即巧用上述方法和综合 运用上述方法。 二、 有理函数的积分 有理函数)(x R 是指由两个多项式的商所表函数，即 =)(x R m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P +++++++= ----11101110) ()(ΛΛ 其中m 和n 都是非负整数；n a a a a ,,,,2 10Λ及m b b b b ,,,,210Λ都是实数，通常总假定 分子多项式)(x P 与分母多项式)(x Q 之间没有公因式，并且00≠a ，00≠b . 当m n <时，称)(x R 为真分式；而当m n ≥时，称)(x R 为假分式. 一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式.例如 111122 234-++++=-+x x x x x x x .
新人教版第六章实数知识点归纳
实数知识点总结 一、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 (1）如果一个正数x的平方等于a，即,那么这个正数ｘ叫做a的算术平方根。 （２)如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。如果,那么x叫做a的平方根。 (3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做ａ的立方根(或a 的三次方根)。如果,那么x叫做a 的立方根。 2、运算名称 (1）求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 （1）正数a的算术平方根,记作“a”。 （2)ａ(a≥0)的平方根的符号表达为。 (３）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 ，ａ的算术平方根a；正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那(1)若a≥０，则a的平方根是a 个叫它的算术平方根;０的平方根和算术平方根都是０;负数没有平方根。实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,0的立方根是0。（2)若ａ<0，则ａ没有平方根和算术平方根;若a为任意实数,则a的立方根是。 （3）正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 二、小数点移动规律 平方根（如果被开方数的小数点,向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位)立方根（开立方的小数点移动规律:被开方数的小数点向右或向左每移动三位，则立方根的小数点就向右或向左移动一位） 三、实数的概念及分类 1、实数的分类
微积分及三角函数公式
微积分及三角函数基本公式
cos (α±β)=cos α cos β μsin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β) sin α - sin β = 2 cos ?(α+β) sin ?(α-β) cos α + cos β = 2 cos ?(α+β) cos ?(α-β) cos α - cos β = -2 sin ?(α+β) sin ?(α-β) tan (α±β)= βαβαtan tan tan tan μ±, cot (α±β)=β αβ αcot cot cot cot ±μ e x =1+x+!22x +!33x +…+! n x n + … sin x = x-!33x +!55x -!77 x +…+)!12()1(12+-+n x n n + … cos x = 1-!22x +!44x -!66 x +…+)!2()1(2n x n n -+ … ln (1+x) = x-22x +33x -44 x +…+)!1()1(1+-+n x n n + … tan -1 x = x-33x +55x -7 7 x +…+)12()1(12+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+ !2)1(-r r x 2+! 3)2)(1(--r r r x 3 +… -1 规律（两图同用此规律）： ①在第一幅图中，对角线的两个三角函数成倒数关系 例如： sin(α)?csc?(α)=1 或 csc α=1sin?(α) ②边界上的任一三角函数等于其相邻两函数的乘积（乘积关系） 例如： sin?函数的两边分别是tan 和cos ， ∴sin α=tan α?cos?(α) 又例如：tan 函数的两边分别是sin 和sec ， ∴tan?(α)=sin?(α)?sec?(α) ③在有阴影的三角形里，两个上顶角的平方和都等于下顶角（平方和关系） 例如：sin 和cos 分别处于阴影三角形的两个上顶角 ∴sin 2α+cos 2α=1 又例如：tan?和1分别处于阴影三角形的两个上顶角 ∴tan 2α+1=sec 2(α) 六个三角函数相互关系记忆图 高中适用简化三个三角函数相互关系记忆图 两图的画法 六个三角函数的图： sin Cos tan cot csc sec ①先看左上部，画图的顺序是sin 到cos 再到tan ，呈现一个“7”字型，而下半部分的顺序是csc 到sec 到cot ，呈现倒“7”字型。 ②中心写一个1 ③从sin 到cos 再到cot ， csc 再到sec 和tan ，顺次连接成六边形 ④补上对角线，记住对角线一定要过中心的1 ⑤以sin ，cos 和1为第一个有阴影的三角形，每隔一个三角型就有一个阴影三角形，阴影三角形总共有三个。 1 三个三角函数的图： sin Cos tan 1 ①画图的顺序是sin 到cos 再到tan ，呈现一个“7”字型 ②中心写一个1 ③从sin 到cos 再到tan ， 再回到sin ，顺次连接成三角形 ④将sin 和1连起来 ⑤以sin ，cos 和1为有阴影的三角形 高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μ μμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() ()()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ?? (5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1 d x x dx μ μμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2 tan sec d x xdx = ⑹()2 cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1 ln d x dx x = 第六章实数 知识网络： 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类 （1）开方开不尽的数，如32 ,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现） 判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0 π 不是无理数。 3、有理数与无理数的区别 （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 考点二、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 （1）如果一个正数x的平方等于a ，即，那么这个正数x叫做a的算术平方 根。 （2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟） 。如果，那么x叫做a的平方根。 （3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。如果，那么x叫做a的立方根。 2、运算名称 （1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 （1）正数a的算术平方根，记作“a”。 （2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。 （3）一个数a 的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 （1）若a≥0，则a 的平方根是a 它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。 实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 （2）若a <0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是 。 （3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 考点三、实数的性质 有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。 1、相反数 （1）实数a 的相反数是-a ；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零） （2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a +b =0，a =-b ，反之亦成立。 2、绝对值 （1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a |≥0。 （2）若|a |=a ，则a ≥0；若|a |=-a ，则a ≤0，零的绝对值是它本身。 （3） ?? ?<-≥)0()0(a a a a 3、倒数 （1）如果a 与b 互为倒数，则有ab =1，反之亦成立。实数a 的倒数是1/a （a ≠0） （2）倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点四、实数的三个非负性及性质 1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。 2、非负数有三种形式 （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( )。 3、非负数具有以下性质 （1）非负数有最小值零； （2）非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 考点五、实数大小的比较 实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同： （1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； （2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。 （4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方． 考点六、实数的运算 （1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算 （2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立 （3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。 （4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。 二、典例剖析，综合拓展 知识点1：算术平方根 1. 1691的算术平方根为（ ） （A ）131 （B ）－131 （C ）±131 （D ）（169 1）2 算术平方根的定义： 三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 第一部分：常用积分公式 基本积分公式： 1 kdx kx c =+? 2 1 1 x x dx c μμ μ+= ++? 3 ln dx x c x =+? 4 ln x x a a dx c a =+? 5 x x e dx e c =+? 6 cos sin xdx x c =+? 7 sin cos xdx x c =-+? 8 2 21sec tan cos dx xdx x c x ==+?? 9 22 1 csc cot sin xdx x c x ==-+?? 10 2 1arctan 1dx x c x =++? 11 arcsin x c =+ 12 tan ln cos xdx x c =-+? 13 cot ln sin xdx x c =+? 14 sec ln sec tan xdx x x c =++? 15 csc ln csc cot xdx x x c =-+? 16 22 11arctan x dx c a x a a =++? 17 22 11ln 2x a dx c x a a x a -=+-+? 18 arcsin x c a =+ 19 ln x c =+ 分部积分法公式 1 形如n ax x e dx ? ，令n u x =，ax dv e dx = 2 形如sin n x xdx ?令n u x =，sin dv xdx = 3 形如cos n x xdx ? 令n u x =，cos dv xdx = 4 形如arctan n x xdx ?，令arctan u x =，n dv x dx = 5 形如ln n x xdx ?，令ln u x =，n dv x dx = 6 形如sin ax e xdx ? ，cos ax e xdx ? 令,sin ,cos ax u e x x =均可。 常用凑微分公式 1. ()()()1 f ax b dx f ax b d ax b a += ++? ? 2. ()()()11 f x x dx f x d x μμμμμ-= ? ? 3. ()()()1 ln ln ln f x dx f x d x x ?=? ? 4. ()()()x x x x f e e dx f e d e ?=?? 5. ()()()1 ln x x x x f a a dx f a d a a ?= ? ? 6. ()()()sin cos sin sin f x xdx f x d x ?=?? 7. ()()()cos sin cos cos f x xdx f x d x ?=-?? 8. ()()()2 tan sec tan tan f x xdx f x d x ?=?? 9. 2dx f d =? 10.21111()()()f dx f d x x x x =-?? 11.()()()2 cot csc cot cot f x xdx f x d x ?=?? §3-7 阅读(有理函数和三角函数有理式的积分法) 在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分.在那里，因为被积函数都很特殊，所以用“拼凑的方法”就求出了它们的积分.这一节讨论的是一般情形下，如何求它们的积分.当你遇到那些简单或特殊的情形时，当然不必用这里的一般方法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了. 1.有理函数的积分法 有理函数的积分 () d () p x x q x ? [其中()p x 和()q x 都是多项式] 总可以积出来，即可把它表示成初等函数.积分方法的要点是： 第一，若有理函数()()p x q x 中，分子()p x 的次数不低于分母()q x 的次数，则称它为假分式.在这种情形下，就用多项式除法（见下面例27），先把它变成一个多项式与一个真分式之和，即 ()() ()()() p x r x s x q x q x =+ [其中分子()r x 的次数低于分母()q x 的次数] 于是， () d () p x x q x ? () ()d d () r x s x x x q x =+?? 右端第一项是多项式的积分(用分项积分法可以积出来)，所以就变成求有理函数真分式的积 分()d ()r x x q x ? . 关于多项式除法，请看下面的例题. 例27 例如求有理函数假分式的积分 522 d 36 x x x x -++? 首先像做整数除法那样，做多项式除法： 由此可得 63225++-x x x 321232 3336x x x x +??=-+ ?+?? 其次再逐项积分，即 (余式) 23+x (被除式) （除式） 25 53 36000202x x x x x ++++-+++ x x x x 40220233-+-+-+- （商式） 312 33x x - 高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义 图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3 倍角公式、半角公式3.1 倍角公式 3.2 半角公式 3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积4.1 积化和差公式 4.2 和差化积公式 诱导公式 ?sin(-a)=-sin(a) ?cos(-a)=cos(a) ?sin(pi/2-a)=cos(a) ?cos(pi/2-a)=sin(a) ?sin(pi/2+a)=cos(a) ?cos(pi/2+a)=-sin(a) ?sin(pi-a)=sin(a) ?cos(pi-a)=-cos(a) ?sin(pi+a)=-sin(a) ?cos(pi+a)=-cos(a) ?tgA=tanA=sinA/cosA 两角和与差的三角函数 ?sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) ?cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) ?sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) ?cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) ?tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b)) ?tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b)) 第一部分：常用积分公式 基本积分公式： 1 kdx kx c =+? 2 1 1 x x dx c μμμ+=++? 3 ln dx x c x =+? 4 ln x x a a dx c a =+? 5 x x e dx e c =+? 6 cos sin xdx x c =+? 7 sin cos xdx x c =-+? 8 221sec tan cos dx xdx x c x ==+?? 9 221csc cot sin xdx x c x ==-+?? 10 21arctan 1dx x c x =++? 11 arcsin x c =+ 12 tan ln cos xdx x c =-+? 13 cot ln sin xdx x c =+? 14 sec ln sec tan xdx x x c =++? 15 csc ln csc cot xdx x x c =-+? 16 2211arctan x dx c a x a a =++? 17 2211ln 2x a dx c x a a x a -=+-+? 18 arcsin x c a =+ 19 ln x c =+ 分部积分法公式 1 形如n ax x e dx ?，令n u x =，ax dv e dx = 2 形如sin n x xdx ? 令n u x =，sin dv xdx = 3 形如cos n x xdx ?令n u x =，cos dv xdx = 4 形如arctan n x xdx ? ，令arctan u x =，n dv x dx = 5 形如ln n x xdx ? ，令ln u x =，n dv x dx = 6 形如sin ax e xdx ?，cos ax e xdx ?令,sin ,cos ax u e x x =均可。 常用凑微分公式 1. ()()()1f ax b dx f ax b d ax b a +=++? ? 2. ()()()11f x x dx f x d x μμμμμ-=?? 3. ()()()1ln ln ln f x dx f x d x x ?=?? 4. ()()()x x x x f e e dx f e d e ?=?? 5. ()()()1ln x x x x f a a dx f a d a a ?=?? 6. ()()()sin cos sin sin f x xdx f x d x ?=?? 7. ()()()cos sin cos cos f x xdx f x d x ?=-?? 8. ()()()2tan sec tan tan f x xdx f x d x ?=?? 9. 2dx f d =? 10. 21111()()()f dx f d x x x x =-?? 11. ()()()2cot csc cot cot f x xdx f x d x ?=?? 精品文档 §3.6 有理函数及三角函数有理式的积分 教学目的： 使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法， 掌握有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。 重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用 难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用 教学过程： 一、问题的提出 前面两节我们利用基本积分表、 不定积分性质和两种基本积分发 （换元积分法与分部积分法） 已经求出了一些不定积分。从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按 照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数， 而求不定积分却没有那样容易。即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还“积不出”。例如， sin x dx, dx , e x 2 dx , dx ， x ln x 1 x 3 被积函数都是初等函数， 看起来也并不复杂， 但是在初等函数范围内却积不出来， 这是 因为被积函数的原函数不是初等函数。 本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分 计算技巧。 求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套” “拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。 “变”，即代数恒等 变形：加一项减一项、 乘一项除一项、 分子分母有理化、 提取公因子； 三角恒等变形： 半角、 倍角公式， 平方和公式， 积化和差、 和差化积、 和角公式； 陪完全平方： 根号下配完全平方、分母配完全平方等； “凑”，即凑微法（第一类换元法） 。“换”，即第二类换元法（三角代换、倒代换、指数代换法等） 。“分”，即分部积分法。 “套”，即套基本公式。 求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字，即巧用上述方法和综合 运用上述方法。 二、 有理函数的积分 有理函数 R( x) 是指由两个多项式的商所表函数，即 P( x) a 0 x n a 1x n 1 a n 1 x a n R( x) Q( x) b 0 x m b 1 x m 1 b m 1 x b m 其中 m 和 n 都是非负整数； a 0 , a 1 , a 2 , , a n 及 b 0 , b 1, b 2 , , b m 都是实数，通常总假定 分子多项式 P( x) 与分母多项式 Q(x) 之间没有公因式，并且 a 0 0 ， b 0 0 . 当 n m 时，称 R(x) 为真分式；而当 n m 时，称 R( x) 为假分式 . 一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式 .例如 x 4 x 3 x 2 x 1 x 1 22 【课堂例题】 例1.试画出正弦函数在区间[0,2]π上的图像. 例2.试画出余弦函数在区间[0,2]π上的图像. 课堂练习 1.作函数sin y x =-与sin 1y x =+在区间[0,2]π上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系. 3.作函数cos ,[,]y x x ππ=∈-的大致图像. 4.利用3.解不等式：cos sin ,[,]x x x ππ≥∈- 【知识再现】 正弦函数：y = ，x ∈ ； 余弦函数：y = ，x ∈ . 正弦函数和余弦函数在[0,2]π上的大致图像: 【基础训练】 1.(1)若MP 和OM 分别是角 76 π 的正弦线和余弦线，则( ) A.0MP OM <<；B.0OM MP >>； C.0OM MP <<；D.0MP OM >>. (2)正弦函数与余弦函数在区间[,]ππ-内的公共点的个数是( ) A.1； B.2； C.3； D.4. 2.我们学过的诱导公式中， (1)说明余弦函数cos ,y x x R =∈的图像关于y 轴对称的是 ； (2)说明正弦函数sin ,y x x R =∈的图像关于直线2 x π = 对称的是 . 3.(1)函数cos 3,y x x R =+∈的值域是 ； (2)函数24sin 2,(0,)y x x π=-∈的值域是 . 4.函数cos ,[0,2]y x x π=∈和1y =的图像围成的封闭的平面图形的面积为 . 5.利用“五点法”,画出下列函数的大致图像：(步骤：列表、描点、联线) (1)1sin ,[,]y x x ππ=+∈-; (2)cos ,[0,2]y x x π=-∈. O y x 三角函数一共有6个: 直角三角形中: 正弦:sin 对边比斜边 余弦:cos 邻边比斜边 正切:tan 对边比邻边 余切:cot 邻边比对边 正割:csc 斜边比对边 余割:sec 斜边比邻边 设三角形三个内角分别为A,B,C;对边分别为a,b,c 正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,(R为该三角形外接圆半径) 余弦定理: c2=a2+b2-2abcosC b2=a2+c2-2accosB a2=b2+c2-2bccosA 由余弦定理可推导出: a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 海仑公式: SΔABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],而公式里的p为半周长: p=(a+b+c)/2 1 三角函数公式大全 一,诱导公式 口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限. 1. sin (α+k2360)=sin α cos (α+k2360)=cos a tan (α+k2360)=tan α 2. sin(180°+β)=-sinα cos(180°+β)=-cosa 3. sin(-α)=-sina cos(-a)=cosα 4*. tan(180°+α)=tanα tan(-α)=tanα 5. sin(180°-α)=sinα cos(180°-α)=-cosα 6. sin(360°-α)=-sinα cos(360°-α)=cosα 7. sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα 8*. Sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα 9*. Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+a)=-sinα 10*.sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα 二,两角和与差的三角函数 1. 两点距离公式 2. S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ C(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 3. S(α-β): sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ C(α-β): cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 4. T(α+β): T(α-β): 5*. 三,二倍角公式 1. S2α: sin2α=2sinαcosα 2. C2a: cos2α=cos2α-sin2a 3. T2α: tan2α=(2tanα)/(1-tan2α) 4. C2a': cos2α=1-2sin2α cos2α=2cos2α-1 四*,其它杂项(全部不可直接用) 1.辅助角公式 asinα+bcosα=sin(a+φ),其中tanφ=b/a,其终边过点(a, b) asinα+bcosα=cos(a-φ),其中tanφ=a/b,其终边过点(b,a) 2.降次,配方公式 降次: sin2θ=(1-cos2θ)/2 cos2θ=(1+cos2θ)/2 配方 1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]2 1+cosθ=2cos2(θ/2) 1-cosθ=2sin2(θ/2) 3. 三倍角公式 sin3θ=3sinθ-4sin3θ cos3θ=4cos3-3cosθ 4. 万能公式 5. 和差化积公式 sinα+sinβ= 书p45 例5(2) sinα-sinβ= cosα+cosβ= 微积分及三角函数公式 合集 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 第一部分：常用积分公式 基本积分公式： 1 kdx kx c =+? 2 1 1 x x dx c μμ μ+= ++? 3 ln dx x c x =+? 4 ln x x a a dx c a =+? 5 x x e dx e c =+? 6 cos sin xdx x c =+? 7 sin cos xdx x c =-+? 8 2 21sec tan cos dx xdx x c x ==+? ? 9 221 csc cot sin xdx x c x ==-+?? 10 2 1 arctan 1dx x c x =++? 11 arcsin x c =+ 12 tan ln cos xdx x c =-+? 13 cot ln sin xdx x c =+? 14 sec ln sec tan xdx x x c =++? 15 csc ln csc cot xdx x x c =-+? 16 22 11arctan x dx c a x a a =++? 17 2211ln 2x a dx c x a a x a -=+-+? 18 arcsin x c a =+ 19 ln x c =+ 分部积分法公式 1 形如n ax x e dx ?，令n u x =，ax dv e dx = 2 形如sin n x xdx ?令n u x =，sin dv xdx = 3 形如cos n x xdx ?令n u x =，cos dv xdx = 4 形如arctan n x xdx ?，令arctan u x =，n dv x dx = 5 形如ln n x xdx ?，令ln u x =，n dv x dx = 6 形如sin ax e xdx ?，cos ax e xdx ?令,sin ,cos ax u e x x =均可。 常用凑微分公式 1. ()()()1 f ax b dx f ax b d ax b a +=++?? 2. ()()()11 f x x dx f x d x μμμμμ-= ?? 3. ()()()1ln ln ln f x dx f x d x x ?=?? 4. ()()()x x x x f e e dx f e d e ?=?? 5. ()()()1ln x x x x f a a dx f a d a a ?= ?? 6. ()()()sin cos sin sin f x xdx f x d x ?=?? 7. ()()()cos sin cos cos f x xdx f x d x ?=-?? 8. ()()()2tan sec tan tan f x xdx f x d x ?=?? 9. 2dx f d =? 10.21111()()()f dx f d x x x x =-? ? 11.()()()2cot csc cot cot f x xdx f x d x ?=?? 第二部分：常用微分、导数公式 （c=常数）六个三角函数相互关系记忆图
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