《利用平面向量的解题技巧》
利用平面向量的解题技巧
平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。下面举例说明。 一、用向量证明平面几何定理
例1. 用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。
已知：如图1，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点（不与A 、B 重合），求证：∠APB ＝90°。
图1
证明：联结OP ，设向量b OP a OA =→
=→，，则a OB -=→且b a OP OA PA -=→-→=→，b a OP OB PB -=→
-→=→
0|a ||b |a b PB PA 2222=-=-=→
?→∴
→
⊥→∴PB PA ，即∠APB ＝90°。
二、用向量求三角函数值 例2. 求值：7
6cos 74cos 72cos
πππ++ 解：如图2，将边长为1的正七边形ABCDEFO 放进直角坐标系中，则
)
01(OA ，=→
，
)
7
12sin 712(cos FO )710sin 710(cos EF )78sin 78(cos DE )7
6sin 76(cos CD )74sin 74(cos BC )72sin 72(cos AB ππππππππππππ，，，，，，
，，，，，=→=→=→=→=→=→
图2
又0FO EF DE CD BC AB OA =→
+→+→+→+→+→+→
07
12cos 710cos 78cos 76cos 74cos 72cos
1=++++++∴ππππππ 又7
2cos 712cos 74cos 710cos 76cos 78cos
ππππππ===，， 2176cos 74cos 72cos 0)7
6cos 74cos 72(cos
21-
=++∴=+++∴ππππ
ππ
三、用向量证明不等式
例3. 证明不等式)b b )(a a ()b a b a (2
221222122211++≤+
证明：设向量)b b (b )a a (a 2121，，，==，则222
12221b b |b |a a |a |+=+=，，
设a 与b 的夹角为θ，22
2122
21
2211b
b a
a b a b a |
b ||a |b
a cos +++=?=
θ
又1|cos |≤θ
则)b b )(a a ()b a b a (2
221222122211++≤+
当且仅当a 、b 共线时取等号。
四、用向量解物理题
例 4. 如图3所示，正六边形PABCDE 的边长为b ，有五个力
→→→→PD PC PB PA 、、、、→
PE 作用于同一点P ，求五个力的合力。
图3
解：所求五个力的合力为→
+→+→+→+→PE PD PC PB PA ，如图3所示，以PA 、PE 为边作平行四边形PAOE ，则→
+→=→PE PA PO ，由正六边形的性质可知
b |PA ||PO |=→
=→，且O 点在PC 上，以PB 、PD 为边作平行四边形PBFD ，则→
+→=→PD PB PF ，由正六边形的性质可知b 3|PF |=→，且F 点在PC 的延长线上。
由正六边形的性质还可求得b 2|PC |=→
故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b 6b 3b 2b =++，方向与
→
PC 的方向相同。