【2021版 九年级数学培优讲义】专题16 相似三角形的性质

专题16 相似三角形的性质

阅读与思考

相似三角形的性质有：

1. 对应角相等；

2. 对应边成比例；

3. 对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比；

4. 周长之比等于相似比；

5.

面积之比等于相似比的平方.

性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角.

如图，正方形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC ，设BC a =，AD h =，试用a 、h 的代数式表示正方形的边长.

H

G

E

F D C

B

A

例题与求解

【例1】如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 及CD 的延长线相交于E ，F ，G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 . （“弘晟杯”上海市竞赛试题）

解题思路：由相似三角形建立含FG 的关系式，注意中间比的代换.

G

E

F

D

C

B

A

【例2】如图，已知△ABC 中，DE ∥GF ∥BC ，且::1:2:3AD DF FB =，

则:ADE DFGE S S △四边形:FBCG S =四边形（ ） （黑龙江省中考试题） A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D. 1:8:36

解题思路：△ADE ，△AFG 都与△ABC 相似，用△ABC 面积的代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积.

G

E

F

D C

B

A

【例3】如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1，t 2，t 3的面积分别为4，9和49，求△ABC 的面积. （第二届美国数学邀请赛试题）

解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质.

t 1

t 2

t 3

I P H

G

E

F D

C

B

A

如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到：

① △FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ； ② 1HG IE DF

BC AC AB ++=； ③ 2DE FG HI

BC AC AB

++=； ④

2ABC S =△.

上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心独

运，请读者给出证明.

【例4】如图，△ABC 中，O 是三角形内一点，满足BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠.

求证：2BC AC AB =?. （北京大学自主招生考试试题） 解题思路：这实际上是一个著名的问题：布洛卡点问题. 设P 是△ABC 内一点，满足

PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，称点P 是△ABC 的布洛卡点，则有

cot cot cot cot BAC ABC ACB θ∠+∠+∠=.

O

C

B

A

【例5】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AD =，5DC =

，AB =，45B ∠=?. 动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，设运动的时间为t 秒.

（1）求BC 的长；

（2）当MN ∥AB 时，求t 的值；

（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形. （济南市中考试题） 解题思路：对于（2），由，构造相似三角形，由三角形相似得对应边成比例，进而解决问题；对于（3），需要分情况讨论.

在证明含线段平行关系的问题时，常常联想到以下知识：①勾股定理；②相似三角形面积比等于相似比的平方.

M

C

B

【例6】 设△A 1B 1C 1的面积为S 1，△A 2B 2C 2的面积为S 212()S S <，当△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且

1

2

0.30.4S S ≤

≤时，则称△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2有一定的“全等度”. 如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ， 30B ∠=?，60BCD ∠=?，连接AC . （厦门市中考试题）

（1）若AD =DC ，求证：△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”；

（2）你认为：△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.

解题思路：本题设置了“全等度”这一新概念，要求在对其理解的基础上进行辨析和判断，并举例说明符合或不符合概念特征的正例或反例，这是试题对概念理解考查的有力保障..

E

D

C

B

A

能力训练

A 级

1. 如图，在△ABC 与△BED 中，若5

3

AB BC AC BD BE DE ===，且△ABC 与△BED 的周长之差为10cm ，则△ABC 的周长为

cm.

F

E

C

A

D

B

C

A

D

B

E

D

C

B

A

（第1题） （第2题） （第3题）

2. 如图，△ABC 中，:1:2CE EB =，DE ∥AC . 若△ABC 的面积为S ，则△ADE 的面积为 . （苏州市中考试题）

3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ，CD 交于F ，且3EFC FED S S =△△，则:ADE ABC S S =△△ .

4. 若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm 和4cm ，则此正方形的边长为 cm. （武汉市中考试题）

5. 如图，□ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 的中点，EF 交AC 于点O ，FE 的延长线交CB 的延长线于G 点，那么:AOF COG S S =△△（ ）

A.1:4

B.1:9

C.2:5

D.1:2

O N

M

F

M

G O F E C

A

D

B

E

C

A

D B

E

D C

B

A

（第5题） （第6题） （第7题）

6. 如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=?，AD ∥BC ，BC =CD ，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=?. 将△BEC 绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连接EF 交CD 于点M . 已知5BC =，3CF =，则:DM MC 的值为（ ）

A.5:3

B.3:5

C.4:3

D.3:4

（荆州市中考试题）

7. 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，AO 与DE ，BC 分别交于点N ，M ，则下列结论错误的是（ ）

A.AN ON AM OM =

B.22ONE OMB S AN S AM =△△

C.AN OE

AM OC = D.22

ADE ABC

S ON OM S =△△ （ ）

A.

12 B.13

C.23

D.25

N

M

C A

D

B

D

C

B A

（第8题） （第9题）

B级

1. 如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB. 若△ADE，△EFG，△GIC的面积分别为20cm2，45 cm2，80 cm2，则△ABC的面积为.

31S =，

那么正方形OPQR 的边长是（ ）

（全国初中数学联赛试题）

C.2

D.3

（第3题） （第4题） （第5题）

4. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且3CD AB =，EF ∥CD ，EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部

分，

则:AE ED =（ ） （“希望杯”邀请赛试题） A.2 B.

3

2

5. 如图，△ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AB 上的点，且123∠=∠=∠. 如果△ABC ，△EBD ，△ADC 的周长依次是m ，m 1，m 2，证明：

1254

m m m +≤. （全国初中数学联赛试题）

6. 如图，P 是△ABC 内的一点，等长的三条线段DE ，FG 和HI 分别平行于边AB ，BC 和CA ，并且

12AB =，8BC =，6CA =. 求证：::1:5:3AI IF FB =. （江苏省竞赛试题）

（第6题） （第7题）

7. 如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且ABC PQRS S nS =△矩形，其中n 为不小于3的自然数. 求证：

BS

AB

为无理数. （上海市竞赛试题）

8. 如图，已知直线l 1的解析式为36y x =+，直线l 1与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，直线l 2经过B ，C 两点，点C 的坐标为(8,0). 又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线l 2上从点C 向点B 移动，点P ，Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度. 设移动时间为t 秒.

（1）求直线l 2的解析式；

（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式； （3）试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？

（山西省中考试题）

9. 如图，设△ABC 三边上的 内接正方形（两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另两边上）的面积相等. 求证：△ABC 为正三角形. （江苏省竞赛试题）

F

G E

D C

B

A

10. 在矩形ABCD 和矩形CEFG 中，已知

AD CG

k AB CE

==，连接DE 与AF 交于点P ，连接CP . （1）如图1，当1k =时，点B ，C ，E 三点在同一条直线上，求AF

DE

的值.

（2）如图2，当1k =时，将图1中的矩形CEFG 绕点C 顺时针旋转一个角度. ① 求

AF

DE

的值； ② 求证：CP ⊥AF .

（3）如图3，当1k ≠时，请直接写出用含k 的式子表示的

AF

DE

的值. A

D

B

C

E

F

G

P

G

A

B

C

P D

E

F

F

E

D P

C

B

A

G

图1 图2 图3

11. 在直角梯形ABCD 中，CB ∥OA ，90COA ∠=?，3CB =，6OA =

，BA =分别以OA ，OC 边所在的直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）求点B 的坐标；

（2）已知D ，E 分别为线段OC ，OB 上的点，5OD =，2OE EB =，直线DE 交x 轴于点F ，求直线DE 的解析式；

（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.

（山西省中考试题）