(完整版)初一年级数学经典例题

数学天地：

初一年级数学核心题目赏析

有理数及其运算篇

【核心提示】

有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面.

【核心例题】

例1计算：2007

20061

......431321211?+

+?+?+? 分析此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆

成

11211-=?，可利用通项

()11111+-=+?n n n n ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解.

解原式=)20071

20061(......413131212111-++-+-+-）（）（）（

=20071

20061......41313121211-

++-+-+- =20071

=2007

2006

例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点

分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+. 分析从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0.

解由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0

所以，b c b a a -+-+= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c

例3 计算：??

??-??? ??-????? ??-??? ??-??? ??-211311 (9811991110011)

分析本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便.

解原式=2132......9897999810099?????=

1001

例4 计算：2-22-23-24-……-218-219+220.

分析本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”

呢？我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考虑

2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的.

解原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2） =2-22-23-24-……-218+219

=2-22-23-24-……-217+218（-1+2） =2-22-23-24-……-217+218 =…… =2-22+23 =6

【核心练习】

1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求：

()()

......

1111++++b a ab ()()200620061++b a 的值. （提示：此题可看作例1的升级版，求出a 、b 的值代入就成为了例1.） 2、代数式

b b a a ++的所有可能的值有（）个（2、3、4、无数个）【参考答案】

1、2008

2007

2、3

字母表示数篇

【核心提示】

用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当

n=1,S=1①n=2,S=5②③

n=3,S=9变形，采用整体代入法或特殊值法.

【典型例题】

例1已知：3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____

分析对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方

法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得3

=x ,把x 、y 的值代入

2x-4y+6可得答案3

.这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不

合适的.

解由3x-6y-5=0，得35

2=-y x

所以2x-4y+6=2(x-2y)+6=6352+?=3

例2已知代数式1)1(++-n n x x ，其中n 为正整数，当x=1时，代数式的值是，当x=-1时，代数式的值是 .

分析当x=1时，可直接代入得到答案.但当x=-1时，n 和(n-1)奇偶性怎么确定呢？因n 和(n-1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶.

解当x=1时，

1)1(++-n n x x =111)1(++-n n =3

当x=-1时，

1)1(++-n n x x =1)1()1()1(+-+--n n =1

例3 152=225=100×1（1+1）+25， 252=625=100×2（2+1）+25

352=1225=100×3（3+1）+25， 452=2025=100×4（4+1）+25…… 752=5625= ，852=7225=

（1）找规律，把横线填完整；（2）请用字母表示规律; （3）请计算20052的值.

分析这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然.100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.

解 (1)752=100×7（7+1）+25，852=100×8（8+1）+25

(2)(10n+5)2=100×n （n+1）+25

(3) 20052=100×200（200+1）+25=4020025

例4如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③.S 表示三角形的个数.

（1）当n=4时，S= ，

（2）请按此规律写出用n 表示S 的公式.

分析当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢？单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的.

解 (1)S=13

(2)可列表找规律：

所以S=4(n-1)+1.(当然也可写成4n-3.)

【核心练习】

1、观察下面一列数，探究其中的规律：

—1，21，31-，41，51-，6

①填空：第11，12，13三个数分别是，，； ②第2008个数是什么？

③如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？.

2、观察下列各式: 1+1×3 = 22, 1+2×4 = 32, 1+3×5 = 42,……请将你找出的规律用公式表示出来:

【参考答案】

1、①111-，12

1，1311-;②20081;③0.

2、1+n ×(n+2) = (n+1)2

平面图形及其位置关系篇

【核心提示】

平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便.

【典型例题】

例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个.

分析 6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢？我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.

解

例2 两条平行直线m 、n 上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连（）条直线.

A ．20

B ．36

C ．34

D ．22

分析与解让直线m 上的4个点和直线n 上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m 上的4个点和直线n 上的5个点各确定的一条直线，共22条直线.故选D. 例3 如图，OM 是∠AOB 的平分线.射线OC 在∠BOM 内，ON 是∠BOC 的平分线，已知∠AOC=80°，那么∠MON 的大小等于

_______.

分析求∠MON 有两种思路.可以利用和来求，即∠MON=∠MOC+

∠CON.

也可利用差来求，方法就多了，∠MON=∠MOB-∠

BON=∠AON-∠AOM=∠

AOB-∠AOM-∠BON.根据两条角平分线，想办法和已知的∠AOC 靠拢.解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的.

解因为OM 是∠AOB 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线，

所以∠MOB=

21∠AOB ，∠NOB=2

∠COB 所以∠MON=∠M OB-∠N OB=21∠AOB-21∠C OB=21（∠AOB-∠C OB ）=2

∠

AOC=21

×80°=40°

例4 如图，已知∠AOB=60°，OC 是∠AOB 的平分线，OD 、OE 分别平分∠BOC 和∠AOC. （1）求∠DOE 的大小； O A

M C

B A

D E

图1图2图3

（2）当OC 在∠AOB 内绕O 点旋转时，OD 、OE 仍是∠BOC 和∠AOC 的平分线，问此时∠DOE 的大小是否和（1）中的答案相同，通过此过程你能总结出怎样的结论.

分析此题看起来较复杂，OC 还要在∠AOB 内绕O 点旋转，是一个动态问题.当你求出第（1）小题时，会发现∠DOE 是∠AOB 的一半，也就是说要求的∠DOE ，和OC 在∠AOB 内的位置无关.

解 (1)因为OC 是∠AOB 的平分线，OD 、OE 分别平分∠BOC 和∠AOC.

所以∠DOC=21∠BOC ，∠COE=2

∠COA

所以∠DOE=∠DOC+∠COE=21∠BOC+21∠COA=21（∠BOC+∠COA ）=21

∠AOB

因为∠AOB=60°

所以∠DOE =

21∠AOB= 2

×60°=30° (2)由（1）知∠DOE =21

∠AOB ，和OC 在∠AOB 内的位置无关.故此时∠DOE 的

大小和（1）中的答案相同.

【核心练习】

1、A 、B 、C 、D 、E 、F 是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_______条.

2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时分.

【参考答案】

1、15条

2、分分或11

5411921.

一元一次方程篇

【核心提示】

一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。解含分母的方程时要

找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错.解含参

数方程或绝对值方程时，要学会代入和分类讨论。列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。

【典型例题】

例1已知方程2x+3=2a 与2x+a=2的解相同，求a 的值.

分析因为两方程的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解.认真观察可知，本题不需求出x ，可把2x 整体代入.

解由2x+3=2a ，得 2x=2a-3. 把2x=2a-3代入2x+a=2得

2a-3+a=2， 3a=5,

所以 3

例2 解方程 3

221+-

=--

x x x 分析这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号

的情况.

解两边同时乘以6，得

6x-3(x-1)=12-2(x+1) 去分母，得

6x-3x+3=12-2x-2 6x-3x+2x=12-2-3 5x=7 x=

7 例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.

分析这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价×（1+利润率），故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程.

解：设原进价为x 元，销售价为y 元，那么按原进价销售的利润率为 %100?-x x y ,原进价降低后在销售时的利润率为%100%6.93%6.93?-x x

y ,由题意得： %100?-x x y +8%=%100%6.93%6.93?-x

解得 y=1.17x

故这种商品原来的利润率为

%10017.1?-x

x =17%. 例4解方程 │x-1│+│x-5│=4

分析对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”，再把“零点”放中数轴上对x 进行讨论.

解：由题意可知，当│x-1│=0时，x=1；当│x-5│=0时，x=5.1和5两个“零点”把x 轴分成三部分，可分别讨论：

1）当x<1时，原方程可化为 –(x-1)-(x-5)=4，解得 x=1.因x<1，所以x=1应舍去.

2）当1≤x ≤5时，原方程可化为 (x-1)-(x-5)=4，解得 4=4，所以x 在1≤x ≤5范围内可任意取值.

3）当x>5时，原方程可化为 (x-1)+(x-5)=4，解得 x=5.因x>5，故应舍去. 所以， 1≤x ≤5是比不过的。

【核心练习】

1、已知关于x 的方程3[x-2(x-3a )]=4x 和18

51123=--+x

a x 有相同的解，那么这

个解是 .（提示：本题可看作例1的升级版）

2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回

甲地，那么某人往返一次的平均速度是____千米/小时.

【参考答案】

1、

2、4.8 生活中的数据篇

【核心提示】

生活中的数据问题，我们要分清三种统计图的特点，条形图表示数量多少，折线图表示变化趋势，扁形图表示所占百分比.学会观察，学会思考，这类问题相对是比较简单的.

【典型例题】

例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果：（单位：分）

研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队，并回答下列问题：

（1）你是怎样设计统计图的？

（2）你是怎样评价这两支球队的？和同学们交流一下自己的想法.

分析选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定.本题可以用复式条形统计图，达到直观、有效地目的.

解用复式条形统计图：（如下图）

从复式条形图可知乙球队胜了3场输了1场.

例2根据下面三幅统计图（如下图），回答问题：

（1）三幅统计图分别表示了什么内容？

（2）从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况？

（3）2050年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到这个数据的？

（4）2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？

分析这类问题可根据三种统计图的特点来解答.

解（1）折线统计图表示世界人囗的变化趋势，条形统计图表示各洲人囗的多少，扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比.

（2）折线统计图

（3）80亿，折线统计图. （4）扇形统计图

【核心练习】

1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图，根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）哪国金牌数最多？（2）中国可排第几位？

（3）如果你是中国队的总教练，将会以谁为下一次奥运会的追赶目标？

【参考答案】

1、（1）美国（2）第3位（3）俄罗斯.

平行线与相交线篇

【核心提示】

平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定.单独使用性质或判定的题目较简单，当交替使用时就不太好把握了，有时不易分清何时用性质，何时用判定.我们只要记住因为是条件，所以得到的是结论，再对照性质定理和判定定理就容易分清了.

这部分另一核心知识是写证明过程.有时我们认为会做了，但如何写出来呢？往往不知道先写什么，后写什么.写过程是为了说清楚一件事，是为了让别人能看懂，我们带着这种目的去写就能把过程写好了.

【典型例题】

例1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条.

A ．7

B ．6

C ．9

D ．8 分析与解这样的5个点我们可以画出来，直接查就可得到直线的条数.也可以设只有A 、B 、C 三点在一条直线上，D 、

E 两点分别和A 、B 、C 各确定3条直线共6条，A 、B 、C 三点确定一条直线，D 、E 两点确定一条直线，这样5个点共确定8条直线.故选D.

例2已知∠BED=60°, ∠B=40°, ∠D=20°,求证：AB ∥CD. 分析要证明两条直线平行，可考虑使用哪种判定方法得到平行？已知三个角的度数，但这三个角并不是同位角或内错角.因此可以考虑作辅助线让他们建立联系.延长BE 可用内错角证明

G F E D

C B A

A B E F D

平行.过点E 作AB 的平行线，可证明FG 与CD 也平行，由此得到AB ∥CD.连接BD ，利用同旁内角互补也可证明.

解延长BE 交CD 于O ， ∵∠BED=60°, ∠D=20°，

∴∠BOD=∠BED-∠D=60°-20°=40°, ∵∠B=40°，

∴∠BOD=∠B ， ∴AB ∥CD.

其他方法，可自己试试！例3如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC ∥ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证： ∠EDF=∠BDF.

分析由CE 、DF 同垂直于AB 可得CE ∥DF ，又知AC ∥ED ，利用内错角和同位角相等可得到结论.

解 ∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ， ∴CE ∥DF

∴∠EDF=∠DEC ， ∠BDF=∠DCE ， ∵AC ∥ED ，

∴∠DEC=∠ACE ，

∴∠EDF=∠ACE.

∵CE 是∠ACB 的平分线， ∴∠DCE=∠ACE ， ∴∠EDF=∠BDF.

例4如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB 与∠CBA 的

平分线相交于O 点，求∠AOB 的度数.

分析已知∠C=90°，由此可知∠CAB 与∠CBA 的和为90°，由角平分线性质可得∠OAB 与∠OBA 和为45°，所以可得∠AOB 的度数. 解 ∵OA 是∠CAB 的平分线，OB 是∠CBA 的平分线，

∴∠OAB=21∠CAB ，∠OBA=2

∠CBA ，

∴∠OAB+∠OBA=21∠CAB+21∠CBA=21（∠CAB+∠CBA ）=2

（180°-∠C ）=45°，

∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA ）=135°.

（注：其实∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA ）=180°-2

（180°-∠C ）

=90°+2

∠C.

所以∠AOB 的度数只和∠C 的度数有关，可以作为结论记住.）

【核心练习】

1、如图，AB ∥ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,求证：β=2α.(提示：本题可看作例2的升级版)

2、如图，E 是DF 上一点，B 是AC 上一点，∠1=∠2， ∠C=∠D ，求证：∠A=∠F.

B C O 1

F A

【参考答案】

1、可延长BC 或DC ，也可连接BD ，也可过C 做平行线.

2、先证BD ∥CE ，再证DF ∥AC.

三角形篇

【核心提示】

三角形全等的核心问题是证全等.根据全等的5种判定方法，找出对应的边和角，注意一定要对应，不然会很容易出错.如用SAS 证全等，必须找出两边和其夹角对应相等.有时为了证全等，条件中不具备两个全等的三角形，我们就需要适当作辅助构造全等.

【典型例题】

例1如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别在BC 、AC 边上，且∠1=∠B ，AD=DE.求证：△ADB ≌△DEC. 分析要证△ADB 和△DEC 全等，已具备AD=DE 一对边，

由AB=AC 可知∠B=∠C ，还需要一对边或一对角.由条件∠1=∠B 知，找角比较容易.通过外角可得到∠BDA=∠CED.

证明 ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ， ∵∠1=∠B ， ∴∠1=∠C ，

∵∠BDA=∠DAC+∠C ，∠CED=∠DAC+∠1

C B

∴∠BDA=∠CED. 在△ADB 和△DEC 中

??=∠=∠∠=∠DE AD CED BDA C B ， ∴△ADB ≌△DEC （AAS ）.

例2如图，AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB=AC+BD.

分析要证AB=AC+BD 有两种思路，可以把AB 分成两段分别和AC 、BD 相等，也可以把AC 、BD 平移连接成一条线段，证明其与AB 相等.下面给出第一种思路的过程.

证明在AB 上截取AF=AC ，连接EF ， ∵EA 别平分∠CAB ， ∴∠CAE=∠FAE ，在△ACE 和△AFE 中

??=∠=∠=AE AE FAE CAE AF AC ， ∴△ACE ≌△AFE （SAS ）， ∴∠C=∠AFE. ∵AC ∥BD ，

∴∠C+∠D=180°， ∵∠AFE+∠BFE=180°， ∴∠BFE=∠D. ∵EB 平分∠DBA, ∴∠FBE=∠DBE 在△BFE 和△BDE 中

??=∠=∠=∠BE BE D BFE DBE FBE ∴△BFE ≌△BDE(AAS), ∴BF=BD. ∵AB=AF+BF, ∴AB=AC+BD.

例3如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP=AC ，点Q 在CE 上，CQ=AB.求证：（1）AP=AQ ；（2）AP ⊥AQ.

分析观察AP 和AQ 所在的三角形，明显要证△ABP 和△

QCA 全等.证出全等AP=AQ 可直接得到，通过角之间的等量代换可得∠ADP=90°.

证明（1）∵BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，

A P

∴∠AEC=∠ADB=90°，

∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90°， ∴∠ABP=∠QCA 在△ABP 和△QCA 中

??=∠=∠=BA CQ QCA ABP CA BP ∴△ABP ≌△QCA(SAS), ∴AP=AQ.

（2）由（1）△ABP ≌△QCA ， ∴∠P=∠QAC ，

∵∠P+∠PAD=90°， ∴∠QAC+∠PAD=90°， ∴AP ⊥AQ.

【核心练习】

1、如图，在△ABC 中，AB=BC=CA ，CE=BD ，则∠AFE=_____度.

2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°AB=AC.D 为AC 中点，AE ⊥BD ，垂足为E.延长AE 交BC 于F.求证：∠ADB=∠CDF

【参考答案】

1、60

2、提示：作∠BAC 的平分线交BD 于P ，可先证△ABP ≌△CAF ，再证△APD ≌△CFD.

生活中的轴对称篇

【核心提示】

轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形.轴对称问题我们要会画对称点和对称图形，会通过对称点找最短线路.等腰三角形的两腰相等及三线合一，好

F E

A F

E D

记但更要想着用，有时往往忽略性质的应用.

【典型例题】

例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称

分析与解根据轴对称的定义和性质，仔细观察，可知（1）是错误的，（2）是成轴对称的.

例2下列图形中对称轴条数最多的是( )

A.正方形

B.长方形

C.等腰三角形

D.等腰梯形

E.等边三角形

F.角

G.线段

H.圆

I.正五角星分析与解有一条对称轴的是C 、D 、F 、G ，有三条对称轴是E ，有四条对称轴的是A ，有两条对称轴的是B ，有五条对称轴的是I ，有无数条对称轴的是H.故选H.

例3 如图，AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更

加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管______根. 分析由添加的钢管长度都与OE 相等，可知每增加一

根钢管，就增加一个等腰三角形.由点到直线的所有线段中

垂线段最短可知，当添加的钢管和OA 或OB 垂直时，就不能再添加了.

解每添加一根钢管，就形成一个外角.如添加EF 形成外角∠FEA ，添加FG 添加钢管数 1 2 3 4 ... 8 形成的外角度数 20 30 40 50 (90)

.故最多能添加这样的钢管8根.

例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家，每天外公都带领小明去放羊，早晨从家出发，到一片草场放羊，天黑前再把羊牵到一条小河边饮水，然后再回家，如图所示，点A 表示外公家，点B 表示草场，直线l 表示小河，请你帮助小明和他外公设计一个方案，使他们每天所走路程最短？

分析本题A （外公家）和B （草场）的距离已确定，只需找从B 到l （小河）再到A 的距离如何最小.因A 和B 在l 的同侧，直接确定饮水处（C 点）的位置不容易.本题可利用轴对称的性质把A 点转化到河流的另一侧，设为A ′，不论饮水处在什么位置，A 点与它的对称点A ′到饮水处前距离都相等，当A ′到B 的距离最小时，饮水处到A 和B 的距离和最小.也可作B 的对称点确定C 点.

解如图所示，C 点即为所求饮水处的位置.

A B M

H G F E O

【核心练习】

1、请用1个等腰三角形，2个矩形，3个圆在下面的方框内设

计一个轴对称图形，并用简练的语言文字说明你的创意.

2、如图所示，AB=AC，D是BC的中点，DE=DF，BC∥EF.这个图

形是轴对称图形吗？为什么？

【参考答案】

1、略

2、是轴对称图形，△ABC与△DEF的对称轴都过点D，都与BC垂直，所以是两条对称轴是同一条直线.

通过这些核心题目的练习，如能做到举一反三，触类旁通，灵活应变.不仅会节约很多时间和精力，或许这样的练习会很有效.

初一下数学证明经典例题及答案

如图，已知D是△A B C内一点，试说明A B+A C＞B D+C D 证明：延长BD交AC于E 在△ABC中，AB+AE＞BE,即AB+AE＞BD+DE……①在△DEC中,DE+EC＞DC……② ①+②，得（AB+AE）+（DE+EC）＞（BD+DE）+CD 即AB+（AE+EC）+DE＞（BD+DE）+CD 即AB+AC+DE＞BD+DE+CD ∴AB+AC＞BD+CD 如图，△ABC中，D是BC的中点，求证：（1）AB+AC＞2AD （2）若AB=5,AC=3，求AD的范围。 (1)延长AD到点G,使DG=AD.连接BG 在△CDA和△BDE中 AD=GD,∠ADC=∠GDB ∵D是BC的中点 D C B A E A B C D G

∴CD=BD ∴△CDA ≌△BDG. ∴BG=AC 在△ABG 中,AB+BG=AB+BC AG=2AD 因为三角形两边和大于第三边,所以AB+BE ＞AG ∴AB+BC ＞2AD (2)AB-AC ＜2AD ＜AB+AC 2＜2AD ＜8 1＜AD ＜4 如图，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，点F 为DE 的中点，求证：BC=2AF. 延长AF 到点G,使AF=DF.连接GD 在△AFE 和△DFG 中 AF=GF,∠AFE=∠DFG ∵点F 为DE 的中点 ∴DF=EF B D C

所以△AFE≌△DFG.(SAS) GD=AE=AC;∠G=∠FAE. ∴DG∥AE.(内错角相等,两直线平行) 则∠GDA+∠DAE=180°.(两直线平行,同旁内角互补）又∵∠BAC+∠DAE=180°. ∴∠GDA=∠BAC.(同角的补角相等). 又∵AD=AB. ∴⊿ADG≌⊿BAC(SAS) ∴AG=BC,即2AF=BC. ∴BC=2AF. 如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA 求证：AE=2AD 证明：在AD的延长线上取点F,使AD＝FD,连接CF ∵AD是中线 ∴BD＝CD,AD＝FD,∠ADB＝∠FDC ∴△ABD≌△FCD （SAS） F E C D B A

七年级数学下经典例题不含答案

七年级数学下册测试题 1、如图(2)所示,1l ∥2l ,AB ⊥1l ,∠ABC=130°,那么∠α的度数为( ) A 、60° B 、50° C 、40° D 、30° 2、适合C B A ∠=∠= ∠3 1 21的△ABC 就是( ) A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确 3、一个n 边形的内角与等于它外角与的5倍,则边数n 等于( ) A 、24 B 、12 C 、8 D 、6 4、如图(5)BC ⊥ED 于点M,∠A=27°,∠D=20°,则∠B= °,∠ACB= ° 5、已知如图(8),△ABC 中,AB ＞AC,AD 就是高,AE 就是角平分线,试说明 )(2 1 B C EAD ∠-∠= ∠ 6、如图(9),在四边形ABCD 中,∠A=∠C,BE 平分∠ABC,DF 平分∠ADC,试说明BE ∥DF 。 7、如图,每一个图形都就是由小三角形“△” 拼成的 : …… ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 观察发现,第10个图形中需要个小三角形,第n 个图形需要个小三角形。 8、如图(11),BE ∥AO,∠1=∠2,OE ⊥OA 于点O,EH ⊥CO 于点H,那么∠5=∠6,为什么？ 9、若n 为正整数,且72=n x ,则n n x x 2223)(4)3(-的值为( ) A 、833 B 、2891 C 、3283 D 、1225 10、若2=-b a ,1=-c a ,则2 2)()2(a c c b a -+--等于( ) A 、9 B 、10 C 、2 D 、1 11、计算m m 525÷的结果就是( ) A 、5 B 、20 C 、m 5 D 、m 20 ⑶20 10 225.0? ⑷()[]()()5 32 2 32 3 34b a b a b a -?-?- ⑸( )[]()()522 343 225 x x x x -÷-?-÷ 13、若3-=a ,25=b 。则20052005 b a +的末位数就是多少？ 14、多项式b x x ++2 与多项式22 --ax x 的乘积不含2 x 与3 x 项,则 2)3 (2b a --的值就是( ) A 、8- B 、4- C 、0 D 、9 4- 图（5） C D M B E A 图（8）D B C E A 图（9） E B F C D A 图（11） H O C E B A 6 5 4 3 21

七年级数学上册期末复习典型例题讲析(人教版)

七年级数学上册典型例题例1. 已知方程2x m－3+3x=5是一元一次方程，则m= . 解：由一元一次方程的定义可知m－3=1，解得m=4.或m－3=0，解得m=3 所以m=4或m=3 警示：很多同学做到这种题型时就想到指数是1，从而写成m=1，这里一定要注意x的指数是（m－3）. 例2. 已知2 x=-是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解，求a的值. 解：∵x=－2是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解 ∴将x=－2代入方程，得a·（－2）2－（2a－3）·（－2）+5=0 化简，得4a+4a－6+5=0 ∴ a=8 1 点拨：要想解决这道题目，应该从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值，这样把x=－2代入方程，然后再解关于a的一元一次方程就可以了. 例3. 解方程2（x+1）－3（4x－3）=9（1－x）. 解：去括号，得2x+2－12x+9=9－9x，移项，得2+9－9=12x－2x－9x. 合并同类项，得2=x，即x=2. 点拨：此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边，已知项移到方程的右边，其实，我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正，为了减少计算的难度，我们可以根据等式的对称性，把所有的未知项移到右边去，已知项移到方程的左边，最后再写成x=a的形式. 例4. 解方程 1 7 5 3 2 1 4 1 6 1 8 1 = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? + - x . 解析：方程两边乘以8，再移项合并同类项，得111 351 642 x ?-? ?? ++= ? ?? ?? ?? 同样，方程两边乘以6，再移项合并同类项，得11 31 42 x- ?? += ? ??

初一下册数学经典题型

1. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程. 例如：方程260x =- 的解为3x= ，不等式组205x x ->????-??-+<-? ，的关联方程是；（填序号）（2）若不等式组1144275 x x x ? -?? ?++?＜，＞-的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是；（写出一个即可）（3）若方程21+2x x -=， 1322x x ? ?+=+ ???都是关于x 的不等式组22x x m x m -?? -?＜，≤的关联方程，求m 的取值范围.

2. 对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线AB不与坐标轴平行或重合），过点A作直线m∥x轴，过点B作直线n∥y轴，直线m，n相交于点C.当线段AC，BC的长度相等时，称点B为点A的等距点，称三角形ABC的面积为点A的等距面积. 例如：如图，点A（2，1），点B（5，4），因为AC= BC=3，所以B 为点A的等距点，此时点A的等距面积为9 2. （1）点A的坐标是（0，1），在点B1（-1，0），B2（2，3），B3（-1，-1）中，点A的等距点为. （2）点A的坐标是（-3，1），点A的等距点B在第三象限， ①若点B的坐标是 ? ? ? ? ? 2 1 2 9 ，－－，求此时点A的等距面积； ② ②若点A的等距面积不小于9 8，求此时点B的横坐标t的取值范围. 备用图

初一年级数学经典例题

初一,年级,数学,经典,例题,数学,天地,初一,数学天地：初一年级数学核心题目赏析有理数及其运算篇【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面. 【核心例题】例1计算：分析此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成，可利用通项，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解. 解原式= = = = 例2 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C(如右图).化简. 分析从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b0. 解由数轴知，a0 所以， = -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c 例3 计算：分析本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得

很简便. 解原式== 分析本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的. =2-22-23-24-……-218+219 =2-22+23 【核心练习】 1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求：的值. （提示：此题可看作例1的升级版，求出a、b的值代入就成为了例1.）【参考答案】 1、 2、3 字母表示数篇【核心提示】用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法. 【典型例题】例1已知：3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____ 分析对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得,把x、y的值代入2x-4y+6可得答案.这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的. 解由3x-6y-5=0，得所以2x-4y+6=2(x-2y)+6==

人教版七年级数学下册知识点及各章节典型试题

2018年最新版人教版七年级数学下册知识点及练习第五章相交线与平行线一、知识网络结构二、知识要点 1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况。 2、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交；如果两条直线没有公共点，称这两条直线平行。 3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。邻补角的性质：邻补角互补。如图1所示，与互为邻补角，与互为邻补角。+ =180°；+ =180°；+ =180°；+ =180°。 4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。如图1所示，与互为对顶角。=；=。 5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或90°时，称这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。如图2所示，当= 90°时， ⊥ 。垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。性质3：如图2所示，当a ⊥b 时，= = = = 90°。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。 6、同位角、内错角、同旁内角基本特征： ①在两条直线(被截线)的同一方，都在第三条直线(截线)的同一侧，这样的两个角叫同位角。图3中，共有对同位角：与是同位角；与是同位角；与是同位角；与是同位角。 ②在两条直线(被截线)之间，并且在第三条直线(截线)的两侧，这样的两个角叫内错角。图3中，共有对内错角：与是内错角；与是内错角。 ???? ? ?????? ??????????? ? ??? ?????? ??????????????????????????? ??平移命题、定理的两直线平行：平行于同一条直线性质角互补：两直线平行，同旁内性质相等：两直线平行，内错角性质相等：两直线平行，同位角性质平行线的性质的两直线平行　：平行于同一条直线判定直线平行　：同旁内角互补，两判定线平行　：内错角相等，两直判定线平行　：同位角相等，两直判定定义平行线的判定平行线，不相交的两条直线叫平行线：在同一平面内平行线及其判定内角同位角、内错角、同旁垂线相交线相交线相交线与平行线 4321 4321____________________________:图2 1 3 4 2 a b 图3 a 5 7 8 6 1 3 4 2 b c

七年级数学实数经典例题及习题

经典例题类型一．有关概念的识别 1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（） A、1 B、2 C、3 D、4 解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数故选C 举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（） A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（） A、1 B、1.4 C、 D、【变式3】类型二．计算类型题 2．设，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 解析：（估算）因为，所以选B 举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________. 3） ___________，___________，___________. 【变式2】求下列各式中的（1）（2）（3）类型三．数形结合 3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______

解析：在数轴上找到A、B两点，举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C 表示的数是（）． A．－1 B．1－C．2－D．－2 [变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简类型四．实数绝对值的应用 4．化简下列各式： (1) |-1.4|(2) |π-3.142| (3) |-| 分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。举一反三：【变式1】化简：类型五．实数非负性的应用 5．已知：=0，求实数a, b的值。举一反三：【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。【变式2】已知那么a+b-c的值为___________ 类型六．实数应用题 6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。

初一下册数学经典易错题

初一下册数学经典易错题一、填空题 1.一个数的平方等于它本身，这个数是;一个数的平方根等于它本身，这个数是;一个数的算术平方根等于它本身，这个数是;一个数的立方等于它本身，这个数是;一个数的立方根等于它本身，这个数是;一个数的倒数是它本身，这个数是;一个数的绝对值等于它本身，这个数是。 2.16的平方根为，，的平方根等于. 3.已知; ，则。 4.已知一个正数的两个平方根分别为3x-5和x-7，则这个正数为. 5. -1的整数部分为;小数部分为;绝对值为;相反数为. 6. 如图，在数轴上，1，的对应点是A、B，A是线段BC的中点，则点C所表示的数是。 7.已知，OAOC，且AOB：AOC=2：3，则BOC的度数为。 8.如果1=80，2的两边分别与1的两边平行，那么2= 。 9.已知点A(1+m，2m+1)在x轴上，则点A坐标为。 10.已知AB∥x轴，A点的坐标为(3，2)，并且AB=5，则B的坐标为. 11.点P(a-2,2a+3)到两坐标轴距离相等,则a= . 12.将点A(1，-3)向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到点B(a， b)，则ab= .新课标第一网 13.已知平面直角坐标系内点P的坐标为(-1,3),如果将平面直角坐标系向左平移3个单位,再向下平移2个单位,那么平移后点P的坐标为________. 14.在平面直角坐标系中，已知A(2，-2)，在y轴上确定一点P，使△A OP为等腰三角形，则符合条件的点P共有个。 15.点P(a+5，a)不可能在第象限。 16.平面直角坐标系内有一点P(x，y)，满足，则点P在 17.方程在正整数范围内的解是_____ 。 18.已知x=1，y=﹣8是方程mx+y-1=0的解，则m的平方根是。 19.关于x的不等式(a+1)xa+1的解集为x1，那么a的取值范围是。 20.如果不等式2x-m0的正整数解有3个，则m的取值范围是。

七年级年级数学经典例题

数学天地：初一年级数学核心题目赏析有理数及其运算篇【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面. 【核心例题】例1计算： 2007 20061 ......431321211?+ +?+?+? 分析此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成 2 1 11211-=?，可利用通项 ()11111+-=+?n n n n ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解. 解原式= )20071 20061(......413131212111-++-+-+-）（）（）（ =20071 20061......41313121211-++-+-+- =20071 1- =2007 2006

例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+. 分析从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0. 解由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0 所以，b c b a a -+-+= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c 例3 计算：?? ? ??-??? ??-????? ??-??? ??-??? ??-211311 (9811991110011) 分析本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便. 解原式= 2132......9897999810099?????= 100 1 例4 计算：2-22-23-24-……-218-219+220. 分析本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的. 解原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2） =2-22-23-24-……-218+219 =2-22-23-24-……-217+218（-1+2） =2-22-23-24-……-217+218 =…… =2-22+23 =6

七年级数学下册不等式与不等式组经典例题分析

精品文档不等式与不等式组经典例题分析足的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和【例1】满等于。【分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因此我们应该先解不等式. 解：原不等式去分母，得 3（2＋x）≥2（2x－1），解得：x≤8. 满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，－9，－10，－11. 这些整数的和为（－9）＋（－10）＋（－11）＝－30. 【例2】如果关于x的一元一次方程3（x＋4）＝2a＋5的解大于关于x的方程的解，那么（）. 【分析】分别解出关于x的两个方程的解（两个解都是关于a的式子），再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就可以求出问题的答案. 的解为 2a＋5（x＋4）＝解：关于x的方程3 的方程关于x的解为 D. 由题意得.，解得因此选，2+c>2，那么（）【例3】 . 如果 A. a-c>a+c B. c-a>c+a C. ac>-ac D. 3a>2a 【分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式，求得它们的解集后，便可以找到正确的答案. 由解: 所以a<0. 由2+c>2，得c>0，答案：B 满足不等式S，这四个数中最大数与最小数四个连续整数的和为S，【例4】的平方差等于 . 【分析】由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就可以求出. 解：设四个连续整数为m-1，m，m+1，m+2，它们的和为S＝4m＋2.

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