第二周周练单元检测模拟卷 05(解析版)-高一数学下学期周练冲刺模拟卷(苏教版2019必修2)
2020-2021高一数学冲刺第二周周练单元检测模拟卷 05
试卷满分：150分 考试时长：120分钟
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 如图所示，已知在△ABC 中，D 是边AB 上的中点，则CD ????? =( )
A. BC ????? ?1
2BA ????? B. ?BC ????? +12BA ????? C. ?BC ????? ?12BA ????? D. BC ????? +12BA ????? 【答案】B 【解析】 【分析】
本题考查平面向量的运算，共线定理，平面向量的基本定理，属于基础题．
方法一：由D 是AB 的中点，得到BD ?????? =12
BA ????? ，然后根据平面向量的运算法则即可求解； 方法二：根据D 是AB 的中点，可以得到CD ?????
=1
2(CB ????? +CA ????? )，然后根据平面向量的运算法则即可求解． 【解答】
解：方法一：∵D 是AB 的中点， ∴BD ?????? =1
2
BA ????? ，
∴CD
????? =CB ????? +BD ?????? =?BC ????? +12
BA ????? ． 方法二：CD ?????
=1
2(CB ????? +CA ????? ) =1
2
[CB ????? +(CB ????? +BA ????? )] =CB ????? +12BA ????? =?BC ????? +1
2
BA ????? ． 故选B ．
2. 已知平面向量a ? =(2,4)，b ? =(?1,2)，若c ? =a ? ?(a ? ?b ? )b ? ，则|c
? |等于( ) A. 4√2
B. 2√5
C. 8
D. 8√2
【答案】D 【解析】 【分析】
本题考查向量的坐标运算和向量的模的求法．要求能熟练应用向量的坐标运算法则．属简单题． 先由向量a ? ,b ? 的坐标求出向量c ? 的坐标，再根据求模公式即可得解． 【解答】
解：∵向量a ? =(2,4)，b ? =(?1,2)
∴a ? ?b ? =(2,4)?(?1,2)=?2+8=6
∴c ? =a ? ?(a ? ?b ? ) b ? =(2,4)?6(?1,2)=(2,4)?(?6,12)=(8,?8) ∴|c ? |?=√82+(?8)2=8√2
故选D ．
3. 已知|a ? |=1，|b ? |=6，a ? ?(b ? ?a ? )=2，则a ? 与b ? 的夹角是 ( )
A. π
6
B. π
4
C. π
3
D. π
2
【答案】C 【解析】 【分析】
本题考查了向量的模、向量的夹角和向量的数量积，由题意得a ? ?b ? ?a ? 2
=2，设a
? 与b ? 的夹角为θ，由向量的数量积可得cosθ的值，即可得出结果． 【解答】
解：由a ? ?(b ? ?a ? )=2，得a ? ?b ? ?a ? 2=2，即a
? ?b ? =3， 设a ? 与b ? 的夹角为θ，
所以a ? 与b ? 夹角的余弦值为cosθ=a
? ?b ? |a ? ||b
? |=1
2，
因为
，
所以a ? 与b ? 的夹角为π
3， 故选C ．
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，
则( )
A. |AB|??????? =5且|BC|??????? =2.5|DE ?????? |
B. |AB ????? |=5且|BC|??????? =2|DE ?????? |
C. |AB|????????? =6且|BC ????? |=2|DE ?????? |
D. |AB|
??????? =6且|BC ????? |=3|DE ?????? |
【答案】B 【解析】 【分析】
本题考查平面向量模的计算及平面向量几何表示，属基础题目． 结合图形可求向量的模长及平面向量几何表示， 【解答】
解：由题意|AB
????? |=√32+42=5， 因为D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点， 所以?|BC ????? |=2|DE ?????? |， 故选B ．
5. 已知a ? ，b ? 是单位向量，且a ? +b ? =(√2,?1)，则|a ? ?b ? |=( )
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】
本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
根据条件进行数量积的运算即可求出a ? ?b ? =1
2
，从而得出|a ? ?b ? |=1． 【解答】
解：∵|a ? |=|b ? |=1,a ? +b ? =(√2,?1)，
∴|a ? +b ? |=√(a ? +b ? )2=√a ? 2
+2a ? ?b ? +b ? 2=√2+2a ? ?b ? =√2+1=√3，
∴a ? ?b ? =1
2
∴|a ? ?b ? |=√(a ? ?b ? )2=√a ? 2
?2a ? ?b ? +b ? 2
=√2?1=1．
故选A ．
6. 已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，若AB ????? +AC ????? =2AO ????? ，且|OA ????? |=|AC ????? |=2，则向量BA ????? 在向量BC ????? 上的
投影向量为 ( ) A. 3
4BC ????? B. 3
2BC ?????
C. √3BC
????? D. √3
2
BC ????? 【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查平面向量加法的几何意义，模，投影运算等，属中档题．
根据题意得出△ABC 为直角三角形，且角C 为60°，从而求出向量向量BA ????? 在向量BC ????? 方向上的投影向量． 【解答】∵△ABC 的外接圆的圆心为O ，且AB ????? +AC ????? =2AO ????? ，∴O 为BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，∴∠BAC =90°． ∵|OA ????? |=|AC
????? |=2， ∴△AOC 是边长为2的等边三角形， ∴∠ACB =60°，∠ABC =30°， ∴|BA ????? |=|BC
????? |?sin?60°
=2√3，
∴向量BA ????? 在向量BC ????? 上的投影向量为．
故选A ．
7. 向量a ? ，b ? ，c ? 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若c ? =λa ? +μb ? (λ,μ∈R)，则λ
μ=( )
A. 2
B. 4
C. 5
D. 7
【答案】B 【解析】 【分析】
本题主要考查的是向量的加法、减法与数乘运算及相等向量的相关知识，属于基础题． 构建平面直角坐标系，可得{?λ+6μ=?1,λ+2μ=?3,然后通过解方程求出λ，μ的值，从而问题得解．
【解答】
解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
可得a ? =(?1,1)，b ? =(6,2)，c ? =(?1,?3)， ∴由题意可得{?λ+6μ=?1,λ+2μ=?3, 解得{
λ=?2,
μ=?12, 故选B ．
8. 已知a →
，b →
，e →
是平面向量，e →
是单位向量．若非零向量a →
与e →
的夹角为π
3，向量b →
满足b →
2?4e →
?b →
+3=0，
则|a →
?b →
|的最小值是( )
A. √3?1
B. C. 2 D. 2?√3
【答案】A 【解析】 【分析】
本题主要考查的是向量的综合应用，可先由条件分析点B 位置，再求最值即可． 【解答】
解：∵b ? 2
?4e ? ?b ? +3=0， ∴b ? 2
?4e ? ?b ? +(2e ? )2=1， ∴|b ? ?2e ? |=1．
设OC ????? =2e ? ,OB ?????? =b ? ，则|OB
?????? ?OC ????? |=|CB ????? |=1． 以O 点为原点，OC ????? 方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系如图所示，则易知点B 在以点C 为圆心，1为半径的圆上．
设OA ????? =a ? ，则∠AOC =60
°
，如图，|a ? ?b ? |=|OA ????? ?OB ?????? |=|BA ????? |．
∵A 在射线OA 上运动，B 在圆C 上运动，
∴A ，B 两点间距离的最小值转化为圆心C 到射线OA 距离的最小值减去半径r ，即当CA ⊥OA 时，|a ? ?b ? |最小，
此时|CA|=|OC|sin60
°
=√3，
∴|a ? ?b ? |min =|CA|?|CB|=√3?1， 故选A ．
二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 已知向量a →+b →
=(1,1)，a →?b →
=(?3,1)，c →
=(1,1)，设a →
,b →
的夹角为θ，则( )
A. |a ? |=|b ? |
B. a →⊥c →
C. b →
//c →
D. θ=135°
【答案】BD 【解析】
【分析】
本题考查向量数量积的坐标形式的运算，涉及向量夹角、向量的模以及共线向量和向量垂直的问题，属于基础题．
根据各选项设计相关知识即可判断出结果． 【解答】
解：根据题意，a ? +b ? =(1,1)，a ? ?b ? =(?3,1)， 则a ? =(?1,1)，b ? =(2,0)，依次分析选项：
对于A ，|a ? |=√2，|b ? |=2，则|a ? |=|b ? |不成立，A 错误； 对于B ，a
? =(?1,1)，c ? =(1,1)，则a ? ?c ? =0，即a ? ⊥c ? ，B 正确； 对于C ，b ? =(2,0)，c ? =(1,1)，b ? //c ? 不成立，C 错误； 对于D ，a ? =(?1,1)，b ? =(2,0)，则a ? ?b ? =?2，
|a ? |=√2，|b ? |=2，则cos?θ=22=?√22
，则θ=135°，D 正确； 故选：BD ．
10. 点O 在?ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A. 若OA
????? +OB ?????? +OC ????? =0，则点O 为?ABC 的重心 B. 若OA ????? ?(AC
????? |AC ????? |?AB
?????? |AB ?????? |)=OB ?????? ?(BC
????? |BC ????? |?BA
?????? |BA ?????? |)=0，则点O 为?ABC 的垂心 C. 若(OA ????? +OB ?????? )?AB ????? =(OB ?????? +OC ????? )?BC ????? =0，则点O 为?ABC 的外心 D. 若OA ????? ?OB ?????? =OB ?????? ?OC ????? =OC ????? ?OA ????? ，则点O 为?ABC 的内心 【答案】AC 【解析】 【分析】
本题考查了向量的几何应用，向量的数量积，是中档题． 根据题意，逐项判断即可． 【解答】
解：对于A:由于OA ????? =?(OB ?????? +OC ????? )=?2OD ?????? ，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC)，所以O 为△ABC 的重心，故A 正确．
对于B ，向量AC ????? |AC ????? |，AB ?????? |AB ?????? |分别表示在AC 和AB 上取单位向量AC′?????? 和AB′??????? ，AC′?????? ?AB′??????? 是向量B′C′???????? ，当OA ????? ·(AC
????? |AC
????? |?
AB
?????? |AB
?????? |)=0，即OA ⊥B′C′时，则点O 在∠BAC 的平分线上，
同理由OB ?????? ·(BC ?????
|BC ????? |?BA ??????
|BA
?????? |)=0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心，故错误； 对于C ，OA ????? +OB ?????? 是以OA ????? ，OB ?????? 为边的平行四边形的一条对角线，而AB ????? 是该四边形的另一条对角线，AB ????? ·(OA ????? +OB ?????? )=0表示这个平行四边形是菱形，即|OA ????? |=|OB ?????? |， 同理有|OB ?????? |=|OC ????? |，所以O 为ΔABC 的外心.故正确；
对于D ，由OA ????? ?OB ?????? =OB ?????? ?OC ????? =OC ????? ?OA ????? ，得(OA ????? ?OC ????? )?OB ?????? =0，即CA ????? ?OB ?????? =0，所以AC ⊥OB.同理可得AB ⊥OC ，所以O 为ΔABC 的垂心，故错误； 故选AC ．
11. 已知?ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且AD ?????? =2DC ????? ，E 是AB 的中点，BD 与CE
交于点O ，那么( ) A. OE ????? +OC ????? =0
? B. AB ????? ?CE ????? =?1 C. |OA ????? +OB ?????? +OC ????? |=√32
D. |DE
?????? |=√132
【答案】AC
【解析】 【分析】
本题考查了平面向量的坐标运算，平面向量共线的充要条件和向量的几何运用，属于中档题．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算和平面向量共线的充要条件得O (0,√3
2)，再利用平面向量的
坐标运算，逐项计算得结论． 【解答】
解：因为△ABC 是边长为2的等边三角形， E 是AB 上的点，且AE ????? =EB ????? ，
所以以E 为坐标原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，建立平面直角坐标系如下图：
则A (?1,0)，B (1,0)，C(0,√3)．
又因为AD ?????? =2DC ????? ，即D 为线段AC 靠近点C 的三等分点， 所以D (?13,2√3
3
)．
设O (0,t )，则DO
?????? =(13
,t ?2√33
)，而DB ?????? =(43
,?2√33
)， 由D 、O 、B 三点共线得1
3
×(?
2√33)?4
3
(t ?
2√3
3
)=0，
解得t =√3
2
，即O (0,√3
2)，因此O 是EC 的中点，故A 正确．
又因为AB ????? =(2,0)，CE ????? =(0,?√3)， 所以AB ????? ?CE ????? =0，故B 不正确；
又因为OA ????? =(?1,?√32)，OB ?????? =(1,?√32)，OC ????? =(0,√32)， 所以OA ????? +OB ?????? +OC ????? =(0,?√32)， 因此|OA ????? +OB ?????? +OC ????? |=√32
，故C 正确；
因为ED ????? =(?13,2√3
3)，
所以|DE
?????? |=√13
3，故D 不正确．
故选AC．
12.给出以下结论正确的序号为()
A. 若向量a?=(?2,3)，b? =(3,m)，且，则m=2
B. |a?|=4，|b? |=8，a?与b? 的夹角是120°，则|a?+b? |=4√3
C. 已知向量a?=(1,√3)，b? =(√3,1)，则a?与b? 夹角的大小为π
6
D. 向量m??? =(a,?2)，n?=(1,1?a)，且m??? //n?，则实数a=0
【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查了向量垂直和平行计算，考查了向量的模和夹角，属于一般题．
根据向量垂直的计算判断A正确，根据向量的模的计算判断B正确，根据向量的夹角公式计算判断C正确，根据向量平行的计算判断D错误．
【解答】
解：因为a?⊥b? ，
所以a?·b? =?2×3+3m=0，
解得m=2，故A正确;
因为|a?+b? |2=a?2+2a?·b? +b? 2
=16+2×(?16)+64=48，
所以|a?+b? |=4√3，故B正确;
因为
=1×√3+√3×1
2×2=√3
2
，
该角范围是，
所以a?与b? 夹角的大小为π
6
，故C正确，
若m??? //n? ,则a(1?a)=?2,a=2或?1，故D不正确．故选ABC．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知平面向量a?=(x1,y1)，b? =(x2,y2)，若|a?|=2，|b? |=3，a?·b? =?6，则向量a?与b? 的夹角为________，
x1+y1
x2+y2
的值为________．
【答案】180°；?2
3
【解析】
【分析】
本题主要考查向量的数量积运算，向量夹角，向量的线性关系和向量的坐标运算，关键是判断出两个向量的线性关系．
先根据向量的数量积运算和条件求出两向量夹角的余弦值，得到两向量的线性关系，表示出向量a?,b? 的表达式，得到它们坐标之间的关系，代入所求的式子求值．
【解答】
解：设a?，b? 的夹角为θ，则a??b? =|a?||b? |cosθ=?6，
解得cosθ=?1，因为θ∈[0°,180°]，
∴θ=180°，即a?，b? 共线且反向，
∴a?=?2
3b? ，即(x1,y1)=?2
3
(x2,y2)，
∴x1=?2
3x2，y1=?2
3
y2，代入x1+y1
x2+y2
=?2
3
，
故答案为：180°；?2
3
．
14.设向量a?，b? ，c?满足a?+b? +c?=0，a?⊥b? ，|a?|=1，|b? |=2，则|c?|=________．【答案】√5
【解析】
【分析】
本题考查平面向量垂直、数量积和模，属于基础题．
利用c?2=(?a??b? )2=a?2+2a??b? +b? 2即可求解．
【解答】
解：由a?+b? +c?=0?，得c?=?a??b? ，
又
，|a ? |=1，|b ? |=2，
所以c ? 2=(?a ? ?b ? )2=a ? 2
+2a ? ?b ? +b ? 2
=12+0+22=5，
故|c ? |=√5．
15. 已知△ABC 是正三角形，给出下列式子：
①|AB ????? +BC ????? |=|BC ????? +CA ????? |； ②|AC ????? +CB ????? |=|BA ????? +BC ????? |； ③|AB ????? +AC ????? |=|CA ????? +CB
????? |； ④|AB ????? +BC ????? +AC ????? |=|CB ????? +BA ????? +CA
????? |． 其中正确的有_________.(写出所有正确式子的序号) 【答案】①③④ 【解析】 【分析】
此题考查平面向量的加减及数量积运算，考查向量的模的计算，利用向量的加减、数量积及模的计算逐一判断即可． 【解答】
解：三角形ABC 为边长为a 的等边三角形，
①|AB
????? +BC ????? |=|AC ????? |=a ，|BC ????? +CA ????? |=|BA ????? |=a ，所以①正确； ②|AC ????? +CB ????? |=|AB ????? |=a ，|BA ????? +BC ????? |=√a 2+a 2+2×a ×a ×1
2
=√3a ，所以②不正确；
③|AB
????? +AC ????? |=√3a ，|CA ????? +CB ????? |=√3a ，所以③正确； ④|AB ????? +BC ????? +AC ????? |=|AC ????? +AC ????? |=2a ，|CB ????? +BA ????? +CA ????? |=|CA ????? +CA ????? |=2a ，所以④正确． 正确的有①③④． 故答案为①③④．
16. 已知平面向量a ? ,b ? ,c ? 满足|a ? ?b ? |=|2a ? ?c ? |≠0，则a ? ?b ? 与c ? ?2b ? 夹角的取值范围是______．
【答案】
【解析】 【分析】
本题考查了向量的加法、减法、数乘运算，反证法，利用基本不等式求最值，向量的模，向量的夹角，向量的数量积和正弦、余弦函数的图象与性质，属于中档题．
利用向量的加法、减法、数乘运算得|a ? ?b ? |=|2(a ? ?b ? )?(c ? ?2b ? )|，再利用向量的数量积得3|a
? ?b ? |2+|c ? ?2b ? |2
=4(a ? ?b ? )·(c ? ?2b ? )，
利用向量的模，结合题目条件和反证法得|a ? ?b ? |>0和|c ? ?2b ? |>0，利用向量的夹角设a ? ?b ? 与c ? ?2b ? 所成夹角为
，利用向量的数量积和基本不等式求最值得cosθ?
√3
2
，最后利用余弦函数的单调性得结论． 【解答】
解：因为|a ? ?b ? |=|2a ? ?c ? |≠0， 所以|a ? ?b ? |=|2(a ? ?b ? )?(c ? ?2b ? )|≠0， 因此3|a ? ?b ? |2+|c ? ?2b ? |2
=4(a ? ?b ? )·(c ? ?2b ? )． 因为|a ? ?b ? |≠0，所以|a ? ?b
? |>0． 又因为3|a ? ?b ? |2+|c ? ?2b ? |2=4(a ? ?b ? )·(c ? ?2b ? )，
若|c ? ?2b ? |=0，则3|a ? ?b ? |2
=0，即|a
? ?b ? |=0， 与|a ? ?b ? |≠0矛盾，因此|c ? ?2b ? |>0． 若a ? ?b ? 与c ? ?2b ? 所成夹角为，
则cosθ=(a ? ?b ? )·(c ? ?2b
? )|a ? ?b ? |·|c ? ?2b
? |=
3|a ? ?b ? |2+|c ? ?2b
? |2
4|a ? ?b ? |·|c ? ?2b
? |
?
2√3|a ? ?b ? |2·|c ? ?2b ? |2
4|a ? ?b ? |·|c ? ?2b
? |=
√32
，
当且仅当√3|a ? ?b ? |=|c ? ?2b ? |时，等号成立， 即，
因此
，
即a??b? 与c??2b? 所成夹角的取值范围是．
故答案为．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.已知a?与b? 同向，b? =(1,2)，a??b? =10．
(1)求a?的坐标;
(2)若c?=(2,?1)，求a?(b? ?c? )及(a??b? )c?．
【答案】解：(1)设a?=λb? =(λ,2λ)(λ>0)，
则a??b? =λ+4λ=10，
∴λ=2，∴a?=(2,4)．
(2)∵b? ?c?=1×2?2×1=0，a??b? =10，
∴a?(b? ?c? )=0?a?=0?，
(a??b? )c?=10(2,?1)=(20,?10)．
【解析】本题主要考查向量共线的坐标表示以及向量数量积的坐标运算.属于简单题．
(1)根据向量的共线定理可设a?=λb? =(λ,2λ)，然后根据向量数量积的坐标运算求出λ即可得到a?的坐标;
(2)根据向量数量积的坐标运算求出b? ?c?=0，a??b? =10，然后根据向量的运算法则即可求解．
18.如图，△ABC的顶点坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)．
(1)若c=5，求sin A；
(2)若A 为钝角，求c 的取值范围． 【答案】解：(1)∵A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)， ∴AB →=(?3,?4)，AC →
=(2,?4)， ∴cos?AB →
,AC →
?=AB →?AC
→
|AB →
|×|AC →
|
=
√5
5
， ∴cosA =
√5
5， ∵A ∈(0,π)， ∴sinA >0， ∴sinA =
2√55
；
(2)∵A 为钝角，
∴AB →
?AC →
=?3(c ?3)+16<0， ∴c >
253．
【解析】本题考查了平面向量的坐标运算，向量的夹角，向量的数量积运算． (1)由向量的坐标，利用向量的数量积，得到cosA =√5
5，从而得到sinA =
2√5
5
； (2)利用向量的数量积为负值，从而得到c 的范围．
19. 已知平面向量a ? =(3,4)，b ? =(9,x)，c ? =(4,y)，且a ? // b ? ，a
? ⊥c ? ． (1)求b ? 与c
? ； (2)若m ??? =2a ? ?b ? ，n ? =a ? +c ? ，求向量m ??? ，n ? 的夹角的大小． 【答案】解析：(1)∵a ? //b ? ，∴3x =4×9，∴x =12； ∵a ? ⊥c ? ，∴3×4+4y =0，
∴y =?3，∴b ? =(9,12)，c ? =(4,?3)；
(2)m ??? =2a ? ?b ? =(6,8)?(9,12)=(?3,?4)，n ? =a ? +c ? =(3,4)+(4,?3)=(7,1)； 设m
??? ，n ? 的夹角为θ，
则cos θ=m ??? ·n ?? |m ??? ||n
???? |=√(?3)2+(?4)2×√72+1
2
=252
=?
√2
2
； ∵θ∈[0,π]，∴θ=
3π
4
，即m ??? ，n ? 的夹角为3π
4． 【解析】本题主要考查了向量的夹角和向量垂直的判定以及向量的数列积和平面向量的坐标运算和向量平行的判断，属于基础题．
(1)因为a ? // b ? ，a
? ⊥c ? ，利用向量平行和向量垂直的相关知识点，求解出答案； (2)利用向量夹角的相关知识和向量的数量积等相关知识点，设出m ??? ，n ? 的夹角为θ，列出等式求解即可．
20. 已知向量e 1??? =(1,2)，e 2??? =(4,2)．
(1)设向量v ? =(?1,4)，试用向量e 1??? 与e 2??? 表示v
? ； (2)设t 是实数，向量b ? =(6,t)，b ? 与e 1??? 的夹角为α，b ? 与e 2??? 的夹角为β，若α=β，求t 的值． 【答案】解：(1)设v ? =λe 1??? +μe 2??? ， ∴(?1,4)=(λ+4μ,2λ+2μ)， ∴{
λ+4μ=?12λ+2μ=4
，解得{λ=3
μ=?1，
∴v ? =3e 1??? ?e 2??? ； (2)根据题意，cosα=b ? ?e 1???? |b ? ||e 1
???? |=
√5?√t 2+36
，cosβ=
b ? ?e 2
???? |b ? ||e 2
???? |=
2√5?√t 2+36
，且α=β，
∴
√5?√t 2+36
=
2√5?√t 2+36
，
∴2t +6=t +12，解得t =6．
【解析】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，相等向量的坐标关系，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
(1)可设v ? =λe 1??? +μe 2
??? ，代入向量的坐标即可得出{λ+4μ=?1
2λ+2μ=4，然后解出λ，μ即可； (2)根据题意即可得出b ? ?e 1???? |b ?
||e 1|
????? =
b ? ?e 2
???? |b ? ||e 2
???? |，从而可得出6+2t =
2t+242
，解出t 即可．
21. 已知向量a ? =(cosα,sinα)，b ? =(cosβ,sinβ)，且a ? ，b ? 满足关系|k a ? +b ? |=√3|a ? ?k b ? |(k >0)．
(1)求a ? 与b ? 的数量积用k 表示的解析式f(k)；
(2)a?能否和b? 垂直？a?能否和b? 平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k值；
(3)求a?与b? 夹角的最大值．
【答案】解：(1)由已知得|a?|=|b? |=1．
∵|k a?+b? |=√3|a??k b? |，
∴(k a?+b? )2=3(a??k b? )2，
∴k2|a?|2+2k a?·b? +|b? |2=3(|a?|2?2k a?·b? +k2|b? |2)，
∴8k a?·b? =2k2+2，∴a?·b? =k2+1
4k
(k>0)．
(2)由(1)知a?·b? >0，
∴a?与b? 不可能垂直．
若a?//b? ，由a?·b? >0知a?，b? 同向，
于是有a?·b? =|a?||b? |cos0°=|a?||b? |=1，
即k2+1
4k
=1，解得k=2±√3，
∴当k=2±√3时，a?//b? ．
(3)设a?与b? 的夹角为θ，
则，
∴cosθ=1
4(k+1
k
)=1
4
[(√k)2+(1
√k
)
2
]=1
4
[(√k?1
√k
)
2
+2]，
∴当√k=1
√k ，即k=1时，cosθ取得最小值1
2
．
又0°≤θ≤180°，∴a?与b? 夹角θ的最大值为60°．
【解析】本题考查了数量积运算，向量的垂直与平行的判定与证明以及求夹角的问题；
(1)|k a?+b? |=√3|a??k b? |等式两边平方化简求解．
(2)由(1)得a?·b? >0，所以a?不可能能否和b? 垂直，所以利用平行的等价条件|a?·b? |=|a?||b? |求解．
(3)用k表示，利用二次函数求最值．
22. 如图，在矩形ABCD 中，BC =3AB =6，E 为AB 的中点，F 是BC 边上靠近点B 的三等分点，AF 与
DE 交于点G.设AB ????? =a ? ，AD ?????? =b ? ．
(1)求∠EGF 的余弦值． (2)用a →
和b ? 表示AG ?????
； 【答案】解：(1)由题意，可得
=(a ? +13b ? )(1
2a ? ?b ? )|a ? +13b ? |·|12a ? ?b ? |
=12a ? 2?56a ? ?b ? ?13b ? 2
√a ? +23a ? ?b ? +19b ? ?√14
a ? ?a ? ?
b ? +b ? =
12×4?1
3
×36√4+19×36?√14
×4+36
=?
5√7474，
所以f (x )的余弦值为?
5√74
74
. (2)设
，
，
则
，
根据平面向量基本定理，得{λ=1
2
μ
1
3
λ=?(μ?1)，解得{λ=
3
7
μ=67
,
所以AG ????? =37a ? +1
7
b ? . 【解析】本题主要考查了平面向量的基本定理及其应用，向量的数量积及向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)由题意，可得cos∠EGF =cos 3b ? ,1 2a ? ?b ? >，从而利用向量的夹角公式求解即可； (2)设 ， ，则 ，从 而根据平面向量基本定理，可得关于λ,μ的方程，求出λ,μ，则可得AG ????? ．