三角函数图象及应用

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用

1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念

y

＝A sin(ωx ＋

φ)(A >0，ω>0)，x ∈

[0，＋∞)

振幅 周期 频率 相位 初相 A

T ＝

2πω

f ＝1

T ＝ω

2π

ωx ＋φ

φ

2.如下表所示.

x

0－φ

ω π2

－φω π－φ

ω 3π2

－φω 2π－φ

ω ωx ＋φ

0 π2

π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0

A

－A

3.函数y x y A x

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)作函数y ＝sin(x －π6)在一个周期的图象时，确定的五点是(0,0)，(π

2，1)，(π，0)，(3π2，－

1)，(2π，0)这五个点．( × )

(2)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π

4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin(2x ＋

π

4

)．( × ) (3)函数y ＝sin(x －π4)的图象是由y ＝sin(x ＋π4)的图象向右移π

2

个单位长度得到的．( √ )

(4)函数y ＝sin(－2x )的递减区间是(－3π4－k π，－π

4－k π)，k ∈Z .( × )

(5)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0.( √ )

(6)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为

T

2

.( √ )

1．(2014·)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1

2个单位长度

B ．向右平行移动1

2个单位长度

C ．向左平行移动1个单位长度

D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A

解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋1

2)的图象，即函数y ＝

sin(2x ＋1)的图象．

2．(2013·)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π

2)的部分图象如图所

示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π

3

B ．2，－π

6

C ．4，－π

6

D ．4，π

3

答案 A

解析 ∵34T ＝5π12－????－π

3，∴T ＝π，∴ω＝2，

∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π

3，k ∈Z ，

又φ∈???

?－π2，π2，∴φ＝－π

3，故选A.

3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π

3个单位长度后，所得的图象与原

图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3 C ．6 D ．9

答案 C

解析 由题意可知，nT ＝π

3 (n ∈N *)，

∴n ·2πω＝π

3

(n ∈N *)，

∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.

4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π

2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，

则下列说确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，3

2)；

②f (x )在[π12，2π

3]上是减函数；

③f (x )的一个对称中心是(5π

12

，0)；

④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③

解析 ∵周期为π，∴2π

ω＝π?ω＝2，

∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (23π)＝3sin(4π

3＋φ)，

则sin(4π

3

＋φ)＝1或－1.

又φ∈(－π2，π2)，4π

3＋φ∈(5π6，116π)，

∴

4π3＋φ＝3π2?φ＝π6

， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．

①：令x ＝0?f (x )＝3

2

，正确．

②：令2k π＋π2<2x ＋π

6<2k π＋3π2，k ∈Z

?k π＋π

6

令k ＝0?π

6

，

即f (x )在(π6，23π)上单调递减，而在(π12，π

6)上单调递增，错误．

③：令x ＝5π

12?f (x )＝3sin π＝0，正确．

④：应平移π

12

个单位长度，错误.

题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换

例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；

(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx

＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，

又∵T ＝π，∴2π

ω＝π，即ω＝2.

∴f (x )＝2sin(2x ＋π

3

)．

∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π

3.

(2)令X ＝2x ＋π

3，则y ＝2sin ????2x ＋π3＝2sin X .

列表，并描点画出图象：

x －π

6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X

1

－1

y ＝2sin ???

?2x ＋π

3

0 2 0 －2 0

(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π

3个单位长度，得到y ＝sin ????x ＋π3的图象，

再把y ＝sin ????x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ????

2x ＋π

3的图象，最后把y ＝sin ???

?2x ＋π

3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到

y ＝2sin ???

?2x ＋π

3的图象．

方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的1

2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin

2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π

6个单位长度，得到y ＝sin 2????x ＋π6＝sin ????2x ＋π3的

图象；再将y ＝sin ???

?2x ＋π

3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，

得到y ＝2sin ???

?2x ＋π

3的图象．

思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π

2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描

点后得出图象．

(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

(1)把函数y ＝sin(x ＋π

6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12

(纵坐标不变)，再将

图象向右平移π

3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( )

A ．x ＝－π

2

B ．x ＝－π

4

C ．x ＝π

8

D ．x ＝π

4

(2)(2014·)将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π

2

个单位长度，所得图象对应的函数( )

A ．在区间[π12，7π

12]上单调递减

B ．在区间[π12，7π

12]上单调递增

C ．在区间[－π6，π

3]上单调递减

D ．在区间[－π6，π

3]上单调递增

答案 (1)A (2)B

解析 (1)将y ＝sin(x ＋π

6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝

sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π

2

)，故

x ＝－π2

是其图象的一条对称轴方程．

(2)y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π

3]＝3sin(2x －23π)．

令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2得k π＋π

12

≤x ≤k π＋

712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π

12，k π＋712π]，k ∈Z .

令k ＝0得其中一个增区间为[π12，7

12

π]，故B 正确．

画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π

3]上的简图，如图，可知y ＝3sin(2x

－23π)在[－π6，π

3]上不具有单调性，故C ，D 错误． 题型二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式

例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π

2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，

则( )

A ．ω＝12，φ＝π

6

B ．ω＝12，φ＝π

3

C ．ω＝2，φ＝π

6

D ．ω＝2，φ＝π

3

(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π

2

，ω>0)的图象的一部分如

图所示，则该函数的解析式为____________． 答案 (1)D

(2)f (x )＝2sin ???

?2x ＋π

6

解析 (1)∵f (x )(ω>0，|φ|<π

2)的最小正周期为π，

∴T ＝2π

ω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，

即sin φ＝

32(|φ|<π2)，∴φ＝π3

. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π

6

.

又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π

6＝2π，∴ω＝2.

∴f (x )＝2sin ???

?2x ＋π6.

思维升华 根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最大值－最小值2；

②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最大值＋最小值

2；

③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2π

ω

(ω>0)来确定ω；

④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φ

ω(即

令ωx ＋φ＝0，x ＝－φ

ω

)确定φ.

如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．

(1)求其解析式；

(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π

6

个单位长度后得y ＝f (x )，求

f (x )的对称轴方程．

解 (1)由图象知A ＝3，

以M ????π3，0为第一个零点，N ? ??

??5π6，0为第二个零点．

列方程组?????

ω·π

3

＋φ＝0，ω·5π

6＋φ＝π，

解得?

???

?

ω＝2，φ＝－2π3.

∴所求解析式为y ＝3sin ? ????2x －2π3. (2)f (x )＝3sin ??????2

????x ＋π6－2π3 ＝3sin ???

?2x －π

3，

令2x －π3＝π

2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )，

∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π

2 (k ∈Z )．

题型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质

例3 (2014·改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π

3对

称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；

(2)当x ∈[0，π

2

]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．

解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2π

T

＝2.

又因f (x )的图象关于直线x ＝π

3对称，所以

2·π3＋φ＝k π＋π

2，k ∈Z ， 由－π2≤φ<π

2得k ＝0

所以φ＝π2－2π3＝－π6.

综上，ω＝2，φ＝－π

6

.

(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π

6)，

当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5

6

π，

∴当2x －π6＝π2，即x ＝π

3时，f (x )最大＝3；

当2x －π6＝－π

6，即x ＝0时，f (x )最小＝－32.

思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质 (1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数； φ＝k π＋π

2

(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．

(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小正周期为T ＝2π

ω

.

(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π

2＋2k π(k

∈Z )得单调增区间；由π

2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2

＋2k π(k ∈Z )得单调减区间．

(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得其对称中心．

利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π＋π

2

(k ∈Z )得其对称轴．

已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π

2

)的最大值为2，最小正周

期为π，直线x ＝π

6是其图象的一条对称轴．

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π

12)的单调递增区间．

解 (1)∵最小正周期为π. ∴2π

ω

＝π. 即ω＝2.

又∵直线x ＝π

6是函数图象的一条对称轴，

∴2×π6＋φ＝k π＋π

2，k ∈Z ，

即φ＝k π＋π

6，k ∈Z .

又∵φ∈(0，π2)，∴φ＝π

6.

又∵A ＝2，

∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π

6)．

(2)g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π

12

)

＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π

6]

＝2sin 2x －2sin(2x ＋π3)＝2sin(2x －π

3)．

由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π

2

，k ∈Z 可得

k π－π12≤x ≤k π＋512

π，k ∈Z .

即函数g (x )的单调递增区间是 [k π－π

12，k π＋512

π]，k ∈Z .

三角函数图象与性质的综合问题

典例：(12分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π

4

)－sin(x ＋π)．

(1)求f (x )的最小正周期．

(2)若将f (x )的图象向右平移π

6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]

上的最大值和最小值．

思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；

(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π

6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．

规解答

解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π

4

)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分]

＝2sin(x ＋π

3)，[5分]

于是T ＝2π

1

＝2π.[6分]

(2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π

6)，[8分]

∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π

6

]，

∴sin(x ＋π

6)∈[－12，1]，[10分]

∴g (x )＝2sin(x ＋π

6

)∈[－1,2][11分]

故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分] 答题模板

解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·

a

a 2＋b

2

＋cos x ·b

a 2＋

b 2

)．

第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规． 温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式

a sin α＋

b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b

a

)，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其

中tan φ＝a b

)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．

(2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解.

方法与技巧

1．五点法作图及图象变换问题

(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；

(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2．由图象确定函数解析式

由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点????－φ

ω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3．对称问题

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)． 失误与防

1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如：先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来．

2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化． 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的围，再结合图象得出y ＝

A sin t 的值域.

A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)

1．(2013·)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π

8个单位后，得到一个偶函数的图象，

则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C ．0 D ．－π4 答案 B

解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π

8个单位后得到函数y ＝sin 2????x ＋φ2＋π8＝

sin ????2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π

4.

2．(2013·)函数f (x )＝sin x cos x ＋

3

2

cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 答案 A

解析 f (x )＝sin x cos x ＋3

2cos 2x

＝12sin 2x ＋3

2cos 2x ＝sin ???

?2x ＋π3.

所以最小正周期为π，振幅为1. 故选A.

3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π

2)的部分图象如图所示，则

函数f (x )的一个单调递增区间是( )

A ．[－7π12，5π12]

B ．[－7π12，－π12]

C ．[－π12，7π12]

D ．[－π12，5π

12]

答案 D

解析 由函数的图象可得14T ＝23π－5

12π，

∴T ＝π，则ω＝2.

又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×5

12π＋φ)＝2，

∴φ＝－π

3＋2k π，k ∈Z ，

∵|φ|<π

2

.

∴取k ＝0，即得f (x )＝2sin(2x －π

3

)，

其单调递增区间为[k π－π

12，k π＋5π12]，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.

4.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π

2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )

A ．－5安

B ．5安

C ．53安

D ．10安

答案 A

解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1

100

，

∴ω＝2π

T

＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．

? ??

??1300，10为五点中的第二个点， ∴100π×1300＋φ＝π2

.

∴φ＝π

6.∴I ＝10sin ???

?100πt ＋π6，

当t ＝1

100

秒时，I ＝－5安．

5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π

4]上的最小值为－2，则ω的取值围是( )

A ．(－∞，－9

2]∪[6，＋∞)

B ．(－∞，－92]∪[3

2，＋∞)

C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)

D ．(－∞，－2]∪[3

2，＋∞)

答案 D

解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π

4ω，

由题意知－π3ω≤－π

2，即ω≥32；

当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π

3ω，

由题意知π4ω≤－π

2

，∴ω≤－2.

综上可知，ω的取值围是(－∞，－2]∪[3

2

，＋∞)．

6.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (1

6)的值为

________． 答案

34

解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝1

2，

因此A ＝1

2.

由T ＝2得ω＝π.

∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π

2，

∴f (x )＝1

2

cos πx ，

∴f (16)＝12cos π

6＝34

.

7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ???

?π6(x －6)

(x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃. 答案 20.5 解析 由题意得?

??

??

a ＋A ＝28，a －A ＝18， ∴?

??

??

a ＝23，A ＝5，

∴y ＝23＋5cos ???

?π

6(x －6)，

当x ＝10时，y ＝23＋5×? ??

??－12＝20.5. 8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π； ③f (x )在区间[－π4，π

4]上是增函数；

④f (x )的图象关于直线x ＝3π

4对称．

其中真命题是________． 答案 ③④

解析 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π

2

时，

f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题； f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；

当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π

2]，故③是真命题；

因为f (3π4)＝12sin 32π＝－1

2

，

故f (x )的图象关于直线x ＝3

4π对称，故④是真命题．

9．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π

3)．

(1)求f (2π

3

)的值；

(2)求使f (x )<1

4成立的x 的取值集合．

解 (1)f (2π3)＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π

3

＝－(12)2＝－1

4

.

(2)f (x )＝cos x cos(x －π

3)＝cos x ·(12cos x ＋32sin x )

＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋3

4sin 2x ＝12cos(2x －π3)＋14

. f (x )<14等价于12cos(2x －π3)＋14<14

，

即cos(2x －π

3

)<0，

于是2k π＋π2<2x －π

3<2k π＋3π2，k ∈Z .

解得k π＋5π12

12

，k ∈Z .

故使f (x )<14成立的x 的取值集合为{x |k π＋5π12

12，k ∈Z }．

10．(2014·)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－1

2.

(1)若0<α<π

2，且sin α＝22，求f (α)的值；

(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 方法一 (1)因为0<α<π

2，sin α＝22，

所以cos α＝

2

2

. 所以f (α)＝

22×(22＋22)－12＝12

. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2

x －1

2

＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12

＝12sin 2x ＋1

2cos 2x ＝

22sin(2x ＋π4

)， 所以T ＝2π

2

＝π.

由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π

2

，k ∈Z ，得

k π－

3π8≤x ≤k π＋π

8

，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π

8]，k ∈Z .

方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －1

2

＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋1

2cos 2x ＝

22sin(2x ＋π4

)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，

从而f (α)＝

22sin(2α＋π

4)＝22sin 3π4＝12

. (2)T ＝2π

2

＝π.

由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π

2

，k ∈Z ，得

k π－

3π8≤x ≤k π＋π

8

，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π

8

]，k ∈Z .

B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)

11．将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π

6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称

中心为???

?π

4，0，则φ的一个可能取值是( )

A.π12

B.π

6 C.5π6 D.7π12 答案 D

解析 图像F ′对应的函数y ＝sin ???

?x ＋π

6＋φ，

则π4＋π

6＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－5π12，k ∈Z ， 当k ＝1时，φ＝7π

12

，故选D.

12．已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π

2)一个周期

的图象上的四个点，如图所示，A (－π

6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图

象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →

在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )

A ．ω＝2，φ＝π

3

B ．ω＝2，φ＝π6

C ．ω＝12，φ＝π

3

D ．ω＝12，φ＝π

6

答案 A

解析 因为CD →

在x 轴上的投影为π12，又点A (－π6，0)，所以函数的四分之一个最小正周期为

π6＋π12＝π

4.即函数的最小正周期为π，故ω＝2ππ

＝2. 又点A (－π6，0)是处于递增区间上的零点，所以2×(－π6)＋φ＝2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π＋π3(k

∈Z )．又因为0<φ<π2，所以φ＝π

3

.故选A.

13．(2014·)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ≤π

2)的图象上的两个相邻的最高点和最

低点的距离为22，且过点? ????2，－12，则函数的解析式为_________________________．

答案 f (x )＝sin ?

??

??πx 2＋π6

解析 据已知两个相邻最高点和最低点距离为22，可得

? ??

??T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ? ????πx 2＋φ，又函数图象过点? ??

??2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ)＝－

sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ? ??

??πx 2＋π6. 14．(2014·)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：

f (t )＝10－3cos π

12t －sin π12

t ，t ∈[0,24)．

(1)验室这一天的最大温差；

(2)若要验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f (t )＝10－2(32cos π

12t ＋12sin π12

t ) ＝10－2sin(π12t ＋π

3

)，

又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π

3，

－1≤sin(π12t ＋π

3)≤1.

当t ＝2时，sin(π12t ＋π

3)＝1；

当t ＝14时，sin(π12t ＋π

3

)＝－1.

于是f (t )在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.

故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin(π12t ＋π

3)，

故有10－2sin(π12t ＋π

3)>11，

即sin(π12t ＋π

3)<－12

.

又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，

即10

故在10时至18时实验室需要降温．

15．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π

2.

(1)求f (x )的表达式；

(2)将函数f (x )的图象向右平移π

8

个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵

坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π

2]上有且只有

一个实数解，数k 的取值围．

解 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －1

2

＝

32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6

)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π

2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，

所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π

6

)．

(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π

3)的图象；再将所得图象上所有

点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π

3)的图象，所以g (x )＝sin(2x

－π3

)， 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π

3，

所以g (x )∈[－

3

2

，1] 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π

2]

上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－

32≤－k <3

2

或－k ＝1， 解得－

32

2

或k ＝－1， 所以实数k 的取值围是(－

32，3

2

]∪{－1}．