高考物理常见难题大盘点力矩有固定转动轴

2013高考物理常见难题大盘点：力矩有固定转动轴物体的平衡

1．如图1-50所示是单臂斜拉桥的示意图,均匀桥板ao 重为G ,三根平行钢索与桥面成30°,间距ab =bc =cd =do ,若每根钢索受力相同，左侧桥墩对桥板无作用力，则每根钢索的拉力大小是（）。

(A)G (B)3G ∕6

(C)G ∕3(D)2G ∕3

解答设aO 长为4L ，每根钢索受力为T ，以O 点为转轴，由力矩平衡条件得

23sin302sin30sin30G L T L T L T L ????=?+?+?，

解得2

3

T G =

。 本题的正确选项为（D ）。

2．图1-51为人手臂骨骼与肌肉的生理结构示意图，手上托着重量为G 的物体，（1）在方框中画出前臂受力示意图（手、手腕、尺骨和挠骨看成一个整体，所受重力不计，图中O 点看作固定转动轴，O 点受力可以不画）．（2）根据图中标尺估算出二头肌此时的收缩力约为 ．

解答前臂的受力如图1-52所示，以O

点为转轴，由力矩平衡条件得 18F N ?=?，

其中N =G ，可得F =8G 。 本题的正确答案为“8G ”。

3．如图1-53所示，直杆OA 可绕O 轴转动，图中虚线与杆平行．杆的A 端分别受到F 1、F 2、F 3、F 4四个力作用，它们与OA 杆在同一竖直平面内，则它们对O 点的力矩M 1、M 2、M 3、M 4的大小关系是（）。 (A)M 1＝M 2＞M 3＝M 4 (B)M 1＞M 2＞M 3＞M 4 (C)M 2＞M 1＝M 3＞M 4

(D)M 1＜M 2＜M 3＜M 4

解答把四个力都分解为垂直于OA 方向和沿OA 方向的两个分力，其中沿OA 方向的力对O 点的力矩都为零，而垂直于OA 方向的力臂都相等，所以四个力的力矩比较等效为垂直

图1-50

图1-51

1

图1-53

方向的力的比较。从图中不难看出力大小关系为F 2⊥>F 1⊥=F 3⊥>F 4⊥，所以力矩大小关系为M 2>M 1=M 3>M 4。

本题的正确选项为（C ）。

4．如图1-54所示的杆秤，O 为提扭，A 为刻度的起点，B 为秤钩，P 为秤砣，关于杆秤的性能，下述说法中正确的是（）。

(A)不称物时，秤砣移至A 处，杆秤平衡 (B)不称物时，秤砣移至B 处，杆秤平衡 (C)称物时，OP 的距离与被测物的质量成正比 (D)称物时，AP 的距离与被测物的质量成正比

解答当不称物体时，秤砣应在零刻度线，即在A 点，此时对O 点的力矩平衡，设杆秤本身的重为G 0，重心离开O 点距离为OC ，根据力矩平衡条件得

0P AO G OC ?=?，①

当称物体为G 时，设秤砣在D 点时杆秤平衡，如图1-55所示，根据力矩平衡条件有

0G OB G OC P OD ?=?+?，②

由①②式得

()G OB P AO OD P AD ?=?+=?。

本题的正确选项为（A ）（D ）。

5.．如图1-56所示，A 、B 是两个完全相同的长方形木块，长为l ，叠放在一起，放在水平桌面上，端面与桌边平行．A 木块放在B 上，右端有

4

l

伸出，为保证两块不翻倒，木块B 伸出桌边的长度不能超过（）。 (A)l /2(B)3l /8 (C)l /4(D)l /8

解答把A 、B 当作一个整体，其重心位置在两个木块的中点，根据几何关系可知在距B 右边38l 处。为了不翻倒，它们的重心不能超过桌边，即B 伸出桌边长度不超过38

l 。本题的正确选项为（B ）。

6．如图1-57所示，将粗细均匀、直径相同的均匀棒A 和B 粘合在一起，并在粘合处用绳悬挂起来，恰好处于水平位置而平衡，如果A 的密度是B 的两倍，那么A 的重力大小是B 的 _______倍．

解答假设A 的长度为x ，B 的长度为y ，横截面积为S ，B 的密度为ρ，则A 的密度为2ρ，有

2A G xSg ρ=,B G ySg ρ=,

根据力矩平衡条件得

图1-54

图

1-56

A

B

图

1-57

22

A B x y G G ?

=?，

代入得

x y =

所以

22A B G xSg x G ySg y

ρρ===。

本题的正确答案为“2”。

7．如图1-58所示，一个质量为m 、半径为R 的球，用长为R

的绳悬挂在L 形的直角支架上，支架的重力不计，AB 长为2R ，BC 长为R 32，为使支架不会在水平桌面上绕B 点翻倒，应在A 端至少加多大的力？

解答要使加在A 端的力最小，力臂应最大，即为AB 的长度。以球和直角支架整体作为研究对象，球所受重力和A 端所受作用力对B 点力矩平衡，有

2mg R F R ?=?,

可得F =

2

1mg , 所以应在A 端至少加

2

1

mg 的力作用。 8．如图1-59所示，重为600N 的均匀木板搁在相距为2.0m 的两堵竖直墙之间，一个重为800N 的人站在离左墙0.5m 处，求左、右两堵墙对木板的支持力大小．

解答木板的受力分析如图1-60所示，以左边墙的交点为支点，根据力矩平衡条件得

130.512N G N ?+?=?，①

以右边墙的交点为支点，根据力矩平衡条件得

212 1.51N N G ?=?+?，②

其中N 1=G 人=800N ，G =600N ，代入①②式得N 2=900N ，N 3=500N 。

所以左、右两堵墙对木板的支持力大小分别为900N 、500N 。

9．棒AB 的一端A 固定于地面

,可绕A 点无摩擦地转动,B 端靠在物C 上,物C 靠在光滑的竖直墙上,如图1-61所示.若在C 物上再放上一个小物体,整个装置仍保持平衡,则B 端与C 物之间的弹力大小将（）。

(A)变大(B)变小

(C)不变(D)无法确定

解答AB 棒及C 物体在竖直方向的受力分析如图1-62所示，对于C 物体，由平衡条件得

图

1-58

图1-59

图1-61

图1-60

N 图1-62

N

f

f

G C G

f =G C ，①

对于AB 棒，根据力矩平衡条件得

G f N M M M +=，②

在C 上加一小物体后，G C 增加，由①式可知f 也将增大，则M f 增大。由②式可知M N 随之增大，则N 也增大。 本题的正确选项为（A ）。

10．如图1-63所示，质量为m 的运动员站在质量为m 的均匀长板AB 的中点，板位于水平地面上，可绕通过A 点的水平轴无摩擦转动，板的B 端系有轻绳，轻绳的另一端绕过两个定滑轮后，握在运动员的手中，当运动员用力拉绳子时，滑轮的两侧的绳子都保持在竖直方向，则要使板的B 端离开地

面，运动员作用于绳的最小拉力是_________．

解答设板长为2L ，对板进行受力分析如图1-64所示，以

A 为转轴，根据力矩平衡条件得 M N +M G =M T ，

即2N L mg L T L ?+?=?,① 以人为研究对象，有 T +N =mg ，②

由①②式得T =32

mg , 本题的正确答案为“3

2

mg ”。

11．如图1-65所示，半径是0.1m ，重为310N 的均匀小球，放在光滑的竖直墙和长为1m 的光滑木板（不计重力）OA 之间，木板可绕轴O 转动，木板和竖直墙的夹角为θ=60°，求墙对球的弹力和水平绳对木板的拉力．

解答对木板OA 受力分析如图1-66所示，由力矩平衡条件得

1ctg

cos 2

N R T L θ

θ?=?,①

对球受力分析如图1-67所示，根据平衡条件得

1sin N G θ=,②

12cos N N θ=, ③

由①②式得2sin cos GRctg

T L θ

θθ

=

，

其中G =310N ，R =0.1m ，θ=60°，L =1m ，代入可

得

N 2

N 图1-67

T =34N=6.93N 。由②③式可得N 2=10N 。

所以墙对球的弹力为10N ，水平绳对木板的拉力为6.93N 。 12．如图1-68所示，均匀杆AB 每米重为30N ，将A 端支起，在离A 端0.2m 的C 处挂一重300N 的物体，在B 端施一竖直向上的拉力F ，使杆保持水平方向平衡，求杆长为多少时，所需的拉力F 最小，最小值为多少？

解答设杆长为x m ，则重为30x N ，由力矩平衡条件得

3000.2302

x

x F x ?+?

=?, 即2

15600x Fx -+=,①

要使方程有解，则2

415600F ?=-??≥，即F ≥60N ，取F =60N ，代入①式可得x =2m 。 所以杆长为2m 时，所需的拉力F 最小，最小值为60N 。

12．两个所受重力大小分别为G A 和G B 的小球A 和B ，用细杆连接起来，放置在光滑的半球形碗内．小球A 、B 与球心O 在同一竖直平面内，如图1-69所示．若碗的半径为R ，细杆的长度为R 2，G A >G B ，则连接两小球的AB 细杆静止时与竖直方向的夹角为多大?

解答以A 、B 整体为研究对象，A 、B 物体所受的支持力通过球心，所以以O 为转动轴，只有A 和B 的重力矩．如图1-70所示，由力矩平衡条件可得

sin sin A B G R G R αβ?=?，①

由几何关系知：0

90αβ+=②

解①②式得arctan

B

A

G G α=， 所以细杆与竖直方向的夹角γ为arctan

4

B A G G π+。

13．如图1-71所示，重为G 的一根均匀硬棒AB ，杆的A 端被细绳吊起，在杆的另一端B 作用一水平力F ，把杆拉向右边，整个系统平衡后，细线、棒与竖直方向的夹角分别为α、β．求证：tg β=2tg α．

证明硬棒受到三个力作用平衡，则三个力的作用线必交于一点，如图1-72所示。AB

所以O 为AB 的中点，则由几何关系可得C 为BD 而tan BD AD β=

，tan CD

AD

α=， 图

1—68 图1-72

所以tan 2tan βα=。

14．半径为R 、质量为M 1的均匀圆球与一质量为M 2的重物分别用细绳AD 和ACE 悬挂于同一点A ，并处于平衡，如图1-73所示．已知悬点A 到球心O 的距离为L ，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD 与竖直方向AB 的夹角θ．

解答如图1-74所示，以球为研究对象，球受到重力、绳子ACE 对球的压力及AD 绳的拉力作用，因为不考虑绳对球的摩擦，则绳对球的压力N 必然通过球心，球是均匀的，重心必在球心，所以第三个力AD 绳的拉力必过球心，即O 、A 、D 三点在同一直线上。以球、重物和绳作为一个系统，以A 为转动轴，由力矩平衡条件可得

120M g OB M g BC ?-?=

而sin ,sin OB L BC R L θθ==-，代入上式可得悬挂圆球的绳AD 与竖直方向AB 的夹角L

M M R

M )(arcsin 212+=θ。

15．在一些重型机械和起重设备上，常用双块式电磁制动器，它的简化示意图如图1-75所示，O 1和O 2为固定铰链．在电源接通时，A 杆被往下压，通过铰链C 1、C 2、C 3使弹簧S 被拉伸，制动块B 1、B 2与制动轮D 脱离接触，机械得以正常运转．当电源被切断后，A 杆不再有向下的压力(A 杆及图中所有连杆及制动块所受重力皆忽略不计)，于是弹簧回缩，使制动块产生制动效果．此时O 1C 1和O 2C 2处于竖直位置．已知欲使正在匀速转动的D 轮减速从而实现制动，至少需要M =1100N ?m 的制动力矩，制动块与制动轮之间的摩擦系数μ＝0.40，弹簧不发生形变时的长度为L =0.300m ，制动轮直径d =0.400m ，图示尺寸a =0.065m ，h 1=0.245m ，h 2=0.340m ，试求选用弹簧的倔强系数k 最小要多大．

解答如图1-76所示，制动时制动块B 1、B 2对D 的正压力分别为N 1和N 2，滑动摩擦力分别为μN 1和μN 2。则制动力矩

1

222

d d M N N μμ=+ ①

以左、右两杆为研究对象，由力矩平衡条件可得

12111()F h h N h N a μ+=+ ② 21122()N h F h h N a μ=++

③

而F 为弹簧的弹力，由胡克定律可得

(2)F k d a L =+-

④

图1-73

N

M 1g

M 2g

图1-74

N 1

μ N

N 2

μ N 2

μ N 1

N 1

N 2

μ N 2

F

F

图1-76

图1-75

由①②③④四式可得2221112()()(2)

h a M k h d h h d a L μμ-=++-。代入数据可得4

1.2410N/m k =?。

所以选用弹簧的倔强系数k 最小值为4

1.2410N/m ?。

16．如图1-77所示，在竖直墙上有两根相距为2a 的水平木桩A 和B ，有一细棒置于A 上、B 下与水平方向成θ角，细棒与木桩之间的静摩擦因数为μ，求要使细棒静止，其重心与木桩A 之间距离应满足的条件。

解答设细棒的重心在距离A 木桩x 处，其受力如图1-78所示，分别对于O 、A 点，由力矩平衡条件可得

(2)0A B N x N a x ?-?+=， ① cos 20B G x N a θ??-?=，

②

由力平衡条件可得

sin A B f f G θ+=?，

③ 而()A B A B f f N N μ++≤。 ④

由①②③④四式可得(tan )a

x θμμ

≥

-，由②可知x ≥0，所以本式仅对tan θμ≥适用。

若tan θμ<，设想x=0，此时细棒与木桩B 无作用力，但由于μ足够大，f A 就能维持细棒平衡；当x >0时，细棒与木桩B 产生弹力，细棒更加不会下滑。

所以要使细棒静止，其重心与木桩A 之间的距离应满足的条件为

(tan ) tan 0 tan a

x θμθμ

μ

θμ?-???

≥≥。