2019年四川省南充高中自主招生数学试卷(含答案解析)

2019年四川省南充高中自主招生数学试卷

副标题

题号一二三四总分

得分

一、选择题（本大题共4小题，共24.0分）

1.如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，

当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，

直至回到原出发位置时，则这个圆共转了()

A. 4圈

B. 3圈

C. 5圈

D. 3.5圈

2.如果方程(x?1)(x2?2x+m)=0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m

的取值范围是()

A. 0≤m≤1

B. 3

4≤m C. 3

4

≤m≤1 D. 3

4

3.解关于x的方程x

x?1?k

x2?1

=x

x+1

不会产生增根，则k的值是()

A. 2

B. 1

C. k≠2且k≠一2

D. 无法确定

4.如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆

上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是()

A. 65°

B. 115°

C. 65°和115°

D. 130°和50°

二、填空题（本大题共14小题，共112.0分）

5.已知x满足3

x2+2x?1

?x2?2x=1，那么x2+2x=______．

6.若|m+2|+(n?1)2=0，则m+2n值为______．

7.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若△ABC是直角三

角形，则ac=______ ．

8.已知a n=(?1)n+1，当n=1时，a1=0，当n=2时，a2=2，当n=3时，a3=0，

…，则a1+a2+a3+?+a

2008

=______．

9.已知sinα

10.直角三角形ABC中，∠C=90°且tanB=2tanA?1，则∠B=______．

11.将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中

的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续

下去，结果如下表．则a n)

所剪次数1234…n

正三角形个数471013…a n

12. 已知关于x ，y 的二元一次方程组{2x +y =m 4x ?3y =m +8

的解满足x +y =3m ，则m =______．

13. 设x 1、x 2是方程2x 2?4mx +2m 2+3m ?2=0的两个实数根，当m =______时，

x 12+x 2

2有最小值，最小值是______． 14. 从3台甲型彩电和2台乙型彩电任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是

______．

15. 对于正数x ，规定f(x)=x 1+x ，计算f(12008)+f(12007)+?+f(13)+f(1

2)+f(1)+

f(2)+f(3)+?+f(2007)+f(2008)=______．

16. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4.若以C 点为圆心，r 为半径所作的圆

与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是______．

17. 若ab =1，则11+a 2+11+b 2的值为______．

18. 如图AB 与圆O 相切于A ，D 是圆O 内一点，DB 与圆相

交于C.已知BC =DC =3，OD =2，AB =6，则圆的半

径为______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19. 先化简，再求值：(1a?b ?1a+b )÷b a 2?2ab+b 2，其中a =1+√2，b =1?√2

四、解答题（本大题共4小题，共54.0分）

20. 如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线

EG 和FH 所夹的锐角为θ，且∠BEG 与∠CFH 都是锐角，已

知EG =a ，FH =b ，四边形EFGH 的面积为S ．

(1)求证：sinθ=2S ab ；

(2)试用a ，b ，S 来表示正方形ABCD 的面积．

21.抛物线的解析式y=ax2+bx+c满足如下四个条件：abc=0；a+b+c=3；ab+

bc+ca=?4；a

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B(A在B的左边)，与y轴的交点为C.P

是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴于点D，当OD=1.5时，试比较S△AOD与S△DPC 的大小．

22.如图△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D

与AB切于点E．

(1)求证：△ADE∽△ABC；

(2)设⊙D与BC交于点F，当CF=2时，求CD的长；

(3)设CD=a，试给出一个a值使⊙D与BC没有公共点，并说明你给出的a值符合

要求．

23.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线y=x+m与该二次函数的图

象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在y轴上．

(1)求m的值及这个二次函数的关系式；

(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二

次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，

使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：设圆的周长是C，

则圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长= 4C，

则这个圆共转了4C÷C=4圈．

故选A．

根据圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长=4C选择．

注意正确分析圆所走过的路程，可以画出圆心所走过的路程．

2.【答案】D

【解析】解：∵方程(x?1)(x2?2x+m)=0有三根，

∴x1=1，x2?2x+m=0有根，方程x2?2x+m=0的△=4?4m≥0，得m≤1．又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．

∴有x2+x3>x1=1，|x2?x3|1已成立；

当|x2?x3|<1时，两边平方得：(x2+x3)2?4x2x3<1．

即：4?4m<1.解得m>3

4

．

∴3

4

故选：D．

方程(x?1)(x2?2x+m)=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程x2?2x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2?2x+m=0的两个根设是x2和x3，一定是两个正数，且一定有|x2?x3|<1

本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

3.【答案】C

【解析】解：去分母得，x(x+1)?k=x(x?1)，

解得x=1

2

k，

∵方程x

x?1?k

x2?1

=x

x+1

不会产生增根，

∴x≠±1，

∴1

2

k≠±1，

即k≠±2．

故选：C．

先将分式方程化为整式方程，解得x=1

2

k，根据题意可得x≠±1，从而求出k的值．本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；