人教新课标版数学高二-选修2-2训练 合情推理

数学·选修2－2(人教A版)

2.1合情推理与演绎推理

2．1.1合情推理

一、选择题

1．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()

①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等A．①B．③C．①②D．①②③

答案：D

2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()

A．28 B．32 C．33 D．27

解析：5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9推出x－20＝12，x＝32.故选B.

答案：B

3．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )

A ．3 125

B ．5 625

C ．0 625

D ．8 125

答案：D

4．已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积

公式：S ＝12

×底×高，可得扇形的面积公式为( ) A.12r 2 B.12

l 2 C.12

rl D ．不可类比

解析：将扇形与三角形类比为，把弧类比为底边，半径类比为高，

所以扇形的面积公式为S ＝12

rl .故选C. 答案：C

5．已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )

A ．(10,1)

B ．(2,10)

C ．(5,7)

D ．(7,5)

解析：如图，根据题中规律，有(1,1)为第1项，(2,1)为第3项，

(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，…，(5,11)为第56项，因此第60项为(5,7)．

答案：C

二、填空题

6．已知x∈(0，＋∞)，观察下列几式：x＋1

x≥2，x＋4

x2＝

x

2＋

x

2＋

4

x4≥3，……，类比有x＋a

x n≥n＋1(n∈N

*)，则a＝

__________________.

解析：根据已知等式类比可得a＝n n.

答案：n n

7．已知两个圆：①x2＋y2＝1，②x2＋(y－3)2＝1，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为：

_______________________________________________________

_________________.

解析：将两圆的方程分别换为①(x－a)2＋(y－b)2＝r2与②(x－c)2＋(y－d)2＝r2，按题中要求即可得到推广命题．

答案：设圆的方程为① (x－a)2＋(y－b)2＝r2与② (x－c)2＋(y－d)2＝r2(a≠c或b≠d)，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．

8．观察：

(1)tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1；

(2)tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.

由以上两式成立，推广得到的一般结论是__________________________．

解析：由已知两个式子可知，三个角之和为90°，且这三个角都不是90°，由此可得一般结论．

答案：若α、β、γ都不是90°，且α＋β＋γ＝90°，则

tan αtan β＋tan β tan γ＋tan αtan γ＝1.

三、解答题

9．点P是三角形ABC内切圆的圆心，半径是r，三角形ABC

的面积是1

2(AB＋BC＋CA)r.类比写出三棱锥S-ABC的一个相似的结论．

解析：假设点P是三棱锥SABC内切球的球心，半径是R，则三棱锥SABC体积是

1

3(S△SAB＋S△SBC＋S△SCA＋S△ABC)R.

10．已知在数列{a n}中，a1＝0，a n＋1＝a n＋(2n－1)(n∈N*)，写出它的前4项，并归纳出该数列的通项公式．

解析：a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，…，a n＝(n－1)2.