《离散数学》复习提纲(2018)

《离散数学》期末复习大纲

一、数理逻辑

[复习知识点]

1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价?），复合命题

2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），

公式的基本等值式

3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式

4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）

5、命题逻辑的推理理论

6、谓词、量词、个体词（一阶逻辑3要素）、个体域、变元（约束出现与自由出

现）

7、命题符号化、谓词公式赋值与解释，谓词公式的类型（永真、永假、可满足）

8、谓词公式的等值式（代换实例、消去量词、量词否定和量词辖域收与扩、量

词分配）和置换规则（置换规则、换名规则）

9、一阶逻辑前束范式（定义、求法）

本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、

公式类型的判定、命题逻辑的推理、谓词与量词、命题符号化、谓词公式赋值与

解释、求前束范式。

[复习要求]

1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方

法。

2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简

其它公式，公式在解释下的真值。

3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）

范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。

4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公

式等价方法。

5、掌握命题逻辑的推理理论。

6、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑

联结词描述一个简单命题；掌握命题的符号化。

7、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定

解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。

8、掌握求一阶逻辑前束范式的方法。

二、集合

[复习知识点]

1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂

集

2、集合的交、并、差、补以及对称差等运算及有穷集的计数（文氏（Venn）图、包含排斥原理）

3、集合恒等式（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、矛盾律、德摩根

律等）及应用

本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明。

[复习要求]

1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。

2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补、对称差等基本运算。

3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。

三、二元关系

[复习知识点]

1、序偶、迪卡儿积，迪卡儿积的性质及运算。

2、二元关系（定义、空关系、全域关系、恒等关系）、关系表达式、关系矩阵与

关系图

3、关系的定义域、值域、限制、像、复合关系（右复合）与逆关系

4、关系的性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性）

5、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）

6、等价关系与等价类、商集、划分

7、偏序关系与哈斯图、极大/小元、最大/小元

本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系及划分、

偏序关系和哈斯图

[复习要求]

1、了解序偶与迪卡儿积的概念，掌握迪卡儿积的运算。

2、理解关系的概念：二元关系、空关系、全域关系、恒等关系；掌握关系的集

合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。

3、掌握求复合关系与逆关系的方法。

4、理解关系的性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性），掌握其判别方法（定义、图）。

5、掌握求关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。

6、理解等价关系和划分、掌握等价类和划分的求法

7、理解偏序关系的概念，掌握画哈斯图的方法，极大/小元、最大/小元的求法。

四、函数

[复习知识点]

1、理解函数概念：函数、函数相等、A到B的函数。

2、理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。

3、函数的复合与反函数

本章重点内容：函数的定义及判别方法、函数的三大性质、函数的复合与反函数。[复习要求]

1、掌握函数及从A到B的函数的判别方法。

2、理解函数的像与原像。

3、掌握函数的单射、满射、双射的判别方法。

4、掌握求函数的复合与反函数的方法。

五、图论

[复习知识点]

1、图的基本概念：无向图与有向图、顶点与边的关联关系、顶点（边）与顶点

3

（边）之间邻接关系、简单图与多重图、顶点度数（度）与握手定理、图的同构、

完全图、子（补）图。

2、通路与回路、简单通（回）路与初级通（回）路；连通图与非连通图、连通分支、点割

集、边割集、点（边）连通度；强连通图、单向连通图与弱连通图；二部图。

3、图的矩阵表示：关联矩阵、邻接矩阵、可达矩阵。

4、欧拉通（回）路、（半）欧拉图；哈密尔顿通（回）路、（半）哈密尔顿图；

5、无向树、生成树、带权树、最小生成树。

6、有向树、树根、有序树、二叉树、最优二叉树、前缀码、最佳前缀码、霍夫曼

（Huffman）算法、二叉树的周游及应用。

本章重点内容：握手定理、点（边）割集、通路与回路、特殊图（欧拉图与哈

密顿图、无（有）向树）、最优二叉树、最佳前缀码、霍夫曼（Huffman）算法。[复习要求]

1、理解图的有关概念：图、完全图、简单图、子图、母图、生成子图等。

2、深刻理解握手定理及其推论的内容，并能熟练地应用它们。

3、能判断两个图是否同构。

4、理解连通度、点割集、边割集、割边和割点。

5、能判断图是否为强连通图、单向连通图与弱连通图。

6、理解图的矩阵表示（关联矩阵、相邻矩阵）和性质以及熟练掌握用有向图的

邻接矩阵及各次幂求图中通路与回路数的方法。

4、理解欧拉图、哈密顿图的定义及判别定理。在无向图中找出一条欧拉通路或

欧拉回路、哈密顿通路或哈密顿回路。

5、理解无向树的定义，熟练掌握无向树的主要性质，并能灵活应用它们。

6、理解生成树的有关概念与性质。

7、理解有向树、根树、二叉树和前缀码的有关概念；掌握用霍夫曼（Huffman）算法求带权图的最优二分树，掌握求最佳前缀码方法，二叉树的中序和前序行遍法。

4

考试说明

一、考核方式

1）期末笔试为100分钟的闭卷考试，占总评成绩的70％。

2）平时成绩来自作业、考勤和课堂考核，占总评成绩30％。

二、各部分比例（大概为讲授学时*2.5）

1）数理逻辑：35分

2）集合论：40分

3）图论：25分

三、考题类型

1）单选题：20题，每题1分，共20分

2）判断题：20题，每题1分，共20分

3）填空题：10题，每题2分，共20分

4）综合题：5题，每题8分，共40分

四、常见综合题

1.用等值演算法证明等值式。

2.在自然推理系统P中构造证明推理（多种方法）

3.用等值演算法求解主析取范式或主合取范式，计算分析

4.集合恒等式的证明或化简(1-2例题或练习)

5.集合的运算，有穷集的计数（文氏图、包含排斥原理）

6.求二元关系导出的划分(1-2例题或作业)

7.给定一个偏序集，画出哈斯图并求极大、极小元素、求最大、最小元素、上界、最

小上界、下界、最大下界、上确界和下确界。

8.图的集合表示、图形表示、矩阵表示，以及相互之间的转换。

9.利用握手定理，无向树中的顶点数、边数、度数、叶子数，知道其中部分数据，

求其余部分数据。

10.用Huffman算法求最优二叉树产生的最佳前缀码（根树的应用）。

《离散数学》试卷结构及样题

一、单选题

（20小题，每题1分，共20分）

1.设

M(x)：x

是人，

P(x)：x

犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（ ）

A. x(M(x) P(x))

B.

(x(M(x) P(x))) C. (x(M(x)

P(x)))

D.

(x(M(x)

P(x)))

2. 设A={x,y},B={y,z}则A ×B 为（

）

A. {(x ,y ),(x , z ),(y ,y ),( y ,z ) }

B. { (y ,x ),(x ,z ),(

y , y ),( y , z ) }

C.{(x ,y ),(z ,

x ),(y ,y ),( y ,z ) } D. {(x ,y ),(x ,z ),(

y , y ),( z , y ) } 3. 设集合A={1,2,3},A 上的关系R ＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,1)}, 则R 具有

(

)

A.反自反性

B.传递性

C.对称性

D.以上答案都不对

4. 关于整数集Z 上的“＜”关系 R ，以下描述不正确的是（ ）

A.R 的自反闭包是“≤”关系

B.R 的对称闭包是“≠”关系

C.R 的传递闭包是它本身

D.R 的反自反闭包是“＞” 5. 下列图中（ ）是欧拉图

??

二、判断题 （20小题，每题1分，共20分）

1. 公式(

xF(x) yG(y)) yG(y)是可满足式。（ ）

2.

(AB) (B

C)(A

C)

这个定律叫做假言三段论。

（

）

3. 设A=｛a ，b ，c ，d ｝，R 是A 上的一个二元关系，R={,,,<

c,c>}是自反的，是反对称的，是传递的。（

）

4. 在每个图中，所有顶点的度数之和等于边数的两倍。（

）

5. 树是不包含回路的连通图，在（n ，m ）树中必有m=n+1（

）。

6

??

三、填空题（10小题，每题2分，共20分）

1.已知命题公式G(PQ)R，则G的析取范式为。

2.设A={2,3,4,5} ，若A上的关系为R={|(x-y)/2 是整数}，则

R= 。

3.R是集合X上的一个关系，如果R是自反的，对称的，传递的，则R称

为。

4.无向完全图K的边数为。

n

5.在一个图中，不与任何一个顶点相邻接的点叫做。

??

四、综合题（5小题，每题8分，共40分）

1．用等值演算法证明等值式(p→q)∧(p→r) (p→(q∧r))。

2．对偏序集（{3，5，6，15，24，30}，|）上的整除关系，画出哈斯图并回答下列问题：

1）求极大、极小元素；

2）求最大、最小元素；

3）找出{3，5}的所有上界，如果存在的话求出最小上界；

4）找出{15，30}的所有下界，如果存在的话求出最大下界。

??

《离散数学》复习题

一、选择题

1.下述句子中哪一个不是命题（）

A.5是有理数

B.2020年元旦下大雪

C.我正在说假话

D.ln1是整数

2.在自然推理系统P中，推理规则通常不包括（）

A.直接证明法

B.前提引入规则

C.置换规则

D.结论引入规则

3.命题xy(x2y21)的意义是（）

A.对任何x均存在y使得x2+y2=1

B.对任何y均存在x使得x2+y2=1

C.存在y对任何x均使得x2+y2=1

D.存在x对任何y均使得x2+y2=1

4.下述句子中哪一个是命题（）

A.海南岛的天气好热啊！

B.我知道我什么都不知道

C.开会时请关闭手机

D.明天天气晴朗

5.判断推理是否正确的方法通常不包括（）

A.真值表法

B.归纳法

C.等值演算法

D.主析取范式法

6.在自然推理系统P中,联结词符号不包括（）

A. B. C. D.

7.在自然推理系统P中，构造证明的方法通常不包括（）

A.直接证明法

B.附加前提证明法

C.归纳法

D.归谬法

8.对于集合的表示法，下列表示错误的是（）

A.{x|x是实数?x21=0}

B.{x|x21=0，其中x是自然数}

C.{-1,1}

D.{x是实数并且x21=0}

9.下列命题中错误的是（）

A.{1}{1,{1}}

B.{1}{1,{1}}

C.{1}{1,{1}}

D.1{{1}}

10.下列集合的基数互不相等的是（）

A.{,{}}和{1,2}

B.和{}

C.{,{}}和{1,{1,2}}

D.{1，1,{1,2,3}}和{1,{1,2}}

A.x(M(x)P(x))

B.x(M(x) P(x))

C.x(M(x)P(x))

D.x(M(x) P(x))

12.设、是谓词公式，

P

是谓词，＝xP(x)

,H＝

xP(x)

,

则谓词公式G H GH G

是()

A.永真的

B.永假的

C.可满足的

D.矛盾的

13.对于集合的表示法，下列表示正确的是（）

A.(-1,0,1)

B.{x|x21=0?x是自然数}

C.[-1,0,1]

D.{x是实数并且x21=0}

14.设a、b、c各不相同，对于下列选项中的两个集合，相等的是（）

A.{{a,b},c}和{c,{a,b}}

B.{a,b,c}和{a,b,{c}}

C.{{a},b,c}和{a,b,c}

D.{{a,b}}和{a,b}

15.设A、B、C为集合，下列命题中错误的是（）

A.(AB)BB

B.A-B=AB=

C.A-B=AB

D.AB=BAB=A

16.设A={1,2,3},B={1,2},那么下列不是从A到B的二元关系的是（）

A.{<1,2>,<1,3>}

B.A×B

C. D.{<1,1>,<2,1>,<3,1>}

17.设R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,1>},则domR和ranR分别是（）

A.{1,2,4}和{2,3,4}

B.{1,2,4}和{1,2,3,4}

C.{1,2,3,4}和{1,2,3}

D.{1,2,3}和{1,2,3,4}

18.设R={<1,2>,<1,4>,<2,2>,<2,3>},S={<1,1>,<1,3>,<2,3>,<3,

2>,<3,3>}，则RS是（）

A.{<1,3>}

B.{<1,3>,<2,3>}

C.{<1,3>,<2,3>,<2,2>}

D.{<1,3>,<2,1>,<2,3>}

19.设R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,1>,<3,2>}，则R[{2}]是（）

A.{<1,2>,<2,2>,<3,2>}

B.{<2,2>,<2,4>}

C.{1,2,3}

D.{2,4}

20.列集合的基数互为相等的是（）

A.{,{}}和{1,{，1,2}}

B.和{}

C.{,{}}和{1,{1,2},3}

D.{1,1,{1,2,3}}和{1,{1,2},3}

21.设X={}，Y=P(,{})，下列命题为假的是（）

A.XY

B.X=Y

C.{X}Y

D.{X}Y

22.设A={1,2,3},B={1,2},那么下列不是从A到B的二元关系的是（）

A.{<1,2>,<1,3>}

B.A×B

C. D.{<1,1>,<2,1>,<3,1>}

23.设R={,,,},则domR和ranR分别是（）

A.{a,b,c}和{b,c,d}

B.{a,b,d}和{b,c,d}

C.{a,b,c}和{b,c}

D.{a,b,d}和{b,c}

24.下列关系中哪个能构成函数？（）

A.{|x,y∈N,x+y<10}

B.{|x,y∈N,x+y=20}

C.{|x,y∈R,|x|=y}

D.{|x,y∈Z,x=|y|}

25.设无向图如图所示，则（）是一条哈密顿回路

A．gabcdefg B．abcdefg C．cfabcdeg D．efgabcd

26.设G为n阶m条边的无向连通图，则下列()是不可能的。

Am

27.设A={1,2,3,4}，定义在A上的关系R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,4>},则关系

R具有性质（）

A.自反的

B.对称的

C.传递的

D.以上均不对

28.设A={1,2,3}，定义在A上的关系R={<1,1>,<2,1>,<1,3>}，则R的对称闭

包是（）

A.{<1,1>,<2,1>,<2,2>,<1,3>,<3,1>,<3,3>}

B.{<1,1>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<1,2>}

C.{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,2>,<3,3>}

D.以上均不对

29.下列（）是满2元树

30.下列给出的符号串集合（）不是前缀码。

A.{1,11,101,001,0011}

B.{1,01,001,000}

C.{0,10,110,1111}

D.{b,c,dd,dc,aba,abb,abc}

二、判断题

1. 设R是集合A上的关系，若R1,R2是对称的，则R1 R2也是对称的。（）

2.设A=｛a，b，c，d｝，R是A上的一个二元关系，R={,,,<

c,c>}是自反的，是反对称的，是传递的。（）

3.自然数集N上的关系“≤”（小于等于）是偏序关系，也是全序关系，同

时也是良序关系。（）

4.设R是整数集Z上的一个关系，如果R是拟序，则R是反对称的。（）

5.在每个图中，所有顶点的度数等于边数的两倍。（）

6.树是不包含回路的连通图，在（n，m）树中必有m=n+1（）。

7.公式p?q为重言式。（）

8.如果推理正确，则结论一定正确。（）

9.若明天有超强台风，则明天放假。明天不放假，所以明天没有超强台风。

(）

10.在公式x(F(x,y) G(x,z))中，x为指导变元，F(x,y)G(x,z)为x的辖域。

（）

11.公式(xF(x)yG(y))yG(y)是可满足式。（）

12.设a、b各不相同，{{a},{b}}={{a,b}}。（）

13.空集是所有集合的子集。（）

14.设R为二元关系，则R既可能不是对称的，也可能不是反对称的。

（）

15.函数f:NN,f(x)=(x)mod3,x除以3的余数,是满射，不是单射（）

16.设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。（）

17.如果函数f:X→Y是满射函数，而且是一对一函数，那么f:X→Y一定存在逆函数。（）

18.如果函数f:X→Y是一一对应函数，那么f:X→Y一定存在逆函数。（）

19.设R是整数集Z上的一个关系，R={|x-y是偶数}，则R是等价关系。（）

20.自然数集N上的关系“≤”（小于等于）是偏序关系，也是全序关系，同时也是良

序关系。（）

21.自然数集N上的关系“<”（小于）是偏序关系，也是全序关系，同时也是良序关系。

（）

22.自然数集N上的关系“整除”是偏序关系，也是全序关系，同时也是良序关系。（）

23.设R是整数集Z上的一个关系，如果R是拟序，则R是反对称的。（）

24.在每个图中，所有顶点的度数等于边数的两倍。（）

25.在任何有向图中，所以顶点的入度之和等于所有顶点出度之和。（）

三、填空题

1. 公式（q→p）∧p的主合取范式为。

2. 根据假言推理定律，（AB)A。

3.设M(x):x是男生,F(y):y女生,H(x,y):x比y力气大，则命题“不是所有的

男生都比所有的女生力气大”符合号形式为。

4.在一阶逻辑中将命题符号化时，若没有指明个体域，则使用。

5.公式x(M(x)F(x))的前束范式是。

6.量词辖域收缩与扩张等值式x(A(x)B) 。

7.设A={ ，1,a,{b}} ，B={2,{a},{b}} ，则AB= 。

8.无向图G有生成树当且仅当_______________。

9.对于2叉有序正则树，访问次序为：___________________的行遍法为中序行遍法。

10.一个无向树的顶点是27，则它的边数有个。

11.公式q∨p的成真赋值是。

12.（A B)(BC）为假言三段论。

13.设F(x):x是人，G(x):x喜欢共享单车，则“有人不喜欢共享单车”符号化

形式为。

14.在一阶逻辑中将命题符号化时，若没有指明个体域，则使用。

15.公式x(M(x)F(x))的前束范式是。

16.设A={1,3,5,7,9} ，B={2,3,5,7,10} ，C={2,5,6} ，则B-AC= 。

12

17.设A={0,1,2} ，则A上不同关系的个数为。

18.设f:R→R,f={|x∈R},该逆函数为：。

19.连通无回路的无向图称为_______。

20.一个无向树的边数是27，则它的顶点有个。

四、综合题

1．设命题公式G=（Q∧R）∧（P→（Q∧R））, 求G的主析取范式。

（各种方法都要求掌握）

2．用真值表判断下列公式的类型：(p∧r) ( p∧q)

3．用等值演算法证明等值式(p∧q)∨( p∧q) (p∨q) ∧(p∧q)。

4．在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：

前提：s p,p (q r),q

结论：s r

5．在自然推理系统P中构造下面推理的证明：

若明天是星期一或星期三，我明天就有课。若我明天有课，今天必备课。

我今天没备课。所以，明天不是星期一，也不是星期三。

6．某班有30个学生，其中18人会打篮球，10人会打排球，8人会打篮球和排球，7人会打篮球和网球，还有3人会打这三种球。已知7个会打网球的人都会打篮球或排球。求不会打球的人数。

7．设A={1,2,3,4,5,6,8,10,12,16,18} ，“≤”为A上的整除关系，试完成：1）画出偏序集的哈斯图；

2）设B={x|xA∧x＜5}，求出B的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界。

8．设A={1,2,3,4} ，在AA上定义二元关系R：, R x+y= u+v，求R导出的划分。

9．无向图G有18条边，3个4度顶点，4个5度顶点，其余顶点度数均小于3，

问G的阶数n为至少是多少？

10.在通信中，八进制数字出现的频率如下：

0：35% 1 ：25%

2：20% 3 ：15%

4：10% 5 ：10%

6：5% 7 ：5%

求传输它们的最佳前缀码，并求传输10n（n>=2）个按上述比例出现的八进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的（长为3）的码字传输需要多少个二进制数字？