波函数和薛定谔方程

波函数和薛定谔方程

一、波函数的统计解释、叠加原理和双缝干涉实验 微观粒子具有波粒二象性（德布罗意假设）；

德布罗意关系（将描述粒子和波的物理量联系在一起） k n h p h E ====λ

ων 物质波（微观粒子—实物粒子）

引入波函数（概率波幅）—描述微观粒子运动状态 对于微观粒子来说，如果不考虑“自旋”一类的“内禀”态，单值波函数是其物理状态的最详尽描述。至少在目前量子力学框架中，我们不能获得比波函数更多的物理信息。 微观粒子的状态用波函数完全描述

——量子力学中的一条基本原理

该原理包含三方面内容：粒子的状态用波函数表示、波函数的统计解释和对波函数性质的要求。

要明确“完全”的含义是什么。按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述体系的量子态，若已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如动量等粒子的其它力学量的概率分布也均可通过波函数而完全确定。由此可见，只要已知体系的波函数，便可获得该体系的一切物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述。

必须强调指出，波函数给出的有关粒子的“信息”本质上是统计性质的。例如，在适当条件下制备动量为p 的粒子，然后测量其空间位置，我们根本无法预言测量的结果，我们只能知道获得各种可能结果的概率。

很自然，人们会提出这样的疑问：既然量子力学只能给出统计结果，那就只需引入一个概率分布函数（象经典统计力学那样），何必假定一个复值波函数呢？

事实上，引入复值波函数的物理基础，乃是量子力学中的又一条基本原理——叠加原理。

这条原理告诉我们，两种状态的叠加，绝不是概率相加，

数学求和）。正因如此，在双缝干涉实验中，我们才能看见屏上的干涉花纹。

实物粒子双缝干涉实验分析

我们首先只打开一条狭缝，根据粒子的波动性，可以预言屏上将显示波长p / =λ（p 为粒子动量）的单缝衍射花纹。但是，根据粒子的微粒性，它们将是一个一个打上去的，怎样将这两种性质的描述调和起来呢？为此，我们想象将入射粒子束强度降低，直到只一个粒子通过狭缝，这时屏上会出现很微弱的衍射花纹吗？当然不会！单个粒子只能作为一个不可分割的整体打到屏上的一个点，从而出现一个小斑点。如果让这种微弱的粒子束（几乎让粒子一个一个地通过狭缝）长时间照射狭缝（相当于一个粒子的多次行为），结果发现，屏上一个一个斑点逐渐增加，最后形成一种接近连续的分布，它恰恰就是单缝衍射花纹！（单个粒子具有波动性的有力证明）

这提示：粒子的波动性只是一种“概率波”，或者干脆说只是一种概率分布而已。这种看法对吗？这种说法容易造成误解，因为它忽略了叠加原理的要求。

为了说明这一点，我们继续分析双缝干涉实验。

在屏上选择一个

小区域P ，分别打开

狭缝1和狭缝2，计

数单位时间内落到

区域P 的粒子数，分

别记为N 1和N 2；然后

同时打开两条狭缝，

试问：这时单位时间

内落在小区域P 内的

粒子数是否是来自

狭缝1的N 1个粒子和

来自狭缝2的N 2个粒

子之和呢？不是，

21N N N +≠！这个结果

表明，似乎原先通过

狭缝1的粒子，在打开狭缝2时会影响它落在屏上的位置，也就是说，作为单个不可分割的粒子，竟然同时从两个狭缝通过！可以看出，仅仅将波动性理解为概率分布是不够的，因为单个粒子也具有波动性。

设1ψ和2ψ是分别打开狭缝1和狭缝2时的波函数，21ψ和

2

2ψ则是相应的概率分布。如果我们把粒子的波动性仅仅理解为概率分布，我们就很容易把打开双缝后的概率分布写成2221ψψ+，即21N N N +=；但量子力学叠加原理告诉，

21N N N +≠，双缝干涉的正确概率分布是

最后一项是“干涉项”，是概率幅的叠加效应，产生双缝干涉花样的机制所在，换句话说，在双缝干涉实验中，不能应用概率叠加法则，而必须采用波函数叠加原理。

最后说明一下，按照波恩的统计解释，波函数应该是归一化的，即12=?τψd ，但是，象平面波那样的波函数却是不能归一化的，这时2

ψ不表示绝对概率密度，只表示相对概率密度，即粒子分别处于点1和2的概率之比为

τψd 2)1(：τψd 2)2( 如果ψ是具有确定能量的本征态，当∞

可归一化的，我们即说这是一个“束缚态”；否则，ψ描述的是一个“散射态”。

二、薛定谔方程

物理体系在其外部环境条件完全确定的情况下，体系的初始状态应该唯一的决定以后的状态，这就要求描述状态变化的方程是对时间t 的一阶微分方程，且它必须是线性的（满足叠加原理的要求）。在量子力学中是

薛定谔方程

量子力学中的又一条基本原理

当单粒子在势阱U 中运动时，可推得概率分布2

ψ=w 随时

间变化的连续方程 0=??+??J t w

我们将J 解释为局部的概率流密度矢量。 为了求得体系状态随时间的演化，我们必须从已知初态出发，利用薛定谔方程求出唯一解。

既然对于许多常见体系（一维方势阱、谐振子、库仑中心势……）能量本征函数是已知的，我们就可以利用这一有利条件，直接写出解)(t ψ，其步骤如下：

首先，把初态0ψ在能量本征态{}n ?上展开（其中能量本征

态满足n n n E H ??=?），∑=n

n n c ?ψ0

； 然后直接写下

∑-=n t E i n n n e

c t ?ψ)(

例如，一维无限深势阱（势阱位于a x <内部）中粒子初始波函数为

a x a x a x 2sin 2cos 24)(20ππψ= a x < 将0ψ在能量本征态{}n ?上展开，其中

?????><+=a x a x a x a n a x n 0)(2sin 1)(π?

得（直接用三角函数的积化和差） )(2

1)(21)(310x x x ??ψ+= 考虑到22

228a n E n μπ =，最后写出态随时间的演化表达式 )(2

1)(21),(3131x e x e t x t E i

t E i ??ψ --+= a x e a a x e a a t i a t i 23cos 212cos 2122228/98/ππμπμπ ---=

三、一维定态问题

前面例子可以告诉我们，可以把求解含时间的薛定谔方程

问题，化解成求解能量本征值问题：E

E E H ??=?。 在求解能量本征值问题时，对于波函数的一般要求是波函数及其导数必须单值、连续、有限(实际只要求其平方可积，并非要求其处处有限)（更为合理的阐述见曾谨言教程）。

在理想化的情形中，势能可能出现间断（如方势阱）、无限大（如无限深势阱）等情况，这时对波函数的要求可以通过由连续、有限势向间断或无限大势的极限过渡程序得到。

在一维情形中：

①如果势是有限的，不管它是否连续，都要求波函数及其导数连续，虽然在势具有有限间断点情形下，波函数的二阶导数出现跳变；

②如果势具有无限高的垂直壁垒（如无限深势阱），则要

求在壁外0=ψ，这时波函数的一阶导数出现间断，但波函数本身是连续的；

③如果势具有δ函数形式，则要求波函数连续而其一阶导数具有δ函数给出的跳变量；

④此外，对于束缚态，我们要求波函数在远处趋于零，并且不管是否散射态，根据波函数的统计解释，不允许波函数在远处趋于无限大。

下面详细讨论δ势导致波函数的一阶导数跳变问题。 设势)()(x a x U δ=，即原点有一非常尖锐的势峰，定态方程 )()()(2222x E x x a dx d ??δμ=??

????+- 在充分小的区间[]εε+-,上对x 积分得 [])0()0()()(22

?ε?ε?ε?μE a =+-'-'-

令0→ε，可看出)(x ?的一阶导数在x=0处出现跳变

对于一维分段常数势（如方势阱、方势垒、无限深势阱、δ函数势等），定态波函数应分段设解，并应用衔接条件，无限远处的发散条件和归一化条件，最后确定波函数，并在束缚态情况下确定能级。

现指出有关“节点数目”的一个定理。所谓“节点”，是指波函数的根，即0)(=x ?的解。常微分方程理论中的斯特姆定理告诉我们：一维薛定谔方程束缚态定态解的节点数目等于其激发态的顺序数。如果按能级的高低排列定态解0

?为

基态，0E E =；1?为第一激发态，1E E =；…；n ?为第n 激发态，n E E =;…,则0)(=x n ?有n 个实根（节点）。基态无节点。

例如，对于一维谐振子，定态解 )()(2

21ξ?ξn n n H e N x -= x αξ=

它具有确定的宇称 )()1()(x x n n n

??-=- 可见，当n=奇数时，0=x 是一个节点，其它节点则左右对称分布；当n=偶数时，节点左右对称分布。由此可以断言)(ξn H 具有下列形式（因为)(ξn H 是ξ的n 次函数）

???=--=--∝偶数奇数n n H n ))(())(()(222212222212ξξξξξξξξξξ

例1 对于一维自由运动粒子，设)()0,(x x δψ=求2),(t x ψ。

解：题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是p ，能量是E ，为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（许多平面波的叠加），其波函数为 p d e p t x i E px i )()(21),(-∞

∞-?= φπψ （1）

这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令0=t 应有 p d e p x px i

?∞∞-=)(21)0,(φπψ （2） 但按题意，此式等于)(x δ。但我们知道一维δ函数的一种表

示为

k d e x ikx ?∞

∞-=πδ21)( （3）

将（2）（3）二式比较：知道 p k =，并且求得

πφ21)(=p ，于是（1）成为

p d e t x i E px i )(21),(-∞

∞-?= πψ （4）

这是符合初条件的波函数，但E p ,之间尚有约束条件m p E 22

=（因为是自由粒子，总能量等于动能），代入（4）

p d e t x i m p px i ?∞

∞--=)2(221),( πψ （5）

将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果： p d e e

t x i mx p m it t imx ?∞∞---=)2(22221),( πψ （6） 利用积分α

πξαξ=?∞∞--d e 2

t i m e t x t imx ππψ 221),(22= t m t m t x πππψ22)2(1),(22=?=

例二 质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向x=0处势垒运动。当0≤x 时，势能为零；当0>x 时，势能为E V 4

30=。问在x=0处粒子被反射的几率和透射几率各多大？ 解：S-eq 为

???≥=+''≤=+''000022221211x k x k ψψψψ

其中221/2 mE k = 4//)(2212022k V E m k =-=

由题意知 0≤x 区域 既有入射波，又有反射波；0≥x 区域仅有透射波

故方程的解为 x ik x ik re e 1

11-+=ψ 0≤x

x ik te 22=ψ 0≥x

在x=0处，ψ及ψ'都连续，得到 t r =+1 t k r k 2)1(11=-

由此解得 91

2

==r R 透射率2

t T ≠ 因为12k k ≠

将 x ik e 1，x ik re 1-，x ik te 2分别代入几率流密度公式 ??

? ????-??-=**2ψψψψx x m i j 得 入射粒子流密度 m k j 10 =

反射粒子流密度 21r m

k j R -= 透射粒子流密度 22t m k j T =

由此得 反射率 9120

===r j j R R

透射率 982120===t k k j j T T 1=+T

R