2020年高考数学解答题分类汇编——不等式

三、解答题

〔2018广东理数〕19.〔本小题总分值12分〕

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

假如一个单位的午餐、晚餐的费用分不是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，同时花费最少，应当为该儿童分不预定多少个单位的午餐和晚餐？

单位的午餐

解：设该儿童分不预订,x y 个

和晚餐，共花费z 元，那么 2.54z x y =+。

可行域为

12 x+8 y ≥64

6 x+6 y ≥42

6 x+10 y ≥54

x ≥0， x ∈N

y ≥0， y ∈N

即

3 x+2 y ≥16

x+ y ≥7

3 x+5 y ≥27

x ≥0， x ∈N

y ≥0， y ∈N

作出可行域如下图：

经试验发觉，当x=4,y=3 时，花费最少，为 2.54z x y =+=2.5×4+4×3=22元．

〔2018广东文数〕19.〔此题总分值12分〕

某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

假如一个单位的午餐、晚餐的费用分不是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，同时花费最少，应当为该儿童分不预订多少个单位的午餐和晚餐？

解：设为该儿童分不预订x 个单位的午餐和y 个单位的晚餐，设费用为F ，那么F y x 45.2+=，由题意知： 64812≥+y x

4266≥+y x

54106≥+y x

0,0>>y x

画出可行域：变换目标函数：485F x y +-=

〔2018湖北理数〕15.设a>0,b>0,称2ab a b +为a ，b 的调和平均数。如图，C

为线段AB 上的点，且AC=a ，CB=b ，O 为AB 中点，以AB 为直径做半

圆。过点C 作AB 的垂线交半圆于D 。连结OD ，AD ，BD 。过点C 作

OD 的垂线，垂足为E 。那么图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，

线段的长度是a,b 的几何平均数，线段的长度是a,b 的调和

平均数。

15.【答案】CD DE

【解析】在Rt △ADB 中DC 为高，那么由射影定理可得2CD AC CB =?，故CD ab =，即CD 长度为

a,b 的几何平均数，将OC=, , 222

a b a b a b a CD ab OD +-+-

===代入OD CE OC CD ?=?可得a b CE ab a b -=+故222()2()a b OE OC CE a b -=-=+，因此ED=OD-OE=2ab a b +，故DE 的长度为a,b 的调和平均数.