高中数学选修2-1综合测试题及答案

、选择题

1已知a 、b 为实数，则2a . 2b 是log 2a log 2 b 的（ ）

A.必要非充分条件

B.充分非必要条件

C.充要条件

2、 给出命题：若函数y 二f （x ）是幕函数，则函数y 二f （x ）的

图象不过第四象限.在它的逆命题、 否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 （ ） A.0

B.1

C.2

D.3

3、 已知函数 f （x ）二sin x ?2xf （—）,则 f （―）二（ ）

3

3

A. 一1

B. 0

C. 一1

D.三

2

2 2

4、 如果命题“pl q”是假命题,非p ”是真命题，那么 （ ）

A.命题p —定是真命题

B.命题q —定是真命题

C.命题q 可以是真命题也可以是假命题

D.命题q 一定是假命题

5、 已知命题 p :" ~x 1,2 1,x?-a _0"，命题 q :" R, x 2 ? 2ax ? 2-a

= 0",若命题 q ”是真

选修2-1综合测试题

D.既不充分也不必要条件

命题,则实数a 的取值范围是 （ ）

A.（」：，-2]U{1}

B.（」：，-2]U[1,2]

C.[ 1,

D.[- 2,1]

6.如图ABCD- ABCD 是正方体, AB

B 1E 1 = DF 1 =

弦值是（

）

15 A 方

8 .187 D

_3 ~2~

7?如图所示，在四面体P — ABC 中, PC!平面 ABC 么二面角B — AP- C 的余弦值为（

B.申C

8我们把由半椭圆 2 2

仔占=1（x — 0）与半椭圆 a b

2 y_ b 2 2

x 2 =1

（x ：：

合成的曲线称作 果圆”（其中a^b 2 c 2, a b c 0）.如图, 设点F °,F 1,F 2是相应椭圆的焦点 A 、A 2和B 、B 2是 果圆”与

x,y 轴的交点，若守0F 1F 2是边长为1的等边三角，则a,b 的值分

则BE 与DF 所成角的余

AB= BO CA= PC ,那

别为（）A.

7

,1 B. 3,1 C.5,3 D.5,4

2

2 2

9、设F 1和F 2为双曲线 冷-爲"（a 0,b 0）的两个焦点，若％ F 2,P （0,2b ）是正三角形的三 a b

13. 已知空间三点 A( — 2,0,2), B( — 1,1,2), C(-3,0,4),设 a =, b =,若向量 ka + b 与 ka - 2b 互相垂直，则k 的值为 __________ .

14. 已知向量 a = (cos 9 , sin 9 , 1), b = ( .3,- 1,2),则 |2a- b|的最大值为

（c,0），若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2

与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是 ____ .

16、现有下列命题：

① 命题 “x 乏 R ,x 2+x+1=0” 的否定是 “x ^ R ,x 2 + x + 1^0 ”； ② 若 A —x|x 0：,B

E -心,则 An （e R B ） = A;

③ 函数f （x ）二s in Lx ，「）（?‘?0）是偶函数的充要条件是:=k （k ，Z ）;

2

④ 若非零向量a ,b 满足a = ■ b, b = ■ a （…R ）,则’=1.

其中正确命题的序号有 ________ .（把所有真命题的序号都填上）

三、解答题（本大题共6小题，共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 .）

个顶点，则双曲线的离心率为（） A.3

2

B.2

C.

|

D.3

10、设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 二ax （a =0）的焦点F 且和y 轴交于点A,若厶OAF （O 为坐 标原点）的面积为4,则抛物线方程为（

2 2 2 2

A. y - _ 4x

B. y - _8x

C. y = 4x

D. y = 8x

11.已知长方体 ABCD~A 1B 1C1D1 中，AB= BC= 1, AA = 2, E 是侧棱BB 的中点，则直线AE 与平 面AED 所成角的大小为（ ）

B. 90°

C. 45°

D.以上都不正确

A. 60°

12、平面a n

A

. y B .

二、填空题

的一个法向量n = (1,- 1,0)，贝U y 轴与平面 n n 3 n

& C. E

D

. -4

a 所成的角的大小为（）

2 2 2

x

y

x

15、已知椭圆 — ^2 h(a b 0)与双曲线「

a b m 2

爲=1 （m 0,n ? 0）有相同的焦点（-c,0）和 n

17、(12分)设命题p:不等式2x—1 c x+a的解集是｛x —命题q:不等式4x启4ax2+ 1的解集是、，若“p或q”为真命题,试求实数a的值取值范围.

18、(12分)已知向量b与向量a=(2,-1,2)共线，且满足a ? b=18,(ka+b)丄(ka-b),求向量b及k 的值?

19、(12分)如图所示，已知圆01与圆02外切，它们的半径分别为3、1, 圆

C与圆O1、圆O2外切。(1)建立适当的坐标系，求圆C的圆心的轨迹方

程；(2)在(1)的坐标系中,若圆C的半径为1,求圆C的方程。

20、(12分)某工厂有一段旧墙长14m,现准备利用这段旧墙为一面建造平面

图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件是：

①建1m新墙的费用为a元;②修1m旧墙的费用为a元;③拆去1m的旧墙，用可得的建材建1m

4

的新墙的费用为a元，经讨论有两种方案：

2

(1)利用旧墙一段x m(0 v x v 14)为矩形一边；⑵矩形厂房利用旧墙的一面

边长x > 14; 问如何利用旧墙建墙费用最省？试比较(1)(2)两种方案哪个

更好.

2 2

21、(12分)已知F1、F2分别为椭圆G：笃?笃-1(a b 0)的上、下

a b

焦点，其中F1也是抛物线C2:x2 =4y的焦点，点M是G与C2在第二象

5

限的交点，且|MF十5.

3

(1)求椭圆G的方程；

⑵已知点P(1,3)和圆O: x2y^ b2，过点P的动直线I与圆O相交于不同的两点代B，在线段

_ T t —I T

AB上取一点Q,满足：AP - - ■ PB,AQ = ■ QB ,( ■ = 0且/—二1).求证:点Q总在某定直线上. 22、(14分)(2011 ?辽宁咼考理科18)(本小题满分12分)如图，四边形ABC助正万形,

PDL平面ABCD PD// QA QA=AB=! PD

2

(I )证明：平面PQCL平面DCQ

(II )求二面角Q-BP-C的余弦值.

参考答案：1.A 2a .2* a b,当a :: 0或b . 0时，不能得

到log2 a log2 b ,反之成立.

2. B原命题为真，其逆命题为假，二否命题为假，

逆否命题为真.

亠/口 1 二二1

3. C 得f (x) = cosx ■ 2 f ( ),- f ( ) 2 f ()二 f ()

3 3 2 3 3 2

4. C 非p”是真命题,命题p是假命题.??命题q可以是真命题也可以是假命题.

5. A “P q”为真，得p、q 为真,二a 辽(x2)min"A 4a2 - 4(2 - a) _ 0 .得a—2或a=1.

6. A

7.C

8.A 0F2 = ■ b2—'C2 = —, OF0= c = ?. 3OF2—,二b = 1 ,

2 2

??? a2=b2 c2=1 ■ 3 = 7，得a =—，即a = — , b 二 1 .

4 4 2 2

9. B 由tan C 3有3c2 = 4b2 = 4(c2 -a2)，则e=E=2,故选B.

6 2b 3 a

10. B抛物线y2二ax (a =0)的焦点F坐标为(a,0)，则直线I的方程为y =2(x-?),

4 2

a 1 a a

它与y轴的交点为A(0, -―)，所以△ OAF的面积为-|—「|—|=4,

2 2 4 2

解得a二-8.所以抛物线方程为y2二8x.

1 1 1 1

10. D S JPTQ = — xyxQT = —,? QT =—,Q(x—— ,0)，根据导数的几何意义

2 2 y y

0 5

k pQ 二一匸千y ,? y2=y . 11B 12.B 13.-Q或2 14. 4 x -(x -一)

y

15.1本题考查椭圆、双曲线的定义和标准方程，双曲线的离心率.由题意得

2

c2 =a2-b2二m2? n2①,c2 =am ②,2n2m2 c2③,将①代入③得

2n2 = 3m2 n2,? n = -、3m，代入③得c = 2m，再代入②得a = 4m,得—.

a 2

16②③ 将b 二’a 代入a —b 得(’2 -1) a =0,A ^=1,有’二1,④错.

-a 1 1

—a +1 ------ =

17. ------------------------------------ 解:由2x—1cx+a得cxva+1,由题意得｛ 3 3=a = 2. ?命题p:a = 2.

3 I ,

3 a 1 = 3

"a >■ 0

即对X/x 乏R,4ax ? _4x +1 >0恒成立，二彳 2

，得a 》1. 二命题q:a>1.

—(-4) -4 4a 1 ：： 0 由“p 或q”为真命题，得p 、q 中至少有一个真命题.

a = 2 当p 、q 均为假命题，则彳 {a ^1} ,而命心a 兰1} ={a a>1}. Z 1

???实数a 的值取值范围是(1, =)?

18. 解:■/ a,b 共线，.??存在实数 入，使 b=X a, /? a ? b=X a 2=X | a | 2,解得入=2. ??? b=2a=(4,-2,4). v (ka+b)丄(ka-b), 二(ka+b) ? (ka-b)=(ka+2a)

? (ka-2a)=0,

2

2

即(k -4) | a | =0, 解得 k=± 2.

19. 解:(1)如图，以OQ 2所在的直线为x 轴，以QO 2的中垂线 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.设圆C 的圆心

为 C(x, y),半径为 r ,由 CO 』|CO 2 - (r 3) -(r 1)=2, 得圆C 的圆心的轨迹是以。1(-2,0) , 02(2,0)为焦点，

2 2

定长为2的双曲线,设它的方程为…与=1.由2a = 2，得a = 1,

a b

又c=2,「. b 2 二c 2 -a 2 =3.又点(1,0)不合题意，且 CO 』|CO 2 =2 0,知 x 1.

2

???圆C 的圆心的轨迹方程是X 2-'

1 (x 1).

3

⑵令 C(x,y),由圆 C 与圆 01、02 相切得 ICO 1 |=4,|CO 2 1=2, '(x+2)2 +y 2 =16 小/口 3 V T5 … “、十, 3 2

V T5 2 [(x-2)2+y 2=4,解得 C (芦丁川圆 C 的万程为(J) +(y ±W )=1.

20. 解:(1)方案:修旧墙费用为x 旦元,拆旧墙造新墙费用为(4-x) ?,

4 2 2汇126 x 36

其余新墙费用：(2x ， ------- -14)a ?总费用 y=7a(—，— -1) (0V x V 14)

x

4 x

6 )2

35a > 35誚 x = 12 时,y min = 35a.

a 7a 959 ⑵方案，利用旧墙费用为14 -二工(元),建新墙费用为(2x -5--16)a (元) 2

2

x

总费用为：y =2a(x

(x > 14)

15

? y =7a(—x

2

A

x 2