2015届广东省海珠区等四区高三联考数学试卷(文)

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海珠区2014学年高三综合测试（二）

数学(文科)

2014.11

参考公式：锥体体积公式Sh V 3

1

=

,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．已知集合{

}{}4),(,2),(=-==+=y x y x B y x y x A ，那么集合A B 为 A ．(){}1,3- B ．()3,1-

C ．{}3,1-

D ．(){}3,1-

2．若复数z 满足()1i z i -=,则z 在复平面内对应的点位于

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．函数2x y =（x ∈R ）的反函数为 A ．2log y x =（0x >） B ．2log y x =（1x >） C ．log 2x y =（0x >）

D ．log 2x y =（1x >）

4．已知向量,a b 的夹角为120，2a =，且8a b ?=-，则b = A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

5．函数cos 2sin 2y x x =-的一条对称轴为 A ．4x p =

B ．8x p =

C ．8x p =-

D ．4

x p =- 6．根据如下样本数据：

得到的回归方程为y bx a =+，则

A ．0,0a b ><

B ．0,0a b >>

C ．0,0a b <<

D ．0,0a b <>

-

7．函数ln y x =

与y =-

8．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为

A ．0

B

C

D

． 9．已知椭圆22

19x y +=与双曲线22221x y a b

-=共焦点12,F F ，设它们在第

一象限的交点为P ，且120PF PF ?=，则双曲线的渐近线方程为 A

．y = B

．y = C

．y x = D

．y x = 10．若实数1122,,,x y x y 满足22211122(3ln )(2)0y x x x y +-+-+=，则221212()()x x y y -+-的最小值为

A ．8 B

．

C ．2 D

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）

11. 已知{}n a 是等差数列，125a a +=，91021a a +=，则该数列前10项和

10S =________．

12. 一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为2的等边

三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为________. 13．给出下列四个命题：

①函数()

f x 有最小值2；

②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”；

③命题:,tan 1p x x ?∈=R ；命题2:,10q x x x ?∈-+>R ．则命题“

()p q ∧?”是假命题；

④函数()3132

f x =x x +-在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-.

其中正确命题的序号是________．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆4sin ρθ=与直线(sin cos )4ρθθ+=相交所

得的弦长为________.

15．（几何证明选讲选做题） 如图，⊙O 是ABC ?的外接圆，

AB AC =，延长BC 到点D ，使得CD AC =，连结AD 交⊙O

于点E ，连结BE ，若035D ∠=,则ABE ∠的大小为________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）

在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ,已知4

A π

=，4cos 5

B =

. （1）求cos C 的值；

（2）若10a =，D 为AB 的中点，求CD 的长.

A B C D四随着社会的发展，网上购物已成为一种新型的购物方式．某商家在网上新推出,,,

款商品，进行限时促销活动，规定每位注册会员限购一件，并需在网上完成对所购商品的质量评价．以下为四款商品销售情况的条形图和用分层抽样法选取100份评价的统计表：

（1）若会员甲选择的是A款商品，求甲的评价被选中的概率；

（2）在被选取的100份评价中，若商家再选取2位评价为差评的会员进行电话回访，求这2位中至少有一位购买的是C款商品的概率.

如图所示，已知PD 垂直以AB 为直径的圆O 所在平面，点D 在线段AB 上，点C 为圆O 上

一点，且3,22BD AC AD ===. （1）求证：PA ⊥CD ；

（2）求点B 到平面PAC 的距离．

19．（本小题满分14分）

已知{}n a 是首项为2，公差不为零的等差数列，且1517,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13

n

n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 两点的坐标分别为()0,1、()0,1-，动点P 满足直线AP 与

直线BP 的斜率之积为1

4

-，直线AP 、BP 与直线2y =-分别交于点M 、N ．

（1）求动点P 的轨迹方程； （2）求线段MN 的最小值；

（3）以MN 为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标;若不经过定点，请

说明理由．

已知函数1

(0)()e (0)x x f x x

x ?>?=??≤?，()()F x f x kx =+ (k ∈R )． （1）当1k =时，求函数()F x 的值域； （2）试讨论函数()F x 的单调性．

海珠区2014学年高三综合测试（二）

文科数学参考答案与评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，

如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内

容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 11. 65 12.

13. ③④ 14. 15. 035 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 解：（1）

4cos ,5B =

且(0,)B

π∈

，∴3

sin 5

B ==．………………1分 ∴3cos cos()cos(

)4

C A B B π

π=--=- ………………2分

33cos

cos sin sin 44

B B ππ=+ ………………4分 432

525

=-+

………………5分 =

．

………………6分 （2）由（1）可得sin C === ………………7分 由正弦定理得sin sin a c

A C

=2

c

=， ………………8分 17. 解：（1）

由条形图可得，选择,,,A B C D 四款商品的会员共有2000人，……1分

其中选A 款商品的会员为400人，由分层抽样可得A 款商品的评价抽取了 400

100202000

?=份． ………………2分 设 “甲的评价被选中” 为事件M ，则201

()00540020

.P M =

==． ………………3分 答：若甲选择的是A 款商品，甲的评价被选中的概率是0.05. ………………4分 (2) 由图表可知，选,,,A B C D 四款商品的会员分别有400,500,600,500人， ………5分

用分层抽样的方法，选取评价的人数分别为20,25,30,25人，其中差评的人数分别为1,0,3, 2人，共6人． ………………6分

记对A 款商品评价为差评的会员是a ；对C 款商品评价为差评的会员是,,b c d ；对D 款商品评价为差评的会员是,e f ．从评价为差评的会员中选出2人，共有15个基本事件：

(),,a b ()()()(),,,,,,a c a d a e a

f ，(),b c ，()()(),,,,,,b d b e b f ()()(),,,,,,c d c e c f ()()(),,,,,d e d f e f ． ………………9分

设“至少有一人选择的是C 款商品” 为事件N ,事件N 包含有12个基本事件：

(),,a b ()(),,,,a c a d (),b c ，()()(),,,,,,b d b e b f ()()(),,,,,,c d c e c f ()(),,,d e d f .由古典概率公式

知()124

155

P N =

=． ………………11分 答：至少有一人选择的是C 款商品的概率为

4

5

． ………………12分 18．解：（1）由3BD =, 1AD =，知4AB =，2AO =，点D 为AO 的中点．……1分

连接OC ．

∵2AO AC OC ===，∴AOC ?为等边三角形， ………………2分 又点D 为AO 的中点，∴CD AO ⊥． ………………3分 又∵PD ⊥平面ABC ，又CD ?平面ABC ，∴PD CD ⊥， ………………4分

PD AO D ?=，PD ?平面PAB ，AO ?平面PAB ，

∴CD ⊥平面PAB ， ………………5分 又PA ?平面PAB ，∴PA ⊥CD ． ………………6分

19．解：（1）

设数列{}n a 的公差为d ，∴12a =，524a d =+，17216a d =+，

由1517,,a a a 成等比数列， ∴()()2

242216d d +=+， ………………3分 即2d d =．∵0d ≠，∴1d =． ………………5分 ∴()2111n a n n =+-?=+． ………………6分 （2）由（1）知，11

3

n n n b -+=，

………………7分 ∴0121

2341...3333n n n S -+=

++++， ………………8分 12312341

(33333)

n n n S +=++++， ………………9分 两式相减得：

012312211111

(3333333)

n n n n S -+=++++-， ………………11分 ∴11112133213313

n n n

n S -??- ?+??=+--， ………………12分 ∴

25253223

n n n S +=-?， ………………13分 ∴1

1525

443n n n S -+=-?． ………………14分

另解：由(1)知1

1

3n n n b -+=

，． ………………7分

设()121

11333

n n n n A n B n An B b ---++++=

=-=1223n An B A

-+-， 利用待定系数法2121

A B A =??

-=?,解得13

,24A B ==， ∴()21

1313

1242433n n n n n b --+++=-2123254343

n n n n --++=-??． ………………10分 ∴123...n n S b b b b =++++

1211222121

2132152232252325...434343434343n n n n ------?+?+?+?+++=

-+-++-??????

1

1525443n n -+=

-?． ………………14分

20. 解：（1）已知()()0,1,0,1A B -，设动点P 的坐标(),x y ，

∴直线AP 的斜率11y k x -=，直线BP 的斜率21

y k x

+=（0x ≠）， ………2分 又1214k k ?=-

，∴

1114

y y x x -+?=-， ………………3分 即()2

2104

x y x +=≠． ………………4分

（2）设直线AP 的方程为的()110y k x -=-，直线BP 的方程为的()210y k x +=-，

………………6分

由1

12y k x y -=??=-?，得132

x k y ?=-??

?=-?， ∴13,2M k ??-- ???； ………………7分 由212y k x y +=??=-?，得212

x k y ?=-?

?

?=-?

，∴21,2N k ??-- ???， ………………8分 由121

4k k ?=-

，∴11213134MN k k k k =-=+≥=，………9分 当且仅当113

4k k =

，即1k =时，等号成立， ∴线段MN

长的最小值 ………………10分 （3）设点(),Q x y 是以MN 为直径的圆上的任意一点，则0QM QN =，即

()()1231220x x y y k k ????

+++++= ???????

， ………………11分

又1214

k k ?=-

， 故以MN 为直径的圆的方程为：()2

2

11342120x k x y k ??+-++-=

???

， ………………12分 令0x =，得()2

212y +=

，解得2y =-± ………………13分 ∴以MN

为直径的圆经过定点(

0,2-+

或(0,2--． ………………14分

21.解:（1）当1=k 时，1

(0)

()e (0)x x x F x x x x ?+>?=??+?

≤， ………………1分

当0>x 时，1

()2=

+F x x x

≥，当且仅当1=x 时，()F x 取最小值2． …………2分 当0x ≤时，()e x F x x =+，()e 10x F x '=+>， ()F x 在()0,∞-上单调递增，所以

()(0)1=F x F ≤． ………………3分

所以当1=k 时，()F x 的值域为(,1][2,)-∞+∞． ………………4分

（2）由1

(0)

()e (0)

x kx x F x x kx x ?+>?=??+?≤，得21(0)()e (0)x k x F x x k x ?->?'=??+?≤， ………………5分 ①当0=k 时，21

(0)

()e (0)x x F x x x ?->?'=???

≤，

当0>x 时，()0F x '<，()F x 在区间(0,)+∞上单调递减， ………………6分 当0x ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(,0]-∞上单调递增． ………………7分

②当0>k 时，21(0)

()e (0)x k x F x x k x ?

->?'=??+?

≤， 当0x ≤时，()e 0x F x k '=+>，()F x 在区间(,0]-∞上单调递增．………………8分 当0>x 时，令21()0F x k x '=-

=

，解得x =

，舍去负值，得x =，

当0x <<

时，()0F x '<，()F x

在区间上单调递减， ………………9分

当x >

时，'()0>F x ，()F x

在区间)+∞上单调递增． ………………10分

③当0k <时，2

1(0)()e (0)x k x F x x k x ?->?'=??+?

≤，

当0>x 时，2

1

()0F x k x '=-

<，()F x 在区间(0,)+∞上单调递减．……………11分 当0x ≤时，令()e 0x F x k '=+=，得ln()=-x k ， 下面讨论ln()=-x k 是否落在区间(,0)-∞上，

令ln()0k -≥，解得1-k ≤，令ln()0k -<，解得10-<

当1-k ≤时，当0x ≤时，()0F x '<，()F x 在(),0-∞上单调递减．……………12分 当10-<

当ln()0-<，()F x 在(ln(),0]-k 上单调递增，

当ln()<-x k 时，()0F x '<，()F x 在(,ln())-∞-k 上单调递减．……………13分 综上所述：

当0>k 时，()F x 在(,0]-∞

和(

)k +∞上单调递增，在)k

上单调递减； 当0=k 时，()F x 在(,0]-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减；

当10-<

当1-k ≤时，()F x 在(],0-∞和()0,+∞上单调递减． ……………14分