【数学】2019年吉林省特岗教师初中数学学科专业知识试卷全解析版

2016-2019年全国特岗教师招聘初中数学真题卷

温馨提示：本套试卷收录2016-2019特岗教师招聘考试中最具有代表性的初中数学真题，包含了四川省、辽宁省、河北省、河南省、海南省、江西省、黑龙江省、安徽省、云南省、甘肃省等主要招考省份，内容详实，覆盖面广，有利于考生把握当前命题趋势，了解考试题型，洞悉考点变化，达到及时有效复习的目的。2020年度，全国特岗教师招聘计划分配名额表如下：

以下为试题，参考解析附后

一、单选题

1．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A．m＞3

4

B．m≥

3

4

C．m＞

3

4

且m≠2D．m≥

3

4

且m≠2

2．9的平方根是（）

A．3 B．±3C．3D．±3

3．“中国天眼”FAST射电望远镜的反射面总面积约250 000m2，数据250 000用科学记数法表示为（）．

A．25×104B．2.5×105C．2.5×106D．0.25×106

4．如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等于（）

A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3

5．如图是一个底面为正方形的几何体的实物图，则其俯视图为（）

A．B．C．D．

6．现有7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）

A．a＝2b B．a＝3b C．a＝3.5b D．a＝4b

7．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，直线l从点D出发，沿射线DA方向以每秒1个单位的速度平移运动，至直线经过B点时停止运动．若直线l∥AC，与DA（或AB）交于点M，与DC（或CB）交于点N．设直线l运动时间为t （秒），△DMN的面积为y，则y关于t的函数图象是（）

A．B．

C．D．

8．如图所示的几何体的俯视图是（）

A．B．C．D．

9．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（）

A．3倍B．6倍C．9倍D．12倍

10．如图，下列四个条件中，能判定DE∥AC的是( )

A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠EDC＝∠EFC D．∠ACD＝∠AFE 11．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（）

A．10°B．15°C．20°D．25°

12．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则cos∠CBE的值是（）

A．24

7

B．

7

3

C．

7

24

D．

24

25

13．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，

且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以

下结论：

①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；

②无论点M运动到何处，都有DM＝2HM；

③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为( )

A．①③B．①②C．②③D．①②③

14．若方程

32

3

x x k

=

++

的根为正数,则k的取值范围是 ( )

A．k<2 B．-3

C．k≠-3 D．k<2且k≠-3

15．学校开展捐书活动，以下是5名同学捐书的册数：4，9，5，x，3，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数和众数分别是（）

A．3和

3

B．4和

4

C．3和

4

D．5和5

二、填空题

16．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程2x3x80

k

-+=，则△ABC的周长是．

17．已知关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个相等的实数根，则m=_____．18．因式分解：__________．

19．Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝3

5

，AC＝6cm，那么BC等于_____．

20．根据（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）

（x3+x2+x+1）=x4-1，…的规律，则可以得出22017+22016+22015+…+23+22+2+1的结果可以表示为________。

三、解答题

21．（1）计算：计算：6cos45°+（1

3

）﹣1+3 1.73）0+|5﹣2|+42017×

（﹣0.25）2017；

（2）先化简，再求值：

2

2

14

221

a a

a a a

--

?

+-+

÷

2

1

1

a-

，其中a满足20

a a

-=.

22．如阁，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P从点A出发，沿折线AC﹣BC以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合

时，在边AB上取一点Q，满足∠PQA＝2∠B，过点Q作QM⊥PQ，交边BC于点M，以PQ、QM为边作矩形PQMN，设点P的运动时间为t秒

（1）用含t的代数式表示线段PQ的长；

（2）当矩形PQMN为正方形时，求t的值；

（3）设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的周长为l，求l与t之间的函数关系式；

（4）作点A关于直线PQ的对称点A′，作点C关于直线PN的对称点C′，当点A′、C′这两个点中只有一个点在矩形PQMN内部时，直接写出此时的t取值范围．

23．（1）计算：（﹣

1

2019

）﹣1+48﹣2cos30°+（7﹣7）0﹣|5﹣33|

（2）解方程

3

1 242

x

x x

=

--

24．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，且顶点C在⊙O上，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AC＝8，BC＝6，求BD和CE的长．

25．先化简，再求值：（a﹣

4

1

a

a

+

+

）÷（

235

1

a a

a

--

+

﹣1），其中a是方程2a2+a

﹣1＝0的解．参考答案：一、单选题1．C

分析：本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m-2）2x2+

（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，所以△=b2-4ac＞0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．

详解：∵关于x的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2-4ac＞0，即（2m+1）2-4×（m-2）2×1＞0，

解这个不等式得，m＞3

4

，

又∵二次项系数是（m-2）2，∴m≠2，

故M得取值范围是m＞3

4

且m≠2．

故选C．

点睛：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0?方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0?方程没有实数根．

2二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．

2．D

【解析】

【分析】

3，再利用平方根的定义即可得到结果．

【详解】

，

．

故选D．

【点睛】

. 3．B

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

详解：将250000用科学记数法表示为：2.5×105．

故选B．

点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．A

【解析】

【分析】

先根据图形翻折的性质可得到四边形EFGH是矩形，再根据全等三角形的判定定理得出Rt△AHE≌Rt△CFG，再由勾股定理及直角三角形的面积公式即可解答．【详解】

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠2+∠3=90°，

∴∠HEF=90°，

同理四边形EFGH的其它内角都是90°，

∴四边形EFGH是矩形，

∴EH=FG（矩形的对边相等），

又∵∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°，

∴∠1=∠5（等量代换），

同理∠5=∠7=∠8，

∴∠1=∠8，

∴Rt△AHE≌Rt△CFG，

∴AH=CF=FN，

又∵HD=HN，

∴AD=HF，

在Rt△HEF中，EH=3，EF=4，根据勾股定理得，

又∵HE?EF=HF?EM，

∴EM=12

5

，

又∵AE=EM=EB（折叠后A、B都落在M点上），

∴AB=2EM=24

5

，

∴AD：AB=5：24

5

=

25

24

=25：24．

故选A

【点睛】

本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠以后的图形与原图形全等．

5．D

【解析】

【分析】

找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】

解：从上面看易得到被一条直线分割成两个长方形的正方形．

故选：D．

【点睛】

本题考查三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

6．B

【解析】

【分析】

表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．

【详解】

解：法1：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，

∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，

∴AE+a ＝4b+PC ，即AE ﹣PC ＝4b ﹣a ，

∴阴影部分面积之差S ＝AE?AF﹣PC?CG＝3bAE ﹣aPC ＝3b （PC+4b ﹣a ）﹣aPC ＝（3b ﹣a ）PC+12b 2﹣3ab ，

则3b ﹣a ＝0，即a ＝3b ．

法2：既然BC 是变化的，当点P 与点C 重合开始，然后BC 向右伸展，

设向右伸展长度为x ，左上阴影增加的是3bx ，右下阴影增加的是ax ，因为S 不变，

∴增加的面积相等，

∴3bx ＝ax ，

∴a ＝3b ．

故选：B ．

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

7．C

【解析】

【分析】

要找出准确反映y 与x 之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中y 随x 变化的情况，根据矩形的性质和直角三角形的面积公式求解即可．

【详解】

解：当0＜x ≤4时，2133248

y x x x =?=； 当4＜x ≤8时，y ＝1133123(x 4)4(x 4)(8)6x 2244x ??-?--??---- ??

?＝2338

x x -+． 由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为抛物线的一部分且开口方向向

上，右边为抛物线的一部分，开口方向向下．

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，二次函数的图像与性质，以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性．

8．D

【解析】

【分析】

找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】

从上往下看，该几何体的俯视图与选项D所示视图一致．

故选D．

【点睛】

本题考查了简单组合体三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．9．C

【解析】

【分析】

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答.

【详解】

因为复印出来的图形与原图形是相似图形，其相似比为2∶6=1∶3，故其面积比为1∶9，所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍.

故选：C

【点睛】

本题考查的是相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是关键.

10．A

【解析】

【分析】

根据平行线的判定方法依次判断即可.

【详解】

选项A，∵∠3=∠4，∴DE∥AC，正确；

选项B，∵∠1=∠2，∴EF∥BC，错误；

选项C，∵∠EDC=∠EFC，不能得出平行，错误；

选项D，∵∠ACD=∠AFE，∴EF∥BC，错误；

故选A．

【点睛】

本题考查平行线的判定，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，才能推出两条被截的直线平行．

11．A

【解析】

【分析】

先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．

【详解】

由图可得,∠CDE=40° ,∠C=90°，

∴∠CED=50°，

又∵DE∥AF，

∴∠CAF=50°，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAF=60°?50°=10°，

故选：A.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.

12．D

【解析】

【分析】

根据勾股定理求出AB的长,利用cosA=4

5

,求出AE的长,进而求出CE,再用勾股

定理求出BE的长即可求解. 【详解】

解：由题可知tanA=BC3 AC4

,

根据勾股定理得AB=10,AD=5,

∴cosA=4

5

,

∴AE=25

4

,CE=

7

4

,

勾股定理得BE=25

4

,

∴cos∠CBE=24 25

,

故选D.

【点睛】

本题考查了三角函数的求值,中等难度,熟悉勾股定理和灵活运用三角函数是解题关键.

13．D

【解析】

【分析】

根据正方形的性质可证得△MEH≌△DAH，再得到△DHM是等腰直角三角形，故

DM HM，②正确；当∠DHC＝60°时，可求得∠ADM＝45°﹣15°＝30°，故Rt△ADM中，DM＝2AM，DM＝2BE，①正确；再根据点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，且AM＜AB，∠AHM＜∠BAC＝45°，即可判断.

【详解】

由题可得，AM＝BE，

∴AB＝EM＝AD，

∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，

∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，

∴EH＝AH，

∴△MEH≌△DAH(SAS)，

∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，

∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，

∴DM＝2HM，故②正确；

当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，

∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，

∴Rt△ADM中，DM＝2AM，

即DM＝2BE，故①正确；

∵点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)，且AM＜AB，

∴∠AHM＜∠BAC＝45°，

∴∠CHM＞135°，故③正确；

由上可得正确结论的序号为①②③．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知全等三角形、30°直角三角形的性质.

14．A

【解析】

【分析】

先解出分式方程的解x=6-3k，再由根为正数得出k的取值.

【详解】

解方程方程

32

3

x x k

=

++

，

得x=6-3k，则6-3k>0，解得k<2，故选A. 【点睛】

此题主要考察分式方程的解法.

15．B

【解析】

【分析】

先根据数据的平均数算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数，出现次数最多的数据即为众数．

【详解】

中位数，众数

∵（4+9+5+x+3）÷5=5

∴x=4

将4，9，5，4，3按从小到大进行排列得：3，4，4，5，9

所以中位数为4，众数为4

故答案为：B

首先由题目中给出的平均数为5，求得这列数据中的x=4，然后将这列数据按从小到大的顺序进行排列，找出中位数和众数即可。

【点睛】

本题考查平均数、中位数和众数，熟练掌握计算法则是解题关键.

二、填空题

16．6或12或10。

【解析】

【分析】

根据题意得k≥0且（2﹣4×8≥0，解得k≥32

9

.

∵整数k＜5，∴k=4.

∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x

1=2，x

2

=4.

∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，

∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2.

∴△ABC的周长为6或12或10.

考点：一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系，分类思想的应用.

【详解】

请在此输入详解！

17．94 【解析】

分析：利用判别式的意义得到△=32-4m=0，然后解关于m 的方程即可， 详解：根据题意得△=32-4m=0，

解得m=94

． 故答案为94

． 点睛：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与

△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

18

．

【解析】

解：a 2﹣3a=a （a ﹣3）．故答案为：a （a ﹣3）．

19．8cm

【解析】

【分析】

由cos AC A AB =得10cos AC AB A ==，再利用勾股定理求解可得. 【详解】

在Rt ABC 中，

cos AC A AB =， ∴()6103

cos 5

AC AB cm A ===， 则()22221068BC AB AC cm =-=-=.

故答案为：8cm .

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义和勾股定

理.

20．22018﹣1．

【解析】

试题解析：观察所给的式子：

22017+22016+22015+…+23+22+2+1，

()()

20172016201532212222221,=-+++?++++ 201821=-．

故答案为：201821-．

三、解答题

21．(1)8；(2)-2

【解析】

分析：（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、幂的乘方可以解答本题；

（2）根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后解方程20a a -=，在其解中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题．

详解：（1）6cos45°+（13

）-1+-1.73）0|+42017×（-0.25）2017

=6×2+42017×（-14）2017

+3+1+5??1

=8；

（2）2214221a a a a a --?+-+÷211

a - =2

1(2)(2)··(1)(1)2(1)a a a a a a a -+-+-+- =

2)(1)a a -+（ ∵20a a -=

∴a=0或a=1(舍去)

当a=0时，原式=-2．

点睛：本题考查分式的化简求值、实数的运算、殊角的三角函数值、负整数指

数幂、零指数幂、绝对值、幂的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

22．（1）56t 或()57t 8-；（2）18t 7=；（3）当0t 3<≤时，重叠部分是四边形PQMN ，四边形PQMN 的周长515t 22=

+．当3t 7<<时，重叠部分是PQM ，PQM 的周长()577t 20=-．（4）540t 43<<或50t 319

<<. 【解析】

【分析】

()1分两种情形分别求解即可解决问题．

()2如图1中，当四边形PQMN 是正方形时，作QK BC ⊥于K.利用全等三角形的性质，构建方程即可解决问题.如图2中，四边形PQMN 不可能是正方形． ()3分两种情形分别画出图象解决问题即可．

()4①如图5中，当点C'在线段MQ 上时，作CK PN ⊥于K.求出t 的值.②如图6中，当点A'在MN 上时，作AK PQ ⊥于K.求出t 的值，由此即可判定．

【详解】

解：()1如图1中当0t 3<≤时，作QH AC ⊥于H ．

AHQ C 90∠∠==，

AQH B ∠∠∴=，

AQP 2B ∠∠=，

AQH PQH ∠∠∴=，

QH QH =，QHA QHP 90∠∠==，

QHA ∴≌()QHP ASA ， 1AH PH t 2∴==，QA PQ =， 在Rt ABC 中，AC 3=，BC 4=，

22AB 345∴=+=， QH //BC ，

AH AQ AC AB

∴=， 1t AQ 235

∴=， 5AQ t 6

∴=， 5PQ AQ t.6∴==

如图2中，当3t 7<<时，作QK BC ⊥，

AQP 2B B QPB ∠∠∠∠==+，

QPB B ∠∠∴=，

PQ QB ∴=，

QK BC ⊥，

()1PK BK 7t 2

∴==-， BKQ C 90∠∠==，

QK //AC ∴，

BQ BK BA BC

∴=，

()17t BQ 2

54

-∴=， ()5PQ BQ 7t 8

∴==-． ()2如图1中，当四边形PQMN 是正方形时，作QK BC ⊥于K ． PQM HQK 90∠∠==，

HQP KQM ∠∠∴=，

QHP QKM 90∠∠==，PQ QM =，

HQP ∴≌()KQM AAS ，

HQ QK ∴=，

411t 3t 322

∴?=-， 18t 7

∴=， 如图2中，四边形PQMN 不可能是正方形，

综上所述，18t 7

=时，四边形PQMN 是正方形． ()3如图3中，当0t 3<≤时，重叠部分是四边形PQMT ．

由()1可知：5PQ t 6=，1CH KQ 3t 2==-，2QH t 3

=， 由QHP ∽QKM ，可得HQ PQ QK QM

=，