奥林匹克数学竞赛内容与方法选讲

奥林匹克数学竞赛内容与方法选讲一、标题分析

（1）奥林匹克——一种精神

（2）数学——一种科学哲学

（3）竞赛——一种生存方式

（4）内容——一种意义生成过程

（5）方法——一种思维的简化形式

（6）选讲——一种最普遍的交流方式

二、主题确定

（1）身、心、思、题、方、践

（2）解读

?人生就是一场竞赛，身体最终决定成败

?三分养身七分修心，和谐身心美满一生

?思维是生存的先锋，智慧是成功的法宝

?问题是实践的使者，善问是智慧的源泉

?方法是解题的利斧，策略会赐予你机遇

?思而无为方略枉然，践行思想始见英雄

三、专题研究

（1）身心健康问题

?如何监测身体健康状况？

?如何锻炼身体？

?如何保持修心养性？

?如何防病、治病？

（2）学习思维问题

?如何认识学习的分类？从实践中学，从符号中学，从反思中学?如何认识思维的分类？逻辑思维，发散思维，直觉思维

?如何学习？

?如何思考？

（4）方法策略问题

（5）实践操作问题

?如何认识心、言、行的一致性？

?如何增加计划的可行性？

?数学解题过程的表述与规范？

?如何认识社会实践、操作实践、科学实践的关系？

国际奥林匹克数学竞赛（IMO）的发展

一、国际奥林匹克数学竞赛源于数学家的交流活动，属于一种有意识的比赛，无意识的竞争

在世界上，以数为内容的竞赛有着悠久的历史：

古希腊时就有解几何难题的比赛；

我国战国时期齐威王与大将田忌的赛马，实是一种对策论思想的比赛；

16世纪在意大利有过关于口吃者塔塔利亚求解三次方程的激烈竞争；

17世纪，不少数学家喜欢提出一些问题向其他数学家挑战，法国的费尔马就是其中的佼佼者，他所提出的费尔马大定理（在整数n≥3时，方程X n+Y n=Z n没有正整数解；……）向人类的智慧挑战了300年；

18世纪，法国曾经进行过独立的数学比赛；

19世纪，法国科学院以悬赏的方法征求对数学难题的解答，常常获得一些重要的数学发现。数学王子高斯就是比赛的优胜者，……但是，所有这些事实，都只有局部的性质并且限于在成人之间进行，而专门以中学生为对象的数学竞赛却是现代的时尚。

二、现代意义下的中学生数学竞赛（以下称中学数学竞赛）源于匈牙利。

1894年，为纪念数理学会主席埃沃斯荣任教育大臣，数理学会通过一项决议：举行以埃沃斯命名的，由高中学生参加的数学竞赛，

每年十月举行，每次出三题，限4小时完成，允许使用任何参考书，试题常有高等数学的内容，而解法却完全是初等的。在埃沃斯的领导下，这一数学竞赛对匈牙利的数学发展起了很大的作用，许多卓有成就的数学家、科学家是历届埃沃斯竞赛的优胜者，如1897年弗叶尔、1898年冯卡门等。继匈牙利之后，罗马尼亚于1902年由《数学杂志》组织过竞赛。之后的30年内再没有其他国家系统举办过重大的类似活动。

直到本世纪30年代，前苏联组织了有更多中学生参加的范围广泛的数学竞赛活动。1934年和1935年由列宁格勒大学和莫斯科大学主办的中学生数学竞赛，率先采用了"数学奥林匹克"的称呼。智力竞赛与体育竞赛相类比，同样强调执著追求的参与精神，这一点逐渐成为世界范围的共识，到了今天，许多国家和地区都有被称为"奥林匹克"的数学竞赛活动。

1949年，保加利亚举办了数学竞赛；

1950年，波兰举办了数学竞赛；

1951年，原捷克斯洛伐克举办了数学竞赛；

1956年，中国举办了数学竞赛；

接下来还有东德（1961）、越南（1962）、原南斯拉夫（1962）、荷兰（1962）、芬兰（1962）、蒙古（1963）、英国（1965）、芬兰（1965）、以色列（1968）、加拿大（1969）、希腊（1969）、原西德（1971）、美国（1972）……

情况表明，20世纪50年代以来，世界出现了一股举办中学数学竞赛的热潮，它既为国际数学奥林匹克（IMO）的诞生准备了条件，又为国际数学奥林匹克的发展提供了动力。1956年，经过罗马尼亚的罗曼教授的积极活动，东欧国家正式确定了开展国际数学竞赛的计划。第1届IMO于1959年7月在罗马尼亚古都布拉索拉开帷幕。当时参加竞赛的学生共52名，分别来自东欧的罗马尼亚、保加利亚、匈牙利、波兰、前捷克斯洛伐克、前德意志民主共和国和前苏联等7个国家。每个国家有8名队员，前苏联只派了4名队员。这是数学竞赛跨越国界的创举，但从第1届到第5届，参赛国仅限于东欧几个国家，实际上只有地区性而没有多少国际性。

到20世纪60年代以来，国际数学奥林匹克竞赛才逐步扩大，发展成真正全球性的中学数学竞赛。1967年开始有英、法、意大利和瑞典等西欧国家代表队加入。到1974年以后，美国也积极投入这项活动。美国总统曾接见并鼓励取得好成绩的美国数学奥林匹克代表队。美国最著名的军事院校(如西点军校）多年来一直为数学奥林匹克美国代表队提供集训场所。1986年，我国首次正式组队参加国际数学奥林匹克竞赛。到了80年代后期，由于有亚洲、拉丁美洲和非洲众多国家代表队的加入，国际数学奥林匹克竞赛发展成规模很大的活动。日本在数学教育中强调严格的基本训练，受到近乎苛刻的升学考试制度的制约，较难开展数学奥林匹克竞赛活动。但从1990年的第31届国际数学奥林匹克竞赛开始，日本也积极参与这一世界范围的活动。到了1997年，国际数学奥林匹克竞赛已发展成有82支代表

队460名参赛选手的规模宏大的活动。由于申办者踊跃，每年一届的国际数学奥林匹克竞赛活动已安排到了2006年，足见世界范围内人们对这项活动的重视和支持。面对更广泛的参赛队和参赛选手，数学奥林匹克的竞赛风格也倾向于有更广泛的适应性。提倡能吸引更广泛参赛者兴趣的数学探索题，将会成为今后发展的趋势。

如今，虽然还不是世界上的每一个国家每一届都参加，但大多数经济、文化发达国家都置身其列了。IMO已经成为国际上最有影响的学科竞赛。同时也是公认水平最高的中学数学竞赛。

虽然，国际数学奥林匹克的参赛队不断增加，竞赛规模不断扩大，但在1980年以前，并没有一个统一的国际机构负责组织协调工作。最初，基本上由最早参加国际竞赛的几个东欧国家依次承担组织工作和所需费用。随着新加入国家的增多，负担不能在压在少数国家身上。1976年奥地利成了第一个主办IMO的西方国家。此后，英国主办了1979年第21届IMO。但1980年IMO没能举行，原因是原定东道主蒙古经费困难，而IMO又缺乏一个国际性协调组织使可能的主办国和参赛国了解这一情况，这使人们清楚认识到建立一个国际机构来协调组织每年的IMO的必要性。1980年，国际数学教育委员会决定成立IMO 分委员会（1981年4月正式成立），负责确定各届的东道主。因而自1981年起IMO的传统一直没有中断，并且逐步规范化。

二、国际奥林匹克数学竞赛章程规定：

（1）一年一度的IMO的东道国由参赛国（或地区）轮流担任，时间定于7月，所需经费由东道国负担，整个活动由东道国出任主席，

由各国领队组成的主试委员会主持，试题和解答由参赛国提供，每国3-5题（也可不提供），东道国不提供试题，而由东道国组成选题委员会，对各国提供的试题进行评议与初选，主要考虑试题是否与以往的试题重复，并把试题按代数、数论、几何、组合数学、组合几何等分类，确定试题难度（A、B、C三级），选择30题左右。如果这些题有新解法的话，还要求提供原解法以外的解答，译成英文供主试委员选用。

（2）每个参赛团组织一个参赛队，成员不超过8人，其中队员不超过6人（是中学或同等级学校学生），正、副领队各1人，考试分两天两试，每试3题，每试4.5小时，每题7分，所以每个选手的最高得分是42分。

（3）IMO的官方用语为英、法、德、俄语，而参赛国大约需要26种文字，届时由各领队把试卷译成本国语言，并经协调委员会认可。答卷先由各国的正、副领队评判，再与协调委员会协商（每个协调员负责一个试题的评分），如有分歧，由主试委员会仲裁，协商工作是在信任与友好的气氛中进行的。

（4）IMO的获奖人数约占参赛人数的一半，评奖根据分数段评出一、二、三等奖获得者，其比例平均为1:2:3。此外，主试委员会还可因在某个试题上作出了非常漂亮(指思路简捷巧妙，有独创性）或在数学上有意义的解答的学生给予特别奖。

（5）主试委员会

主试委员会由各国的领队及主办国指定的主席组成。这个主席通常是该国的数学权威。主试委员会的职责有6条：

（A）选定试题；

（B）确定评分标准；

（C）用工作语言准确表达试题，并翻译、核准译成各参加国文字的试题；

（D）比赛期间，确定如何回答学生用书面提出的关于试题的疑问；

（E）解决个别领队与协调员之间在评分上的不同意见；

（F）决定奖牌的个数与分数线。

按IMO的规定，每一届的东道主必须向上一届的所有参赛国发出邀请，而新参加的国家则应当向东道主表明参加的意愿，再由东道主发出邀请。

IMO的精神就是奥林匹克精神：“重要的不在于取胜，而在于参加。”据此，自1983年第24届以来，虽然每一个代表队(6个人为组员）都计算自己的总分，且知道按总分的顺序排在多少名，但组织委员会不向团体优胜者颁奖，因为IMO只是个人的竞赛，不是团体的竞赛。

竞赛数学的特征

234,,,,,,1716

a a a a a a a n N <≥

-16,6,6,-15,6,6, 6

6,6,-15,6,6, 6,-16

6,-15,6,6, 6,-16,6

-15,6,6, 6,-16,6,6

6,6, 6,-16,6,6,-15

四、反映实质，传递美感，重在思想

竞赛数学的现代化内容与趣味性的陈述，独创性的技巧结合起来。充分展示了数学的统一美，简单美，对称美，奇异美。因此，竞赛数学有深刻的寓意，简明的叙述，规则的编排，精巧的数据，对称的结构及令人叫绝的解法，许多数学竞赛题成为引人入胜的珍贵的艺术品。

（1）简单性，对称性与奇异性是事物在数学上表现出的真与美的统一。正是因为数学深刻地反映了数学的本质，才使其具有

无比的艺术魅力。吸引着全世界的数学爱好者。如果说数学

是思维的体验，那么，竞赛数学就是艺术的体操。它聚集了

更便于展示这种艺术美的几何、数论、代数、组合等专项知

识。

（2）趣味性，实现了数学的内在美与形式美的统一。竞赛题在形式上求新，求异，力图展现行动有趣，充满感情，贴近生活

的一面。通过引进年号，拟人拟物，运用对比，巧设循环等

形式。

（3）技巧性，是竞赛数学的最大特征，解法简洁，奇异，有独创

性，集中体现数学美，整个竞赛数学中充满着令人眼花缭乱的技巧，用构造，转化，数学化，有序化，符号化，整体化处理技巧，用映射、递推，分类，极端，对称，配对等方，是一种高层次，高智力水平的思维训练，

?；（5）a b

股票知识

一、什么是股票？

1．股票是股份证书的简称，是股份公司为筹集资金而发行给股东作为持股凭证并借以取得股息和红利的一种有价证券。每股股票都代表股东对企业拥有一个基本单位的所有权。股票是股份公司资本的构成部分，可以转让、买卖或作价抵押，是资金市场的主要长期信用工具。

2.股票的作用有三点。（1）股票是一种出资证明，当一个自然人或法人向股份有限公司参股投资时，便可获得股票作为出资的凭证；（2）股票的持有者凭借股票来证明自己的股东身份，参加股份公司的股东大会，对股份公司的经营发表意见；（3）股票持有者凭借股票参加股份发行企业的利润分配，也就是通常所说的分红，以此获得一定的经济利益。

3.股票的特征：稳定性、风险性、责权性、流通性。

4.股票的各类：原始股、普通股、优先股、后配股、增发股、转赠股。

5.股票的作用：（1）好处：对公司、对投资者、对国家

（2）坏处：对公司、对投资者、对国家

6．股票与存折、股票与债券、股票与基金。

二、股票市场

1.股票市场的种类：A 股、B股、

2．证券公司

3.证券公司营业部

三、股票的交易

1.开户。

2.买卖方式：现场买卖、电话买卖、委托买卖、网络买卖。

3.买卖股票种类：原始股、打新股、普通股、转让三板股

4.买卖规则：价格优先、时间优先、成交。

5.交易过程：集合竞价、开市、休市、闭市、清算、交割。

6.交易类型：

（1）现货交易：是指股票的买卖双方，在谈妥一笔交易后。马上办理交割手续的交易方式，即卖出者交出股票，买入者付款，当场交割，钱货两清。现货交易有以下几个显著的特点：第一，成交和交割基本上同时进行。第二，是实物交易，即卖方必须实实在在地向买方转移证券，没有对冲。第三，在交割时，购买者必须支付现款。由于在早期的证券交易中大量使用现金，所以，现货交易又被称为现金现货交易。第四，交易技术简单，易于操作，便于管理，一般说来现货交易是投资，它反映了购入者有进行较长期投资的意愿，希望能在未来的时间内，从证券上取得较稳定的利息或分红等收益，而不是为了获取证券买卖差价的利润而进行的投机。

（2）期货交易。（3）信用交易。（4）期权交易。（5）买空。（6）卖空。

四、股市名词

开盘、收市、涨跌、最高、最低、成交量、手、成交金额、停板、停牌、市盈率

五、股市有风险：市场风险、非市场风险：利率风险、物价风险、企业风险、政策风险。分散系统风险、回避市场风险、防范经营风险、

避免利率风险。

六、入市须谨慎：掌握必要的证券专业·

知识、认清投资环境，

把握投资时机、确定合适的投资方式、制定周详的资金运作计划、正确选择投资对象。 七、股票的选择与买卖操作 数独游戏：九宫格

能否在下面表格内填上适当的数，使其横向、纵向、对角线方向上的三个数字之和都等于16，并用代数思想方法探讨、推导并表示其中的填写规律和技巧。

由特殊到一般：九宫格的数字不只取决于三个数值，还与和的值有关。 代数思想：用字母代替数字。 3x=S 2x+z=S

若P 为等腰直角三角形ABC 斜边AB 上任一点，则2

2

2

2AP PB CP += 一、几何思想 做图：

什么问题：三条线段之间的等式 方法一：从点P 向两直角边做垂线 则(

)2

2

22

2

22AP PB PM PN

CP

+=+=

方法二：旋转法：

将三角形APC 旋转90度到CB P '

则2

2

2

2

2

2PP CP PB BP PB ''==+=+

方法三：由斯德瓦特定理得

222AP BC BP AC AB CP AP PB AB ?+?=?+?? 222AP BC BP AC AB CP AP PB AB ?+?=?+??

2

2

2

2AP PB AC CP AP PB +??

=+?= ???

2222AP PB CP +=

方法四：作P B AB '⊥，且P B AP '=，连结

P P '，然后证明APC CBP '?，同方法二。

托勒密定理： 二、代数思想

方法五．变量法：设,OC OA OB x OP y ====

()()()2

2

2222222AP PB x y x y x y CP +=-++=+=

方法六．余弦定理方法

222222cos 452cos 45

CP PB BC PB BC PA AC PA AC ??

=+-??=+-??

所以，2

2

2

222

222cos 45CP PA PB BC BC AB PA PB ?=++-??=+ 方法七：正弦定理 在,

sin sin 45AP CP APC θ=sin sin 45

AP CP θ

?=

在,

sin 90sin 45

BP CP

BPC θ=

-sin 90sin 45BP CP θ-?= 2

2

2222222

sin 90sin 2sin 45sin 45AP BP AP BP CP CP CP θθ??+-??

=+=+= ? ???

?? 方法八：直接计算法：设,ACP AP x θ∠== 由正弦定理得

sin sin 45

AP CP θ

= 2

22

22sin 45csc sin 2CP x x θθ??==

???

，

C

N

C

P '

A P B

C

A P B

?

BP =()1

sin 902cot 1

sin 2

APC PBC

CP BC S

BP AB S

CP AC θθθ??-===??222cot BP x θ?=?

代入到等式中显然成立。 三、解析思想

因为三角形是直角三角形，因此联想解析法，在直角坐标系中证明相关问题。

方法九: 如图建立直角坐标系。

设()()()0,1,1,0,0,0A B C 任意点(),P x y ,

则:1AB x y +=,点(),P x y 在AB 上,

()()()()2222

22220110221221PA PB x y x y x x y y +=-+-+-+-=-++-+()()()2222222122x y x y x y CP =+-+-=+=

方法十:利用定比分点

设AP PB λ=,则点(),P x y 可得出01101x y λλ

λ

λ+?=??+?+??=?+?

方法十一:向量法

设()()()0,1,1,0,0,0A B C 则()()0,1,1,0CA CB ==

因为A,P,B 三点共线,所以()1,1AB AP λ==- 所以11,AP λλ??

=-

??

?,所以点P 的坐标为 ()111

10,1,,1CP λλλ

λ????=+-=- ? ?????

代入2

2

2

2PA PB CP += 显然为等式.

C

A P B