江苏省扬州中学年高一上月考数学试卷
2017-2018学年江苏省扬州中学高一（上）10月月考数学试卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答题卡上）
1．集合{x|0＜x＜3且x∈Z}的非空子集个数为 ．
2．函数y=+的定义域是 ．
3．定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，，则= ．4．若函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，则实数p的值为 ．5．函数f（x）=﹣图象的对称中心横坐标为3，则a= ．
6．已知A={x|2a≤x≤a+3}，B=（5，+∞），若A∩B=?，则实数a的取值范围为 ．
7．已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∩B=B，则实数m的值为 ．
8．函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数且f（x）+g（x）=（x≠±1），则f（﹣3）= ．
9．已知函数，若f（x）＜f（﹣1），则实数x的取值范围
是 ．
10．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是 ．
11．已知定义在R上的函数f（x）在[﹣4，+∞）上为增函数，且y=f（x﹣4）是偶函数，则f（﹣6），f（﹣4），f（0）的大小关系为 （从小到大用“＜”连接）
12．已知函数f（x）=x2+2x+a和函数，对任意x1，总存在x2使g （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是 ．
13．设函数f（x）=（其中|m|＞1），区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M）}，则使M=N成立的实对数（a，b）有 对．
14．已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x）+1，当x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，若对任意实数x，都有f（x+a）＜f（x）成立，则实数a的取值范围是 ．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．答案写在答题卡上）
15．已知集合A={x||x﹣a|＜4}，B={x|x2﹣4x﹣5＞0}．
（1）若a=1，求A∩B；
（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围．
16．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x
（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．17．已知函数f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．
（1）当k=2时，求方程f（x）=0的解；
（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个实数解x1，x2，求实数k的取值范围．
18．学校欲在甲、乙两店采购某款投影仪，该款投影仪原价为每台2000元，甲店用如下方法促销：买一台价格为1950元，买两台价格为1900元，每多买台，每多买一台，则所买各台单价均再减50元，但最低不能低于1200元；乙店一律按原售价的80%促销．学校需要购买x台投影仪，若在甲店购买费用记为f（x）元，若在乙店购买费用记为g（x）元．
（1）分别求出f（x）和g（x）的解析式；
（2）当购买x台时，在哪家店买更省钱？
19．设函数（其中a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
20．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（其中a≠0）满足下列3个条件：
①f（x）的图象过坐标原点；
②对于任意x∈R都有成立；
③方程f（x）=x有两个相等的实数根，令g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|（其中λ＞0），
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数g（x）的单调区间（直接写出结果即可）；
（3）研究函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．
2017-2018学年江苏省扬州中学高一（上）10月月考数
学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答题卡上）
1．集合{x|0＜x＜3且x∈Z}的非空子集个数为 3 ．
【考点】16：子集与真子集．
【分析】根据题意，用列举法表示集合A，可得集合A中元素的个数，进而由集合的元素数目与非空子集数目的关系，计算可得答案．
【解答】解：集合A={x|0＜x＜3，x∈Z}={1，2}，有2个元素，
则其非空子集有22﹣1=3个；
故答案为：3．
2．函数y=+的定义域是 {x|x≥﹣3且x≠2} ．
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】由题意可得，解不等式可求函数的定义域
【解答】解：由题意可得
∴x≥﹣3且x≠2
故答案为：{x|x≥﹣3且x≠2}
3．定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，，则= ．【考点】3L：函数奇偶性的性质；3T：函数的值．
【分析】利用函数奇偶性的定义和性质，先求f（﹣），然后求f（）即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，且当x＜0时，，
∴f（﹣）=，
又f（﹣）=﹣f（），
∴f（）=﹣f（﹣）=﹣（）=．
故答案为：．
4．若函数f（x）=（p﹣2）x2+（p﹣1）x+2是偶函数，则实数p的值为 1 ．【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【分析】当p=2时，函数f（x）显然不是偶函数．当p≠2 时，函数是二次函数，对称轴为x=，由=0，求得p的值．
【解答】解：当p=2时，函数f（x）=x+2，显然不是偶函数．
当p≠2 时，函数是二次函数，对称轴为x=，要使函数为偶函数，必须满足=0，即p=1，
故答案为1．
5．函数f（x）=﹣图象的对称中心横坐标为3，则a= ﹣4 ．
【考点】3O：函数的图象．
【分析】分离变量，将解析式变为反比例函数式的形式，利用反比例函数的对称中心求a．
【解答】解：f（x）=﹣=﹣1+，变形为f（x）+1=，
∵y=的对称中心为（0，0），
∴f（x）+1=的对称中心坐标为（﹣a﹣1，﹣1），
∴﹣a﹣1=3，解得a=﹣4；
故答案为：﹣4．
6．已知A={x|2a≤x≤a+3}，B=（5，+∞），若A∩B=?，则实数a的取值范围
为 （﹣∞，2]∪（3，+∞） ．
【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．
【分析】当A=?时，2a＞a+3，解得a的取值范围．当A≠?时，有2a≤a+3，且a+3≤5，解得a的取值范围．再把这两个a的取值范围取并集，即得所求．【解答】解：∵A={x|2a≤x≤a+3}，B=（5，+∞），若A∩B=?，
当A=?时，2a＞a+3，解得a＞3．
当A≠?时，有2a≤a+3，且a+3≤5，解得a≤2．
综上可得，实数a的取值范围为a≤2 或a＞3，
故答案为（﹣∞，2]∪（3，+∞）．
7．已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∩B=B，则实数m的值为 1，0，﹣1 ．
【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．
【分析】由集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}={}，且A∩B=B，知B={1}，或B={﹣1}，或B=?，故，或，或不存在，由此能求出实数m的值．【解答】解：∵集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}={}，且A∩B=B，
∴B={1}，或B={﹣1}，或B=?，
∴，或，或不存在，
解得m=1，或m=﹣1，或m=0．
故答案为：1，0，﹣1．
8．函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数且f（x）+g（x）=（x≠±1），则f（﹣3）= ﹣ ．
【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【分析】先由f（x）+g（x）=①得f（﹣x）+g（﹣x）=，再利用（x）是
奇函数，g（x）是偶函数得到﹣f（x）+g（x）=②；①②相结合求出函数f （x）的解析式，把﹣3代入即可求出结果．
【解答】解：因为f（x）+g（x）=①，所以f（﹣x）+g（﹣x）=，
又因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
故可转化为﹣f（x）+g（x）=②
①﹣②整理得：f（x）=（）．
所以f（﹣3）=（）=﹣．
故答案为﹣．
9．已知函数，若f（x）＜f（﹣1），则实数x的取值范围是 x＞﹣1 ．
【考点】75：一元二次不等式的应用；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】由已知，先计算出f（﹣1）=11，根据分段函数的意义，逐段求解，最后合并即可．
【解答】解：f（﹣1）=11，
当x≤0时，由x2﹣4x+6＜11，得出x2﹣4x﹣5＜0，解得﹣1＜x＜5，所以﹣1＜x≤0①
当x＞0时，由﹣x+6＜11，得出x＞﹣5，所以x＞0②
①②两部分合并得出数x的取值范围是x＞﹣1
故答案为：x＞﹣1．
10．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是 （﹣1，3） ．
【考点】3L：函数奇偶性的性质；3F：函数单调性的性质．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，
∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），
即f（|x﹣1|）＞f（2），
∴|x﹣1|＜2，
解得﹣1＜x＜3，
故答案为：（﹣1，3）
11．已知定义在R上的函数f（x）在[﹣4，+∞）上为增函数，且y=f（x﹣4）是偶函数，则f（﹣6），f（﹣4），f（0）的大小关系为 f（﹣4）＜f（﹣6）＜f（0） （从小到大用“＜”连接）
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据y=f（x﹣4）为偶函数，可得函数y=f（x）的图象关于直线x=﹣4对称，故f（0），f（﹣4），f（﹣6）大小关系可转化为判断f（﹣8），f（﹣4），f （﹣6）大小关系，由函数y=f（x）在[﹣4，+∞）上为增函数，可得函数y=f （x）在（﹣∞，﹣4]上是减函数，进而得到答案．
【解答】解：∵y=f（x﹣4）为偶函数，即有f（﹣x﹣4）=f（x﹣4），
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=﹣4对称，
∴f（0）=f（﹣8），
又由函数y=f（x）在[﹣4，+∞）上为增函数，
故函数y=f（x）在（﹣∞，﹣4]上是减函数，
故f（﹣8）＞f（﹣6）＞f（﹣4），
即f（0）＞f（﹣6）＞f（﹣4），
故答案为：f（﹣4）＜f（﹣6）＜f（0）．
12．已知函数f（x）=x2+2x+a和函数，对任意x1，总存在x2使g （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ．
【考点】3W：二次函数的性质；3R：函数恒成立问题．
【分析】对于任意的x1，总存在x2使g（x1）=f（x2）成立成立，只需函数y=g （x）的值域为函数y=f（x）的值域的子集即可．
【解答】解：若对任意的x1，总存在x2使g（x1）=f（x2）成立，
只需函数y=g（x）的值域为函数y=f（x）的值域的子集．
∵在[﹣1，+∞）上单调递增
∴g（x）≥﹣2
∵f（x）=x2+2x+a=（x+1）2+a﹣1
∴f（x）≥a﹣1
∴a﹣1≤﹣2
∴a≤﹣1
故答案为：（﹣∞，﹣1]
13．设函数f（x）=（其中|m|＞1），区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M）}，则使M=N成立的实对数（a，b）有 1或3 对．【考点】19：集合的相等．
【分析】先判断函数f（x）是奇函数，进而从认知集合切入．这里的集合N为函数f（x），（x∈M）的值域．注意到f（x）的表达式中含有|x|，为求f（x）的值域，先将f（x）化为分段函数的形式，以便于化整为零，逐段分析．最后综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：由函数f（x）=（x∈R），
可得f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数f（x）是奇函数．
当x=0时，f（0）=0，
当x≠0时，f（x）=，
当m＜﹣1时，
若x＞0，f（x）=为减函数，若x＜0，f（x）=为减函数，
故函数f（x）在区间[a，b]上为减函数，
若M=N，则f（a）=b，且f（b）=a，
由点（a，b）与点（b，a）关于y=x对称，则a＜0＜b，
∴f（﹣a）=﹣f（a）=﹣b，
若b＜﹣a，则f（b）＞f（﹣a），a＞﹣b，﹣a＜b矛盾，
若b＞﹣a，则f（b）＜f（﹣a），a＜﹣b，﹣a＞b矛盾，
故b=﹣a，
x＞0时，f（x）=﹣x，即=﹣x，解得x=﹣1﹣m＞0，
x＜0时，f（x）=﹣x，即=﹣x，解得x=1+m＜0，
故M=[1+m，﹣1﹣m]，
当m＞1时，
若x＞0，f（x）=为增函数，若x＜0，f（x）=为增函数，
故函数f（x）在区间[a，b]上为增函数，
若M=N，则f（a）=a，且f（b）=b，
x＞0时，f（x）=x，即=x，解得x=﹣1+m，
x＜0时，f（x）=x，即=x，解得x=1﹣m，
x=0时，f（0）=0，
故M=[1﹣m，0]，或M=[1﹣m，m﹣1]，或M=[0，m﹣1]．
综上所述，当m＜﹣1时，使M=N成立的实对数（a，b）有1对，
当m＞1时，使M=N成立的实对数（a，b）有3对．
故答案为：1或3．
14．已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x）+1，当x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，若对任意实数x，都有f（x+a）＜f（x）成立，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣） ．
【考点】3P：抽象函数及其应用．
【分析】先把绝对值函数化为分段函数，再根据图象的平移得到函数f（x）的图象，观察函数的图象，即可求出a的范围．
【解答】解：∵x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，
∴当x∈[0，]时，f（x）=﹣3x，
x∈（，1]时，f（x）=3x﹣2，
由f（x+1）=f（x）+1，可得到f（x）大致图形为，如图所示
由图可以看出，当x=时，即D点．
若a≥0，则f（+a）≥f（），不满足题意．所以a＜0．
由图中知，比D小的为C左边的区域，且不能为A点．
C点为f（﹣），此时a=﹣．
所以a的范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）
故答案为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）
二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．答案写在答题卡上）
15．已知集合A={x||x﹣a|＜4}，B={x|x2﹣4x﹣5＞0}．
（1）若a=1，求A∩B；
（2）若A∪B=R，求实数a的取值范围．
【考点】18：集合的包含关系判断及应用．
【分析】（1）a=1时，集合A={x|﹣3＜x＜5}，B={x|＜﹣1或x＞5}，由此能求出A∩B．
（2）由集合A={x|a﹣4＜x＜a+4}，B={x|＜﹣1或x＞5}，A∪B=R，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵a=1时，集合A={x||x﹣1|＜4}={x|﹣3＜x＜5}，
B={x|x2﹣4x﹣5＞0}={x|＜﹣1或x＞5}．
∴A∩B={x|﹣3＜x＜﹣1}．
（2）∵集合A={x||x﹣a|＜4}={x|a﹣4＜x＜a+4}，
B={x|x2﹣4x﹣5＞0}={x|＜﹣1或x＞5}．
A∪B=R，
∴，解得1＜a＜3．
∴实数a的取值范围是（1，3）．
16．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x
（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x．
又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0．
于是x＜0时f（x）=x2+2x．
所以f（x）=．
（Ⅱ）作出函数f（x）=的图象如图：
则由图象可知函数的单调递增区间为[﹣1，1]
要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上单调递增，（画出图象得2分）
结合f（x）的图象知，
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．
17．已知函数f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．
（1）当k=2时，求方程f（x）=0的解；
（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个实数解x1，x2，求实数k的取值范围．
【考点】54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）当k=2时，f（x）=|x2﹣1|+x2+2x=0，下面分两种情况讨论：①当x2﹣1＞0，②当x2﹣1≤0，分别解出方程f（x）=0的解即可；
（2）不妨设0＜x1＜x2＜2，可得x1∈（0，1]，x2∈（1，2）．由f（x1）=0，得k=﹣，k≤﹣1；由f（x2）=0，得k=﹣﹣2×2，﹣＜k＜﹣1即可．
【解答】解：（1）当k=2时，f（x）=|x2﹣1|+x2+2x=0，∴
解得x=，或x=﹣
（2）不妨设0＜x1＜x2＜2，
因为
所以f（x）在（0，1]上是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，…
若x1，x2∈（1，2），则x1x2=﹣＜0，故不符合题意，
因此x1∈（0，1]，x2∈（1，2）．…
由f（x1）=0，得k=﹣，所以k≤﹣1；
由f（x2）=0，得k=﹣﹣2×2，所以﹣＜k＜﹣1
故当﹣＜k＜﹣1时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解．
18．学校欲在甲、乙两店采购某款投影仪，该款投影仪原价为每台2000元，甲店用如下方法促销：买一台价格为1950元，买两台价格为1900元，每多买台，每多买一台，则所买各台单价均再减50元，但最低不能低于1200元；乙店一律按原售价的80%促销．学校需要购买x台投影仪，若在甲店购买费用记为f（x）元，若在乙店购买费用记为g（x）元．
（1）分别求出f（x）和g（x）的解析式；
（2）当购买x台时，在哪家店买更省钱？
【考点】5D：函数模型的选择与应用；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由2000﹣50x=1200，可得x=16，再分类讨论，即可求出f（x）和g（x）的解析式；
（2）1≤x≤16时，由f（x）=g（x），可得x=8，再分类讨论，即可得出结论．【解答】解：（1）由2000﹣50x=1200，可得x=16，
1≤x≤16时，f（x）=x；
x＞16时，f（x）=1200x，
∴f（x）=，g（x）=2000×80%x=1600x；
（2）1≤x≤16时，由f（x）=g（x），可得x=8
∴1≤x≤8时，f（x）﹣g（x）=x＞0，f（x）＞g（x）；
x=8时，f（x）=g（x）；
8≤x≤16时，f（x）﹣g（x）=x＜0，f（x）＜g（x）；
x≥16时，f（x）﹣g（x）=﹣400x＜0，f（x）＜g（x）；
综上所述，当购买大于8台时，在甲店买省钱；当购买小于8台时，在乙店买
省钱；当购买等于8台时，在甲、乙店买一样．
19．设函数（其中a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
【考点】3E：函数单调性的判断与证明；3K：函数奇偶性的判断．
【分析】（1）分a=0，a≠0两种情况讨论，利用奇偶性的定义可判断；
（2）函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，等价于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分离出参数化为函数的最值即可．
【解答】解：（1）当a=0时f（x）为奇函数；当a≠0时f（x）为非奇非偶函数．
证明如下：
∵f（x）=ax2+，
∴f（﹣x）=ax2﹣，
当a=0时，f（﹣x）=﹣f（x）=﹣，f（x）为奇函数；
当a≠0时，f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），
此时f（x）为非奇非偶函数．
（2）f′（x）=2ax﹣，
∵f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即2a≥在[1，+∞）上恒成立，
而在[1，+∞）上单调递减，∴≤1，
∴2a≥1，解得a≥．
20．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（其中a≠0）满足下列3个条件：
①f（x）的图象过坐标原点；
②对于任意x∈R都有成立；
③方程f（x）=x有两个相等的实数根，令g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|（其中λ＞0），
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数g（x）的单调区间（直接写出结果即可）；
（3）研究函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．
【考点】57：函数与方程的综合运用；&2：带绝对值的函数；3E：函数单调性的判断与证明；3W：二次函数的性质；54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）利用f（0）=0求出c．通过函数的对称轴，得到a=b，通过方程f （x）=x有两个相等的实数根，即可求函数f（x）的表达式；
（2）化简函数g（x）的表达式为分段函数，通过时，结合函数g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的对称轴为求出单调求解，当时类似求解函数单调区间．
（3）结合（2）的函数的单调性，即可研究函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．
【解答】解：（1）由题意得f（0）=0，即c=0．…
∵对于任意x∈R都有，
∴对称轴为，即，即a=b．
∴f（x）=ax2+ax，
∵方程f（x）=x仅有一根，即方程ax2+（a﹣1）x=0仅有一根，
∴△=0，即（a﹣1）2=0，即a=1．
∴f（x）=x2+x．…
（2）g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|=
①当时，函数g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的对称轴为，
若，即0＜λ≤2，函数g（x）在上单调递增；
若，即λ＞2，函数g（x）在上单调递增，在
上递减．
②当时，函数g（x）=x2+（1+λ）x﹣1的对称轴为，
则函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，
当0＜λ≤2时，函数g（x）增区间为，减区间为
；
当λ＞2时，函数g（x）增区间为、，减区间为
、
．…
（3）①当0＜λ≤2时，由（2）知函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，
又g（0）=﹣1＜0，g（1）=2﹣|λ﹣1|＞0，
故函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点．…
②当λ＞2时，则，而g（0）=﹣1＜0，，g（1）=2﹣|λ﹣1|，
（ⅰ）若2＜λ≤3，由于，
且=，
此时，函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点；
（ⅱ）若λ＞3，由于且g（1）=2﹣|λ﹣1|＜0，此时g（x）在区间（0，1）
上有两个不同的零点．
综上所述，
当0＜λ≤3时，函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点；
当λ＞3时，函数g（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．…