高等数学同济课后答案
总习题一
1、 在“充分”、“必要”与“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:
(1)数列{x n }有界就是数列{x n }收敛的________条件、 数列{x n }收敛就是数列{x n }有界的________的条件、
(2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界就是
)(lim 0
x f x x →存在的________条件、 )(lim 0
x f x x →存在就是f (x )
在x 0的某一去心邻域内有界的________条件、 (3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界就是
∞=→)(lim 0
x f x x 的________条件、 ∞=→)(lim 0
x f x x 就是f (x )
在x 0的某一去心邻域内无界的________条件、
(4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等就是)(lim 0
x f x x →存在的________条件、
解 (1) 必要, 充分、 (2) 必要, 充分、 (3) 必要, 充分、 (4) 充分必要、
2、 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ).
(A )f (x )与x 就是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )就是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )就是比x 低阶的无穷小. 解 因为x x x
x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim )
(lim 0000-+-=-+=→→→→
3ln 2ln )
1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) .
所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B .
3. 设f (x )的定义域就是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x )、
解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]、
(3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]、 (4) 由0≤ cos x ≤1得2
222π
πππ+≤≤-
n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?),
即函数f (cos x )的定义域为[2
,2
2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?)、
4、 设
??
?>≤=0 0
0)(x x x x f , ?
??>-≤=0 0 0)(2x x x x g , 求f [f (x )], g [g (x )], f [g (x )], g [f (x )]、 解 因为f (x )≥0, 所以f [f (x )]=f (x )?
??>≤=0 0
0x x x ;
因为g (x )≤0, 所以g [g (x )]=0; 因为g (x )≤0, 所以f [g (x )]=0; 因为f (x )≥0, 所以g [f (x )]=-f 2(x )?
?
?>-≤=0 0
02
x x x 、 5、 利用y =sin x 的图形作出下列函数的图形: (1)y =|sin x |; (2)y =sin|x |; (3)
2
sin 2x y =、
6、 把半径为R 的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一无底圆锥、 试将这圆锥的体积表为α的函数、
解 设围成的圆锥的底半径为r , 高为h , 依题意有 R (2π-α)=2πr ,
π
απ2)
2(-=
R r ,
παπαπαπ244)2(2
2
222
2
2
-=--=-=R
R R r R h 、
圆锥的体积为
παπαπαππ244)2(3122
22-?-?=R
R V
22234)2(24a R -?-=πααππ
(0<α<2π)、 7、 根据函数极限的定义证明53
6lim
23=---→x x x x 、
证明 对于任意给定的ε>0, 要使ε<----|53
6|
2x x x , 只需|x -3|<ε, 取δ=ε, 当
0<|x -3|<δ时, 就有
|x -3|<ε, 即ε<----|53
6|
2x x x , 所以536lim 23=---→x x x x 、 8、 求下列极限:
(1)2
21)1(1lim
-+-→x x x x ;
(2))1(lim 2x x x x -++∞
→;
(3)
1)1
232(lim +∞→++x x x x ; (4)3
0sin tan lim
x x x x -→;
(5)x x x x x c b a 10)3
(lim ++→(a >0, b >0, c >0); (6)x x x tan 2
)(sin lim π
→、
解 (1)因为01
)1(lim 221=+--→x x x x , 所以∞=-+
-→221)1(1lim x x x x 、
(2))
1()
1)(1(lim )1(lim 2222
x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→
2
11111lim 1lim
2
2=++=++=+∞→+∞
→x x x x x x 、
(3)21
2121
1)1
221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x
21212)1
221()1221(lim ++++=+∞→x x x x
e x x x x x =++?++=∞→+∞→21212)1
221(lim )1221(lim 、
(4)x
x x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→
21)2(2lim cos 2sin 2sin lim 32
0320=?=?=→→x
x x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换)、 (5)x c b a c b a x
x x x x
x x
x x x x x x x x c b a c b a 3333010
)3
31(lim )3
(
lim -++?-++→→-+++=++, 因为
e c b a x x x c b a x x x x =-+++-++→33
0)3
31(lim ,
)111(lim 3133lim 00x
c x b x a x c b a x
x x x x x x x -+-+-=-++→→ ])1ln(1lim ln )1ln(1lim ln )1ln(1lim [ln 3
1000v c u b t a v u t +++++=→→→
3ln )ln ln (ln 3
1abc c b a =++=,
所以
3ln 103)3
(lim abc e c b a abc x x x x x ==++→、
提示: 求极限过程中作了变换a x -1=t , b x -1=u , c x -1=v 、 (6)
x
x x x x
x x x tan )1(sin 1
sin 12
tan 2
)]1(sin 1[lim )
(sin lim -?-→→-+=
π
π
, 因为 e x x x =-+-→1
sin 1
2
)]1(sin 1[lim π
,
x x x x x x x cos )
1(sin sin lim
tan )1(sin lim 2
2
-=-→
→ππ
01
sin cos sin lim )1(sin cos )
1(sin sin lim 2
22
=+-=+-=→→x x x x x x x x x ππ, 所以
1)(sin lim 0tan 2
==→e x x x π、
9、 设
?????≤+>=0
1sin )(2x x a x x
x x f , 要使f (x )在(-∞, +∞)内连续, 应怎样选择数a ? 解 要使函数连续, 必须使函数在x =0处连续、 因为 f (0)=a ,
a x a x f x x =+=--→→)(lim )(lim 200, 01sin lim )(lim 00==++→→x
x x f x x ,
所以当a =0时, f (x )在x =0处连续、 因此选取a =0时, f (x )在(-∞, +∞)内连续、 10、 设
?????≤<-+>=-0
1 )1ln(0
)(1
1
x x x e x f x , 求f (x )的间断点, 并说明间断点所属类形、 解 因为函数f (x )在x =1处无定义, 所以x =1就是函数的一个间断点、
因为
0lim )(lim 111
1
==-→→-
-x x x e x f (提示
-∞=--→1
1lim 1x x ),
∞==-→→+
+1
11
1
lim )(lim x x x e x f (提示+∞=-+→1
1lim 1x x ),
所以x =1就是函数的第二类间断点、
又因为
0)1ln(lim )(lim 0
0=+=--
→→x x f x x , e
e x
f x x x 1lim )(lim 110
==-→→+
+,
所以x =0也就是函数的间断点, 且为第一类间断点、
11、 证明
()
11 2111lim
222=++???++++∞
→n n n n n 、
证明 因为()
1
1 211122222+≤++???++++≤+n n n n n n n n n , 且 11
11lim lim
2=+=+∞
→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→n
n n n n , 所以()
11 2111lim 222=++???++++∞→n
n n n n 、 12、 证明方程sin x +x +1=0在开区间)2
,2(ππ-内至少有一个根、
证明 设f (x )=sin x +x +1, 则函数f (x )在]2
,2 [ππ-
上连续、
因为2121)2 (πππ-=+--=-f , 22121)2 (πππ+=++=f , 0)2
()2 (
,2 (ππ-
内至少存在一点ξ, 使f (ξ)=0、
这说明方程sin x +x +1=0在开区间)2
,2 (ππ-
内至少有一个根、
13、 如果存在直线L : y =kx +b , 使得当x →∞(或x →+∞, x →-∞)时, 曲线y =f (x )上的动点M (x , y )到直线L 的距离d (M , L )→0, 则称L 为曲线y =f (x )的渐近线、 当直线L 的斜率k ≠0时, 称L 为斜渐近线、 (1)证明: 直线L : y =kx +b 为曲线y =f (x )的渐近线的充分必要条件就是
x
x f k x x x )
(lim
)
,( -∞→+∞→∞
→=
, ])([lim
)
,( kx x f b x x x -=-∞→+∞→∞→、
(2)求曲线x e x y 1
)12(-=的斜渐近线、
证明 (1) 仅就x →∞的情况进行证明.
按渐近线的定义, y =kx +b 就是曲线y =f (x )的渐近线的充要条件就是
0)]()([lim =+-∞
→b kx x f x .
必要性: 设y =kx +b 就是曲线y =f (x )的渐近线, 则
0)]()([lim =+-∞
→b kx x f x ,
于就是有 0])([
lim =--∞
→x
b k x x f x x ?0)(lim =-∞→k x x f x ?x x f k x )
(lim
∞→=, 同时有
0])([lim =--∞
→b kx x f x ?])([lim kx x f b x -=∞
→.
充分性: 如果x
x f k x )
(lim ∞
→=, ])([lim kx x f b x -=∞→, 则
0])([lim ])([lim )]()([lim =-=--=--=+-∞
→∞
→∞
→b b b kx x f b kx x f b kx x f x x x ,
因此y =kx +b 就是曲线y =f (x )的渐近线.
(2)因为212lim lim 1
=?-==∞→∞→x x x e x x x y k , 11)
1ln(lim
21)1(lim
2]2)12[(lim ]2[lim 01
1
=-+=--=--=-=→∞
→∞
→∞→t t e x x e x x y b t x
x x
x x ,
所以曲线x e x y 1
)12(-=的斜渐近线为y =2x +1.
总 习 题 二
1、 在“充分”、“必要”与“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:
(1)f (x )在点x 0可导就是f (x )在点x 0连续的____________条件、 f (x )在点x 0连续就是f (x )在点x 0可导的____________条件、
(2) f (x )在点x 0的左导数f -'(x 0)及右导数f +'(x 0)都存在且相等就是f (x )在点x 0可导的_______条件、 (3) f (x )在点x 0可导就是f (x )在点x 0可微的____________条件、 解 (1)充分, 必要、 (2) 充分必要、 (3) 充分必要、
2、 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:
设f (x )在x =a 的某个邻域内有定义, 则f (x )在x =a 处可导的一个充分条件就是( )、
(A )
)]()1([lim a f h
a f h h -++∞→存在; (B )h h a f h a f h )
()2(lim
0+-+→存在; (C )h h a f h a f h 2)()(lim 0--+→存在; (D )h
h a f a f h )
()(lim 0--→存在、
解 正确结论就是D 、 提示:
x
a f x a f h a f h a f h h a f a f x h h ?-?+=---=--→?→→)
()(lim
)()(lim )()(lim
000
(?x =-h )、
3、 设有一根细棒, 取棒的一端作为原点, 棒上任一点的做标x 为, 于就是分布在区间[0, x ]上细棒的质量m 就是x 的函数m =m (x ),应怎样确定细棒在点x 0处的线密度(对于均匀细棒来说, 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度)？ 解 ?m =m (x 0+?x )-m (x 0)、 在区间[x 0, x 0+?x ]上的平均线密度为
x
x m x x m x
m ?-?+=
??=)
()(00ρ、
于就是, 在点x 0处的线密度为
)()
()(lim lim 0000
x m x
x m x x m x
m x x '=?-?+=??=→?→?ρ、
4、 根据导数的定义, 求x
x f 1
)(=
的导数、 解
2
0001)(1lim
)(lim 1
1lim x x x x x x x x x x x x x y x x x -=?+-=?+??-=?-?+='→?→?→?、
5、 求下列函数f (x )的f -'(0)及f +'(0),又f '(0)就是否存在? (1)
???≥+<=0
)1ln(0 sin )(x x x x x f ;
(2)
??
???=≠+=0 00 1)(1
x x e x x f x
、 解 (1)因为10sin lim 0)
0()(lim )0(00
=-=--='--
→→-
x
x x f x f f x x ,
1ln )1ln(lim 0
)1ln(lim 0)0()(lim )0(1
000==+=-+=--='+++→→→+e x x
x x f x f f x x x x ,
而且f -'(0) = f +'(0), 所以f '(0)存在, 且f '(0)=1、
(2)因为
111lim 0
1lim 0)0()(lim )0(101
00=+=--+=--='---→→→-x
x x
x x e x e x x f x f f ,
011lim 0
01lim 0)0()(lim )0(101
00=+=--+=--='+++→→→+x
x x
x x e x e x x f x f f ,
而f -'(0)≠ f +'(0), 所以f '(0)不存在、 6、 讨论函数
?????=≠=0
00
1sin )(x x x
x x f 在x =0处的连续性与可导性、 解 因为f (0)=0,
)0(01sin lim )(lim 00f x
x x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限x
x x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim )0()(lim 000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不可导、 7、 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(sin x );
(2)x x y -+=11arctan ;
(3)x x x y tan ln cos 2
tan ln ?-=; (4))1ln(2x x e e y ++=;
(5)
x x y =(x >0) 、
解(1)
|cos |cos cos sin 11)(sin sin 1122x x x x
x x y =?-='?-=
'、
(2)
22
2
211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x
x x x x x y +=-++-?-++='-+?-++=
'、 (3))(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2
tan 1'??-?+'?=
'x x x x x x x y
x x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2
tan 122?=??-?+??、
(4)x
x
x x x
x x x x x x e e e e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++?++='++?++=
'、
(5)x x y ln 1ln =, x x x x
y y 11ln 112?+-=', )ln 1()1ln 1(2
22x x x x x x x y x
x
-=+-='、 8、 求下列函数的二阶导数: (1)y =cos 2x ?ln x ;
(2)
2
1x x y -=
、
解 (1)x x x x x x x x x y 1cos ln 2sin 1cos ln sin cos 222?+?-=?+?-=',
2
21cos 1sin cos 212sin ln 2cos 2x x x x x x x x x y ?
-?-?-?-=''
2
2cos 2sin 2ln 2cos 2x x x x x x --
?-=、
(2)232222)1(111--=---?--='x x
x x
x x y
5
225
2)1(3)2()1(23x x x x y -=
-?--=''-、
9、 求下列函数的n 阶导数: (1)m x y +=1;
(2)
x
x y +-=11、 解 (1)
m m
x x y 1
)1(1+=+=
,
11)1(1-+='m x m y , 21)1)(11(1-+-=''m x m m y , 3
1
)1)(21)(11(1-+--='''m x m m m y , ? ? ?,
n
m n x n m
m m m y
-++-???--=1
)
()1)(11( )21)(11(1、 (2)
1)1(2111-++-=+-=x x
x y , y '=2(-1)(1+x )-2, y ''=2(-1)(-2)(1+x )-3, y '''=2(-1)(-2)(-3)(1+x )-4, ? ? ?,
1)
1()
()
1(!)1(2)
1)(( )3)(2)(1(2++-+-=+-???---=n n n n x n x n y
、 10、 设函数y =y (x )由方程e y +xy =e 所确定, 求y ''(0)、 解 方程两边求导得
e y y '+y +xy '=0, —— (1) 于就是
y
e x y y +-
=';
2
)()
1()()(y y y y e x y e y e x y e x y y +'+-+'-='+-=''、 ——(2)
当x =0时, 由原方程得y (0)=1, 由(1)式得
e y 1)0(-=', 由(2)式得2
1
)0(e y =''、 11、 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数dx dy 及二阶导数22dx y
d :
(1)???==θθ
3
3sin cos a y a x ;
(2)??
?=+=t
y t x arctan 1ln 2
、
解 (1)
θθθθθθθtan )
sin (cos 3cos sin 3)cos ()sin (2233-=-=''=a a a a dx dy ,
θθθθθθθcsc sec 31sin cos 3sec )cos ()tan (422322?=--=''-=a
a a dx y d 、
(2)
t t t t t t dx dy 1111
]1[ln )(arctan 2
22=++='+'=,
322
2222
111]1[ln )1(t t t t t t t dx y d +-=+-=
'+'=、 12、 求曲线?
??==-t t
e y e x 2在t =0相的点处的切线方程及法线方程、
解
t t t
t t e
e e e e dx dy 2212)2()(-=-=''=--、
当t =0时,
2
1
-=dx dy , x =2, y =1、 所求切线的方程为)2(2
11--=-x y , 即x +2y -4=0; 所求法线的方程为y -1=2(x -2)、
13、 甲船以6km/h 的速率向东行驶, 乙船以8km/h 的速率向南行驶, 在中午十二点正, 乙船位于甲
船之北16km 处、 问下午一点正两船相离的速率为多少?
解 设从中午十二点开始, 经过t 小时, 两船之间的距离为S , 则有 S 2=(16-8t )2+(6t )2,
t t dt
dS S 72)816(162+--=,
S
t t dt dS 272)816(16+--=、
当t =1时, S =10,
8.220
721281-=+-==t dt dS (km/h), 即下午一点正两船相离的速度为-2、8km/h 、 14、 利用函数的微分代替函数的增量求3
02
.1的近似值、
解 设3)(x x f =, 则有x x f f x f ?=?'≈-?+31)1()1()1(, 或x x f ?+≈?+3
11)1(于就是
007.102.03
1102.0102.133
=?+=+=、
15、 已知单摆的振动周期g
l T π
2=, 其中g =980 cm/s 2, l 为摆长(单位为cm)、 设原摆长为20cm ,
为使周期T 增大0、05s , 摆长约需加长多少？ 解 因为L gL
dT T ??=
≈?π,
所以
23.205.020
=≈
?=L gL
L π
(cm),
即摆长约需加长2、23cm 、 总习题三 1、 填空:
设常数k >0, 函数k e
x
x x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为________、 解 应填写2、 提示: e x x f 1
1)(-
=', 2
1)(x
x f -=''、
在(0, +∞)内, 令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e 、 因为f ''(x )<0, 所以曲线k e
x
x x f +-=ln )(在(0, +∞)内就是凸的, 且驻点x =e 一定就是最大值点, 最大值为f (e )=k >0、