证明圆的切线方法
证明圆的切线方法 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
证明圆的切线方法
我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：
一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：EF与⊙O相切.
证明：连结OE，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB=BC，
∴∠3=∠4.
⌒⌒
∴BD=DE，∠1=∠2.
又∵OB=OE，OF=OF，
∴△BOF≌△EOF（SAS）.
∴∠OBF=∠OEF.
∵BF与⊙O相切，
∴OB⊥BF.
∴∠OEF=900.
∴EF与⊙O相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与⊙O相切.
证明一：作直径AE，连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD，
∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB，
∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E，
∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径，
∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.
∴∠1+∠EAC=900.
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.
∵AD是∠BAC的平分线，
⌒⌒
∴BE=CE，
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900.
∵OA=OE，
∴∠E=∠1.
∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切.
证明一：连结OD.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵OB=OD，
∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C. ∴OD ∥AC.
∵DM ⊥AC ，
∴DM ⊥OD. ∴DM 与⊙O 相切 证明二：连结OD ，AD.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴AD ⊥BC. 又∵AB=AC,
∴∠1=∠2.
∵DM ⊥AC ，
∴∠2+∠4=900
∵OA=OD ，
∴∠1=∠3.
∴∠3+∠4=900.
即OD ⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线
说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.
例4 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.
求证：DC 是⊙O 的切线
证明：连结OC 、BC.
∵OA=OC ，
∴∠A=∠1=∠300.
∴∠BOC=∠A+∠1=600.
又∵OC=OB ，
∴△OBC 是等边三角形.
∴OB=BC. ∵OB=BD ， D
C D
∴OB=BC=BD.
∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线.
说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.
例5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP.
求证：PC 是⊙O 的切线.
证明：连结OC
∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ，
∴OC 2=OD ·OP ，
OC
OP OD OC . 又∵∠1=∠1，
∴△OCP ∽△ODC.
∴∠OCP=∠ODC.
∵CD ⊥AB ，
∴∠OCP=900.
∴PC 是⊙O 的切线.
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的
例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F. 求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.
证明：取FG 中点O ，连结OC.
∵ABCD 是正方形，
∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △
∵O 是FG 的中点，
∴O 是Rt △CFG 的外心.
∵OC=OG ，
∴∠3=∠G ，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠4.
∵AD=CD，DE=DE，
∠ADE=∠CDE=450，
∴△ADE≌△CDE（SAS）
∴∠4=∠1，∠1=∠3.
∵∠2+∠3=900,
∴∠1+∠2=900.
即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”
例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.
求证：AC与⊙D相切.
证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.
∵AB是⊙D的切线，
∴DE⊥AB.
∵DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=900.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
又∵BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）
∴DF=DE.
∴F在⊙D上.
∴AC是⊙D的切线
证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.
∵AB与⊙D相切，
∴DE⊥AB.
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠1=∠2.
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DE=DF.
∴F 在⊙D 上. ∴AC 与⊙D 相切.
说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.
例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900.
求证：CD 是⊙O 的切线.
证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足.
∵AC ，BD 与⊙O 相切，
∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB. ∵AC ∥BD ，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.
∵∠COD=900，
∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.
∵∠4+∠5=900.
∴∠1=∠5.
∴Rt △AOC ∽Rt △BDO.
∴OD OC OB AC =.
∵OA=OB ， ∴
OD OC OA AC =. 又∵∠CAO=∠COD=900，
∴△AOC ∽△ODC ，
∴∠1=∠2.
又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD,
∴OE=OA.
∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线.
O
证明二：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于F.
∵AC ，BD 与⊙O 相切，
∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.
∵AC ∥BD ，
∴∠F=∠BDO.
又∵OA=OB ，
∴△AOF ≌△BOD （AAS ）
∴OF=OD.
∵∠COD=900，
∴CF=CD ，∠1=∠2.
又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ，
∴OE=OA.
∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线.
证明三：连结AO 并延长，作OE ⊥CD 于E ，取CD 中点F ，连结OF.
∵AC 与⊙O 相切，
∴AC ⊥AO.
∵AC ∥BD ，
∴AO ⊥BD.
∵BD 与⊙O 相切于B ，
∴AO 的延长线必经过点B.
∴AB 是⊙O 的直径.
∵AC ∥BD ，OA=OB ，CF=DF ，
∴OF ∥AC ，
∴∠1=∠COF.
∵∠COD=900，CF=DF ，
∴CF CD OF ==21.
∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.
∵OA⊥AC，OE⊥CD，
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线
说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.
此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.
以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.