平面向量及其应用专题(有答案)

一、多选题

1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知

cos cos 2B b

C a c

=-，

4

ABC S =

△，且b = ）

A ．1cos 2

B =

B ．cos 2

B =

C ．a c +=

D ．a c +=2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列

ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>

B ．若a b >，则cos2cos2A B <

C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径

D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >

D ．

sin sin sin +=+a b c

A B C

4．已知点()4,6A ，33,2B ??- ???

，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33??

???

B ．97,2?

? ???

C ．14,33??

-

- ???

D ．(7，9)

5．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角

B ．向量a 在b

C ．2m +n =4

D ．mn 的最大值为2

6．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）

A ．已知A 、

B 、

C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ?=?且0b ≠，则a c =

C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=

D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）

A ．2OA OD ?=-

B ．2OB OH OE +=-

C ．AH HO BC BO ?=?

D ．AH 在AB 向量上的投影为2-

8．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =

B ．a b =

C ．a 与b 的方向相反

D ．a 与b 都是单位向量

9．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐

标为（ ） A ．(0,1)-

B ．(6,15)

C ．(2,3)-

D ．(2,3)

10．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=

B ．a d b +=

C ．b d a +=

D ．a b c +=

11．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0AB

BA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=

12．下列命题中，正确的有（ ）

A ．向量A

B 与CD 是共线向量，则点A 、B 、

C 、

D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα?>且cos tan 0αα?<，则角2

α

为第二或第四象限角 C ．函数1

cos 2

y x =+

是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ?中，若tan tan 1A B ?<，则ABC ?为钝角三角形 13．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-

C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||b

D ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=- 14．已知ABC ?中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,

且满足,3

B a c π

=+=,则

a

c

=( ) A ．2

B ．3

C ．

12 D ．

13

15．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等

B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量

C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >

D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同

二、平面向量及其应用选择题

16．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=?==，则△ABC 的面积的最大值为（ ）

A ．

B ．

C ．12

D ．183

17．已知非零向量AB 与AC 满足

0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ?

??

且1

2AB AC AB AC ?=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形

D ．以上均有可能

18．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（ ）

A ．a 与b 的夹角为αβ-

B ．a b ?的最大值为

1 C ．2a b +≤

D ．()()

a b a b +⊥-

19．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若

lg lg lg sin a c B -==-，且0,2B π??

∈ ???

，则ABC 的形状是（ ）

A ．等边三角形

B ．锐角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．钝角三角形

20．若△ABC 中，2

sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

21．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心

B ．垂心

C ．外心

D ．内心

22．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形

ABCD 的形状是( )

A ．矩形

B ．梯形

C ．平行四边形

D ．以上都不对

23．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，42c =，

45B =?，则sin C 的值等于（ ）

A ．

441

B ．

45

C ．

425

D ．

441

41

24．在ABC ?中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ?的重心和外心，则

()AG AW BC +?=（ ）

A ．4

B ．6

C ．10

D ．14

25．在ABC ?中，D 为BC 中点，且1

2

AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1

B ．23

-

C ．13

-

D ．34

-

26．设ABC ?中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ）

A ．1233A

B A

C -

+ B ．

21

33

AB AC - C ．1233

AB AC -

D ．21

33

AB AC -

+ 27．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45?，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75?，则山高BC =（ ）

A ．500米

B ．1500米

C ．1200米

D ．1000米

28．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足1

2

BD DC =

，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）

A ．m n +是定值，定值为2

B ．2m n +是定值，定值为3

C ．

11

m n +是定值，定值为2 D ．

21

m n

+是定值，定值为3 29．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

30．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3

C π

∠=

，且

sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：

①2a b = ②ABC ?的面积为

83

③ABC ?的周长为443+ ④ABC ?外接圆半径43

R =

这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

31．已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝3

π

，点P 满足AP ＝λAB ，λ∈R ，若BD ·CP ＝－3，则λ的值为( ) A ．

12

B ．－

12

C ．

13

D ．－

13

32．已知1a b ==，1

2

a b ?=

，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为

（ ） A ．(

,32?-∞+?

B ．)

32,?++∞?

C ．(

,32?-∞-?

D ．)

32,?-+∞?

33．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，

BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）

A ．21

33AB AD - B ．

12

33AB AD - C ．21

33

AB AD -+ D ．12

33

AB AD -

+ 34．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点

C ，

D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）

A ．10,2?

? ???

B ．10,3?? ???

C ．1,02??

-

???

D ．1

,03??- ???

35．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=?，45BDC ∠=?，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )

A ．302m

B ．203m

C ．60m

D ．20m

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一、多选题 1．AD 【分析】

利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵， 整理可得：， 可得，

∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确

解析：AD 【分析】

利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简

cos cos 2B b

C a c

=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2

B =

，结合范围()0,B π∈，可求3B π

=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理

可得a c 32+= 【详解】

∵

cos sin cos 22sin sin B b B

C a c A C

==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，

可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1

cos 2

B =

，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3

B π

=

，

∵ABC S =△3b =，

∴

11sin 42224

ac B a c ac ==???=， 解得3ac =，

由余弦定理得()()2

2

22939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，

解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

2．ABD 【分析】

对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【

解析：ABD 【分析】

对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得

sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 1

2

s S ab C =和正弦定

理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】

对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得

()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；

对于B ，若sin sin a b A B >?>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即

cos2cos2A B <，故B 正确；

对于C ，2

11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22

S ab C R A R B C R A B C ==???=，故C 错

误；

对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B C

A B C B C

+=-+=--?，则

tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．

3．ACD 【分析】

根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】

对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角

解析：ACD 【分析】

根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】

对于A ，在ABC ，由正弦定理得

2sin sin sin a b c

R A B C

===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；

对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2

A B π

+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错

误；

对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以

A B >，故C 正确；

对于D ，由正弦定理得

2sin sin sin a b c

R A B C

===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C

R B C B C ++==++，故D 正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题考查正弦定理的应用，属于基础题.

4．ABC 【分析】

先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则

选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选

解析：ABC 【分析】

先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】

由点()4,6A ，33,2B ?

?- ???，则972，

AB ??=-- ???

选项A . 914

73023

??-?--?= ???,所以A 选项正确. 选项B. 9977022??

-?

--?= ???

,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023????

-?---?-= ? ?????

,所以C 选项正确. 选项D. 979702??

-?--?≠ ???

,所以选项D 不正确 故选：ABC 【点睛】

本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.

5．CD 【分析】

对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；

对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(

解析：CD 【分析】

对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】

对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ?=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；

对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为2

2

a b b

?=

，错误；

对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；

对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=

(2m ?n )12

≤ (

22m n +)2

=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD. 【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.

6．AC 【分析】

根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】

解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共

解析：AC 【分析】

根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】

解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；

由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以

||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；

设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ?的重心，则2GA GB GM +=，而

2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；

()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=?->解得1λ<，且a

与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；

故选：AC ． 【点睛】

本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．

7．AB 【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】

图2中的正八边形，其中， 对于；故正确． 对于，故正确．

对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于

解析：AB 【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】

图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，

对于3:11cos

4A OA OD π=??=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．

对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32

||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】

本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

8．AC 【分析】

根据共线向量的定义判断即可. 【详解】

对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；

对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，

解析：AC 【分析】

根据共线向量的定义判断即可. 【详解】

对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；

对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意；

对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意；

对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意. 故选：AC. 【点睛】

本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.

9．ABC 【分析】

设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】 第四个顶点为， 当时，，

解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得

解析：ABC 【分析】

设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】

第四个顶点为(,)D x y ，

当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，

解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，

解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，

解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】

本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.

10．ABD

【分析】

根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】

由向量加法的平行四边形法则，知成立， 故也成立；

由向量加法的三角形法则，知成立，不成立. 故选：ABD 【点睛】 本题主要考查

解析：ABD 【分析】

根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】

由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；

由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立. 故选：ABD 【点睛】

本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.

11．AB 【解析】 【分析】

根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为，正确；

，由向量加法知正确； ，不满足加法运算法则，错误； ，所以错误. 故选：A B. 【点睛】

本题主要考查了向量加法的

解析：AB 【解析】 【分析】

根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】

因为0AB BA AB AB

，正确；

AB BC

AC ，由向量加法知正确；

AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；

0,AB AB +=，所以00AB +=错误.

故选：A B . 【点睛】

本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.

12．BCD 【分析】

根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误

解析：BCD 【分析】

根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角

2

α

的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数

1

cos 2

y x =+

的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ?<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；

对于B 选项，2sin sin tan 0cos α

ααα?=>，cos tan sin 0ααα?=<，所以sin 0cos 0αα

>?

， 则角α为第四象限角，如下图所示：

则

2

α

为第二或第四象限角，B 选项正确；

对于C 选项，作出函数1

cos 2

y x =+

的图象如下图所示：

由图象可知，函数1

cos 2

y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，

tan tan 1A B <，

()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A B

π+--∴-=-===cos 0cos cos C

A B

=-

>，cos cos cos 0A B C ∴<，

对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ?的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ?为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】

本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.

13．AB 【分析】

若，则反向，从而； 若，则，从而可得；

若，则同向，在方向上的投影为

若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得； 对于选

解析：AB 【分析】

若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=； 若a b ⊥，则0a b ?=，从而可得||||a b a b +=-；

若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a

若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得

a b λ=；

对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ?=，

222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+?+-=-?+,可得||||a b a b +=-；

对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;

对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.

14．AC 【分析】

将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵， ∴①，

由余弦定理可得，②， 联立①②，可得， 即， 解得或. 故选：AC. 【点睛】

本题考查余弦定理的应

解析：AC 【分析】

将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】

∵,3

B a c π

=

+=，

∴2

2

2

2

()23a c a c ac b +=++=①， 由余弦定理可得，2

2

22cos

3

a c ac

b π

+-=②，

联立①②，可得222520a ac c -+=，

即2

2520a a c c ????-+= ? ?????

，

解得

2a

c =或12a c =. 故选：AC. 【点睛】

本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.

15．AD 【分析】

利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】

单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据

解析：AD 【分析】

利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】

单位向量的模均为1，故A 正确； 向量共线包括同向和反向，故B 不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确； 根据相等向量的概念知，D 正确. 故选：AD 【点睛】

本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．

二、平面向量及其应用选择题

16．A 【分析】

由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值 【详解】

由题意，可得如下示意图

令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33

b CM CB =

= ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠

2221216()332333

a a

b ab ab ab

b =+-?≥-=，当且仅当3a b =时等号成立

∴有48ab ≤

∴113sin 4812322ABC S ab C ?=≤?=故选：A 【点睛】

本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值 17．C 【分析】

AB

AB 和AC

AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ??

?+?= ?

??表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由1

2

AB AC AB

AC

?

=

可求出A ∠，即得三角形形状。 【详解】

由题的，∵0AB AC BC AB AC ??

?+?= ???

，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形.又12AB AC AB

AC

?

=

，∴1cos 2A =，∴3

A π

=，故ABC 为等边三角形. 故选：C 【点睛】

本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。

18．D 【分析】

由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ?，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算

()()a b a b +?-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.

【详解】

()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则2cos 1a α==，同理可得

1b =，

a 与

b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈.

对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且

()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；

对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，

()cos cos 1,1a b a b θθ?=?=∈-，B 选项错误；

对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选项错误； 对于D 选项，(

)()

2

2

220a b a b a b a b +?-=-=-=，所以，()()

a b a b +⊥-，D

选项正确. 故选：D. 【点睛】

本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 19．C 【分析】

化简条件可得sin a B c ==

，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】

lg lg lg sin a c B -==-，

sin 2

a B c ∴

==

.0,2B π??∈ ???， 4

B π

∴=

.

由正弦定理，得

sin sin 2

a A c C ==

，

3

sin 4C A C C C π???

∴==-=+? ?????

， 化简得cos 0C =.

()0,C π∈， 2

C π

∴=

， 则4

A B C π

π=--=

，

∴ABC 是等腰直角三角形. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题. 20．A 【分析】

已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】

ABC ?中，sin()sin A B C +=，

∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，

整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，

cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），

0A π<< 90A ∴=?，

则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 【点睛】

此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 21．B 【分析】

先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】

由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?， 则()()()

0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ?-=?-=?-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=， 即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，