二次函数与方程(组)-教师版

二次函数与方程（组）

1．如图，已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．点P 在抛物线上且在x 轴上方，15PBC S =△，求P 点坐标．

【答案】解：作//PD y 轴交BC 延长线于D ，如图，

当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =，则(3,0)B ， 当0x =时，2233y x x =--=-，则(0,3)C -， 设直线BC 的解析式为y kx b =+， 把(3,0)B ，(0,3)C -代入得30

3k b b +=??=-?，

解得1

3k b =??=-?

，

∴直线BC 的解析式为3y x =-；

设2(,23)P x x x --，则(,3)D x x -，

2223(3)3PD x x x x x ∴=----=-，

21

3(3)2

PBC PBD PCD S S S x x ???=-=??-，

∴21

3(3)152

x x ??-=， 解得12x =-，25x =，

P ∴点坐标为(2,5)-或(5,12)．

2．已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点P 在抛物线上，且在第四象限，若3PBC S =△，求P 点坐标．

【答案】易得()30B ，

，()03C -，，直线BC ：3y x =- 设()223P x x x --，，作PH x ⊥轴交BC 于D 则()223233PD x x x x x =----=-+

∵()

21

3332

PBC S x x =??-+=△

∴2320x x -+= ∴()14P -，

或()23-， 3．如图，抛物线257

266

y x x =-++与x 轴负半轴交于A 点，与y 轴交于B 点，点H 在抛物

线上，BH 交x 轴于M 点，若MBA BAM ∠=∠，求H 点的坐标．

【答案】令257

2066

x x -++=，可得257120x x --=，()()51210x x -+=

∴()10A -，

，()02B ， 作MH AB ⊥于H

则:MH

13

24y x =-+

所以302M ??

???， 所以:BH 4

23

y x =-+

联立242357266y x y x x ?=-+????=-++??

解得10x =，23x = 所以()32H -，

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，直线()0x m m =＞，直线()0x n n =＞（m n ＜）分别交线段BC 于N 点、H 点，交抛物线于M 点，Q 点，当NH MQ ∥时，求m n +的值．

【答案】解：在223y x x =--中，令0x =，则3y =-，即C 的坐标是(0,3)-，3OC =， 在223y x x =--中，令0y =，则2230x x --=，解得：1x =-或3， 则A 的坐标是(1,0)-，B 的坐标是(3,0)，3OB =， 则OB OC =． 作QL MN ⊥于点L ．

由题意得2(,23)M m m m --，2(,23)Q n n n --． //MQ BC ，OB OC =， 45OCB OBC ∴∠=∠=?，

45NMQ CNM OCB ∴∠=∠=∠=?， QL ML ∴=，

2223(23)n m n n m m ∴-=-----， ()()2()n m n m n m n m -=+---， 0n m -≠， 12m n ∴=+-，

则3m n +=．

5．如图，已知直线AB ：132y x =-+与抛物线21

2

y x =交于A 、B 两点，在直线AB 下方的

抛物线上求点P ，使ABP △的面积等于5．

【答案】联立2

132

12

y x y x ?=-+????=??，可得932A ??- ???，，()22B ，

设212P x x ??

???

，，过P 点作PC x ⊥轴交AB 于点D

则221111

332222PD x x x x =-+-=--+

∵5ABP S =△

∴2111535222x x ??

??--+= ??? ∴()()210x x +-=

∴()122P -，

或2112P ??

???

，