2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—广东卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东B 卷）
数学（文科）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M =（ ）
A ．{}5,3
B ．{}4,3
C ． {}3,2
D ． {}2,0 2．已知复数z 满足25)43(=-z i ，则=z （ ）
A ．i 43+
B ． i 43-
C ． i 43+-
D ． i 43--
3．已知向量)1,3(),2,1(==b a
，则=-a b （ ）
A ．)3,4(
B ． )0,2(
C ． )1,2(-
D ． )1,2(-
4．若变量y x ,满足约束条件??
?
??≤≤≤≤≤+304082y x y x 则y x z +=2的最大值等于（ ）
A ． 11
B ．10
C ． 8
D ． 7 5．下列函数为奇函数的是（ ）
A ．x x 22+
B ． 1cos 2+x
C ． x x sin 3
D ．
x x
21
2-
6．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）
A ．20
B ．25
C ．40
D ．50
7．在ABC ?中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是 “B A sin sin ≤”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件
8．若实数k 满足05k <<，则曲线
221165x y k -=-与曲线22
1165
x y k -=-的（ ） A ．焦距相等 B ． 离心率相等 C ．虚半轴长相等 D ． 实半轴长相等
9．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是
（ ）
A ．14l l ⊥
B ．14l l ∥
C ．1l 与4l 既不垂直也不平行
D ．1l 与4l 的位置关系不确定
10．对任意复数12,,w w 定义1212,ωωωω*=其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题：
①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*； ③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*； 则真命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11—13题）
11．曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为________．
12．从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取字母a 的概率为________．
13．等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则
2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________．
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θθρsin cos
22
=与
1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲
线1C 与2C 交点的直角坐标为________
15．（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AC AE EB ,2=与DE 交于点F 则
______=??的周长
的周长
AEF CDF
三．解答题：本大题共6小题，满分80分 16．（本小题满分12分)
已知函数()sin(),3
f x A x x R π
=+∈，且5(
)122
f π=
（1） 求A 的值；
（2） 若()()(0,)2
f f π
θθθ--=∈，求()6f π
θ-
17．（本小题满分13分）
某车间20名工人年龄数据如下表：.
（1） 求这20名工人年龄的众数与极差；
（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3） 求这20名工人年龄的方差．
18．（本小题满分13分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1，BC=PC=2,作如图3折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF ．
（1） 证明：CF ⊥平面MDF ； （2） 求三棱锥M-CDE 的体积．
19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足
()()
*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222
(1)求1a 的值；
(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有
()()().3
1
1111112211<+++++n n a a a a a a
20．（本小题满分14分）
已知椭圆()01:22
22>>=+b a b
y a x C 的一个焦点为
()0,5，离心率为
3
5
。 （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若动点()00,y x P 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程． 21． (本小题满分14分) 已知函数3
21()1()3
f x x x ax a R =
+++∈ （1） 求函数()f x 的单调区间；
（2） 当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()()2
f x f =
参考答案
一、选择题
1．C 解析：本题考查集合的基本运算，属于基础题. {}3,2=N M ，故选C.
[解析2]绝对送分题。答案为B 。因为集合为高中教材的第一个内容。也基本上是各省市的必考内容，放在第一小题给人信心。虽然为送分题，但仍然会有个别同学拿不到分，原因主要是粗心引起。 2．A 解析：本题考查复数的除法运算，属于基础题.()i i i i i z 43)
43(43)
43(254325+=+-+=-=
.故选A. [解析2]同样的送分题。一般解法是将左边Z 的复数除到右边。秒杀方法是两边同时乘以，口
算得到结果D 。
3．C 解析：本题考查向量的基本运算，属于基础题.)1,2()21,13(-=--=-.故选C.
[解析2]又一送分题，由向量减法法则秒杀。答案为B 。
4．B 解析：本题考查线性规划问题。在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由（0，0），（0，3），（2，3），（4，2），（4，0）组成的五边形。由于该区域有限，可以通过分别代这五个边界点进行检验，易知当x=4，y=2时，z=2x+y 取得最大值10。本题也可以通过平移直线x y 2-=，当直线z x y +-=2经过（4，2）时，截距达到最大，即z 取得最大值10.故选答案B.
[解析2]基础题，一般做法画出可行区域。求出交点（2，3），（4，2）。得最大值为C 。此题容易错选成D ，即将（4，3）代入，要注意（4，3）在区域之外。
5．D 解析：本题考察函数的奇偶性.对于A ，()()
x x x x x x 222222
+±≠+=+---，非奇非偶，对
于B ，1cos 21)cos(2+=+-x x ，为偶函数；对于C,x x x x x x sin )sin ()sin()(333=-?-=--， 为偶函数； D 中函数的定义域为R ，关于原点对称，且x
x
---
2
12
=-=-x x 22=-x x 221 )2
1
2(x x -
-=为奇函数. 故答案为D 。 [解析2]选B 。又一送分题。一种做法是用奇函数的性质。容易得出结果。另一秒杀方法是用0代入，只有B 的结果为0.
6．B 解析：本题考查系统抽样的特点。分段的间隔为
2540
1000
=，故答案为B. [解析2]由系统抽样的概念，先进行分组，每组为1000除以40即每组25名学生，故分段时隔为25.选C 。 7．A 解析：本题考查正弦定理的应用。由于
,2sin sin R B
b
A a ==所以,sin 2,sin 2
B R b A R a == 所以B A B R A R b a sin sin sin 2sin 2≤?≤?≤，故“b a ≤”是 “B A sin sin ≤”的充要条件，故选答案为A.
[解析2]由大边对大角，或由正弦定理都可以秒杀。答案为A 。
8．A 解析：本题可以采用一般法和特殊法，一般法在这里不赘述，令4=k ，则这两个曲线方程分
别为111622=-y x 和15
1222=-y x ，
它们分别对应的17512,171162
221=+==+=c c ，故21c c =。
所以它们的焦距相等，故答案为A.
[解析2]由已知可得两曲线均为双曲线，在又曲线中C 是最长的。故选D 。
9．D 解析:本题考查空间中线线的位置关系。以正方体为模型，易知1l 和4l 的位置关系可能有14l l ⊥ 或41//l l ，故1l 与4l 的位置关系不确定.故答案为D.
[解析2]线与线的位置关系，放在选择的倒数第二题，相对来说有一定难度。可以想象一下以笔为直线，将L1和L4放在课桌面上，第二条和第三条与课桌面垂直，问题得到解决。此题需要一定的空间想象能力。
10．C 解析：对于①，()=*+321z z z ()32313231321z z z z z z z z z z z *+*=+=+ 对于②，()()
321321z z z z z z +=+*.
令bi a z +=2，di c z +=3，则()()i d b c a z z +++=+32，则()()i d b c a z z +-+=+32
32z z di c bi a +=-+-=，所以
()()
31213121321321321)(z z z z z z z z z z z z z z z z z *+*=+=+=+=+*
③()()()
321321321321z z z z z z z z z z z z ==*=**
()231321321321)(z z z z z z z z z z z z ==*=**故()()321321z z z z z z **≠**
④12122121,z z z z z z z z =*=*，故1221z z z z *≠* 故答案为C.
[解析2]此题为创新题，另一种说法是定义新运算。解法较多。基本解法可以用特殊值法，如取三个已知复数分别代入。另一个秒杀的方法是，前9个题的结果是1A ，3B ，2C ，3D ，按照历年广东文科的分布规律最后一题应选A 。这种解题法没有科学依据，但近十年来都是这样的分布！
11．解析：本题考查导数的几何意义。x e y 5'-=，故550-=-=e k ，所以53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为x y 52-=+即025=++y x
[解析2]此为基础题。求出导数为－5，然后用点斜式方程。
12．解析：本题考查古典概型.采用列举法，从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de 共10个，含有字母a 有ab,ac,ad,ae 。故概率为
5
2104= [解析2]一般解法是用列举的办法或画数状图。简单解法是取到字母A 后，需要在另外4个字母中任取一个，有4种方法，一共从5个字母中取2个有10种方法。 13．解析：本题考查等比数列的定义和性
质.=)(log 543212a a a a a 5)244log()(log 342512=??=a a a a a 本题也可以直接引入1a 和q 这两个基本量求解.
[解析2]此题秒杀方法是令此数列2n a =的常数列。结果为5.
14．解析：本题考查极坐标与平面直角坐标系的互化.由θθρsin cos 22=得θρθρsin cos 222=，
即y x =22，由1c o s =θρ得1=x .联立y x =22和1=x ，解得1=x ，2=y ，所以则曲线1C 与2
C 交点的直角坐标为（1，2）.
[解析2]转化为直角坐标系方程212:,:1C y x C y ==后易得结果。
15．解析：本题考查平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定以及性质。因为DC AB //即
CD AE //,所以CDF ?∽AEF ?,所以
33====??AE
AE
AE AB AE DC AEF CDF 的周长的周长
[解析2]显然两三解形相似。相似三角形面积的等于相似比的平方。故面积比为9. 16．解析：（1）由题意得2
2
32243sin )3125sin()125(
=
==+=A A A f ππππ，所以 3=A .
（2）由（1）得)3
sin(3)(π
+
=x x f ，所以)3
sin(
3)3
sin(3)()(θπ
π
θθθ--+
=--f f
,3sin 3)sin 3
cos cos 3(sin 3)3sin cos 3cos
(sin 3==--+=θθπ
θππθπ
θ所以
3
3
sin =
θ.因为20πθ<<，所以.36311sin 1cos 2=-=-=θθ
所以63
6
3cos 3)2sin(3)36sin(3)6(
=?==-=+-=-θθππθπθπ
f 点评：笔者觉得2014年广东高考的三角函数题目难度总体比往年大，第一问属于送分题，与往年设计求解特殊函数值类似，第二问比往年设计得复杂些，但对于中上层考生来讲，笔者仍觉得这是个容易题，思维受阻的可能性比较小.
17．解析：（1）年龄30的的工人数为5，频率最高，故这20名工人年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40-19=21. （2）茎叶图如下:
19288899930000011112224
(3) 这20名工人年龄的平均数为3020
1
4033243153032932819=?+?+?+?+?+?+=
x
所以这20名工人年龄的方差
()()()6.1220
3040)3032(3)3031(4)3029(33028330192
222222
=-+-+-+-+-+-=
s
点评：类似于本题的题目其实学生已经不小，所以学生对这种题型不会有陌生感.但是我觉得会遇到几个问题，一是关于计算，而是在画茎叶图可能不是很规范。另外关于极差，很可能大部分学生都忘记了.
18．（1）证明：（1）因为⊥PD 面ABCD ,?AD 面ABCD ,所以AD PD ⊥.又因为四边形ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥,因为D CD PD = ,所以⊥AD 面PCD .在图3中，因为?CF 面PCD ，所以CF AD ⊥即CF MD ⊥,又因为CF MF ⊥,M MF MD = ,所以⊥CF 面MDF . (2)因为⊥CF 面MDF ，?DF 面MDF ,所以DF CF ⊥.在图2中，322=-=CD PC PD .
因为1,2,3===DC PC PD ,所以3
π
=
∠PCD .所以在DFC Rt ?中，2
3
3
sin
=
=π
DC DF ， 213
cos
=
=π
DC CF .所以在图3中，23=-=FC PC PF 即2
3
=MF .在MDF Rt ?, 2
622=
-=DF MF MD .又因为在DPC Rt ?,DC EF //,所以
41===CP CF DP DE ,所以 4341=
=
DP DE ,所以8
3
21=?=?DC DE S DEC 所以16
2
26833131=
??=?=
?-MD S V DEC CDE M . 点评：本次考试的立体几何题基本与近两年较相似，主要汇集在线面位置关系的证明和锥（柱）体的体积求解，本题的第（2）问计算量较大，这也是做立体几何题常常会遇到的一个困难和挑战！
19．解析：（1）当1=n 时，0612
1=-+a a 解得21=a 或31-=a 。因为0>n a ，所以21=a . （2）由题意得()[]
0)(32
=+-+n n S S n n ,因为0>n a ，所以0>n S ，所以03≠+n S ，所以
0)(2=+-n n S n 即n n S n +=2
当2≥n 时，n n n n n S S a n n n 2)1()1(2
2
1=----+=-=- 当1=n ，21=a 满足上式，故)(2*∈=N n n a n
（3）证明：当1=n 时，
3
1
61)1(111<=+a a . 当2≥n 时，)1(3232324)12(2)1(2
2
2
2
+=++>++=+=+=+n n n n n n n n n n n n a a n n 所以
)2)(1
1
1(31)1(31)1(1≥+-=+<+n n n n n a a n n
所以)1(1
)1(161)1(1)1(1)1(1222211++???+++=++???++++n n n n a a a a a a a a a a
3
16161)1121(3161)11141313121(3161=+<+-+=+-???+-+-+<
n n n 故对一切正整数n ，有
()()().3
1
1111112211<+++++n n a a a a a a
点评：本道题的第（1）问是基础题，难度较小，第（2）问可能会让部分学生思维受阻，注意到
()()
*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222
，其本质就是关于n S 的一元二次方程，采用因式分解或
求根公式求出n S 是解决本题的关键！第（3）问是数列求和放缩问题，放缩目标为
3
1
，结合题目特点不难猜测利用)
1(31
)1(1+<+n n a a n n 这个模型就可以达到目的，而在证明)
1(3)1(+>+n n a a n n 方法很多，分析法和综合法都可以派上用场。与2014年广东理科数列题第19相比，笔者觉得文科的难度其实更大！
20．解析：（1）由题意得5=
c ，3
5
=
=
a c e ，所以3=a ，所以4222=-=c a
b ，所以椭圆C 的标准方程为14
92
2=+y x .
（3）由题意可设两条直线的斜率都要存在，设其中的一条切线方程为b kx y +=，则另一条切线为
m x k y +-
=1
.联立???=-++=0
369422y x b kx y ，消y 得()
03691894222=-+++b kbx x k 因为直线与椭圆相切，所以()0)369)(94(418222
=-+-=?b k kb ，化简得4922+=k b .同理可
得22
294419k k m +=+??? ??-=。又因为()00,y x P 是这两条切线的交点，所以联立??
???+-=+=m x k y b kx y 1
解得1)(2+-=k b m k x ，所以1
1)(2222++=++-=+=k b
m k b k b m k b kx y .所以1)(20
+-=k b m k x ， 1220++=k b
m k y ，因为()22222222012++-=k b k bmk m k x ，()
22
2224201
2+++=k b mb k m k y 所以()
()*++++=
+2
2
2
2422222
0201
k
b m k b k m k y x ，将4922+=k b 和2
2
9
4k m +
=代入()*式，得 ()()
131
)12(1314
9)94()49(942
2242222422222
20=+++=+++++++??? ??
+=+k k k k k k k k k k k y x . 当1l 与x 轴垂直，y l ⊥2轴时，或2l 与x 轴垂直y l ⊥1轴时，此时满足条件的P 的坐标为()2,3±±，满足上述方程，所以点P 的轨迹方程为132
02
0=+y x
点评：本题的第（2）问与2012年广东文科高考和2011年广东理科第（1）问有几分相似，方法很类似，考查了转化与化归的能力，计算量较大.可以看出往年的高考题就是最好的模拟试题！ 21．解析：a x x x f ++=2)(')1(2. 令022=++a x x
当044≤-=?a 即1≥a 时，0)('≥x f ，所以()f x 的单增区间为()+∞∞-,. 当0>?即1 x ---=---= 112 4421， a x -+-=112 当,0)(',11>--- ,0)(',11>--- +∞-+-,11a ，单减区间为() a a -+----11,11. 综上所述，当1≥a ，()f x 的单增区间为()+∞∞-,.当1 a ---∞-11,和()+∞-+-,11a ，单减区间为() a a -+----11,11.. （2）当0?，a a x ---=---= 112