向量讨论平行垂直及夹角
向量讨论平行垂直及夹角
1、如图所示：在三棱锥P-ABQ 中，ABQ PB 平面⊥,BA=BP=BQ,D 、C 、E 、F 分别是AQ,BQ,AP,BP 的中点，AQ=2BD,PD 与EQ 交于点G,PC 与FQ 交于点H,连接GH.求证：AB//GH;
2、如图所示：在四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥A A 1底面,5,2,1,,1=====⊥CD AD AA AC AB AC AB ABCD 且点M 和N 分别为C B 1和D D 1的中点，求证：//MN 平面ABCD .
3、如图所示：在四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，.6,5,4,3,1,//1k DC k BC k AD k AB AA CD AB =====求证：⊥CD 平面11A ADD
4、如图所示：正方体1111D C B A ABCD -中，求
B A 1与平面CD B A 11所成角的大小。
5、如图所示：直三棱柱111C B A ABC -中底面ABC ?满足090,=∠==BCA a CB CA ,棱N M a AA ,,21=分别是11B A 、1AA 的中点。
（1）求BN 的长；
（2）求异面直线1BA 与1CB ,所成角的余弦值；
6、在底面是直角梯形的四棱锥ABCD S -中，090=∠ABC ,⊥SA 平面21,1,====AD BC AB SA ABCD ,求平面SCD 与平面SBA 所成的二面角余弦值；
7、如图所示：在长方体1111D C B A ABCD -中，已知5,4,31===AA BC AB ,分别求点1A 到直线BD AC 、的距离;
8、正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，G F E ,,分别是AB A D C C ,,111的中点，求点A 到平面EFG 的距离；
北师大版数学高二-2.4 用向量讨论垂直与平行导学案 北师大版选修2-1
【步步高学案导学设计】高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行导学案北师大版选修2-1 课时目标 1.会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系.2.会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行． 1．空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)且(a2b2c2≠0)，则l ∥m?___________?__________?______________． (2)线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?________?____________?________________________． (3)面面平行 设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?____________?______________?________________． 2．空间中垂直关系的向量表示 (1)线线垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l ⊥m?____________?__________?________________________________． (2)线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?________?__________?__________________． (3)面面垂直 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?__________?____________?________________________． 一、选择题 1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( ) A．l∥α B．l⊥α C．lα D．l与α斜交 2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( ) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定 3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( ) A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17) C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)
北师大版高中数学选修(2-1)-2.4《用向量讨论垂直与平行》第二课时参考教案
2.4 用向量讨论垂直与平行 第二课时教案 一、教学目标： 1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系； 2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理； 3．能用向量方法判断空间线面垂直关系。 二、教学重点：用向量方法判断空间线面垂直关系； 教学难点：用向量方法判断空间线面垂直关系。 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、创设情景 1、空间直线与平面平行与垂直的定义及判定 2、直线的方向向量与平面的法向量的定义 （二）、探析新课 1、用向量描述空间线面关系 设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则由如下结论 2、相关说明： 上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定与性质，要理解掌握。 （三）、知识运用 1、例1 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理） 已知：如图,OB 是平面α的斜线，O 为斜足，α⊥AB ，A 为垂足，OA CD CD ⊥?,α
α A B C D O α l m n g 求证：OB CD ⊥ 证明：0=??⊥OA CD OA CD ?⊥αAB 0=??⊥AB CD AB CD AB OA OB += 0)(=?+?=+?=? AB CD ⊥∴ 2、例2 证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线于平面垂直的判定定理） 已知：B n m n m =?? ,,αα，n l m l ⊥⊥, 求证：α⊥l 证明：在α内任作一条直线g ，在直线n m g l ,,,上分别取向量,,, n y m x g += 所以n l y m l x n y m x l g l ?+?=+?=?)( 因为⊥⊥, 所以0,0=⊥=?n l m l 可得0=? 即g l ⊥ 3、例3 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。 求证：AM B A ⊥1 证明：如图，建立空间坐标系 )2 6 ,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),6,0,3(1M A B A )6,1,3(),2 6 ,0,3(1--=-=A AM 01=?B A AM 总结：用向量证明比几何方法证明简单、明了。
【全程复习方略】2014版高考数学 7.8用向量讨论垂直与平行课时提升作业 理 北师大版
【全程复习方略】2014版高考数学 7.8用向量讨论垂直与平行课时提升作业理 北师大版 一、选择题 1.平面α的一个法向量为n=(1,2,0),平面β的一个法向量为m=(2,-1,0),则平面α和平面β的位置关系是( ) (A)平行(B)相交但不垂直 (C)垂直(D)重合 2.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于( ) (A)2 (B)-4 (C)4 (D)-2 3.若直线l⊥平面α,直线l的方向向量为s,平面α的法向量为n,则下列结论正确的是( ) (A)s=(1,0,1),n=(1,0,-1) (B)s=(1,1,1),n=(1,1,-2) (C)s=(2,1,1),n=(-4,-2,-2) (D)s=(1,3,1),n=(2,0,-1) 4.直线l的方向向量为s=(-1,1,1),平面π的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面π,则x的值为( ) (A)-2 (B)-(C)(D)± 5.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是( ) (A)(,,-) (B)(,-,) (C)(-,,) (D)(-,-,-) 6.已知非零向量a,b及平面α,若向量a是平面α的法向量,则a2b=0是向量b所在直线平行于平面α或在平面α内的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 7.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为( )
(A),-,4 (B),-,4 (C),-2,4 (D)4,,-15 二、填空题 8.平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,则直线l的单位方向向量s= . 9.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=m a+n b+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为. 10.在正方体ABC D-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE与BD的位置关系是. 三、解答题 11.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1. 求证:(1)BC1⊥AB1. (2)BC1∥平面CA1D. 12.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面BDE. (2)求证:CF⊥平面BDE. 13.(能力挑战题)如图,在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,AA1=4,AB=2,点E在棱CC1上,点F是棱C1D1的中点. (1)若点E是棱CC1的中点,求证:EF∥平面A1BD.
高中数学知识点精讲精析 用向量讨论垂直与平行
4 用向量讨论垂直与平行 1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这 些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ． 2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使 a ＝λ b . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa ，其 中λ是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a ∥ b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a ）上）. ⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与 a 同向，当λ<0时与a 反向的所有向量. 3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+ a ． 其中向量a 叫做直线l 的方向向量. 推论证明如下： ∵ l //a ，∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t = a ．(*) 又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA =- ， ∴ OP OA t -= a ， OP OA t =+ a ． ① 若在l 上取AB = a ，则有OP OA t AB =+ ．(**) 又∵ AB OB OA =- ∴ ()OP OA t OB OA =+- (1)t OA tOB =-+ ．② 当12 t =时，1()2OP OA OB =+ ．③ 理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式． ⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式． ⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定． 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同， 是平面向量相关知识的推广． 4. 两个向量共线或垂直的判定：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123 (,,)b b b ，则
用向量讨论垂直与平行
用向量讨论垂直与平行 【学习目标】 1.理解用向量方法解决立体几何问题的思想； 2.掌握用向量方法解决立体几何的垂直与平行问题. 【学习重点】 用向量方法证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行问题 【学习难点】 几何问题向量化 【课前预习案】 课本助读：认真阅读课本第40~41页的内容，理解用向量方法解决立体几何 问题的思想与方法. 1.设直线1l 的方向向量为1111(,,)s a b c =，直线2l 的方向向量为2222(,,)s a b c =， 则 1l ∥2l ? ? 。 1l ⊥2l ? ? 。 2.设直线l 的方向向量为111(,,)s a b c =，平面π的法向量为222(,,)n a b c = l ∥π? ? ? ； l ⊥π? ? ? 。 3.设平面α的法向量为1111(,,)s a b c =，平面β的法向量为2222(,,)s a b c =， 则 α∥β? ? 。 α⊥β? ? 。 4. 例题1,2,3中的方法与步骤，找出规律. 【课堂探究案】 探究一：用向量法证明空间中的平行和垂直关系 1.已知两条不同直线12,l l 的方向向量分别为12,s s ，证明两直线是是垂直关系： （1）12(1,1,1),(1,2,3)s s =-=-；（2）()()121,2,0,1,2,0s s =-=-.
2.已知两个不同平面12,ππ的法向量分别为12,n n ，判断两平面是平行还是垂直： （1）12(1,2,3),(1,2,3)n n ==---; (2) 12(2,2,3),(1,2,2)n n =-=---。 3.已知直线l 的方向向量为s ，平面π的法向量为n ，且l ?π，判断直线与平 面是平行还是垂直：（1）(1,1,1),(1,4,3)s n =-=-； （2）(1,3,2),(2,6,4)s n =-=--。 【课后检测案】 1.如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A 'B 'C 'D '，E ，F 分别是棱BC ，BB '的中点，试在直线AA '上找到一个点G ，使得EF//DG 。 2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABCD-A 'B 'C 'D '，∠ABC=90°，∠BAC '=30°，BC=1，AA '=6， M 是CC '的中点，证明：AB '⊥A 'M 选做题 3.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分 别是BB 1、DC 的中点。 证明AE ⊥平面A 1D 1F .。 【训练小结】你学到了什么？归纳用向量解决空间几何问题方法与步骤。