2013年全国初中数学竞赛试题(含答案)
2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
ab be ca 二--(a 2 b 2 c 2)，所以
—bc —ca 2 a b c
【答案】B
1 a
2 ~~ , X 2 c
1 一
-2为两个实根的一兀
X 2
2
b — 2a
c a
二次方程疋x 2 x
0 c
c
2 2 Z1 2
2小
c x -(b -2ac)x a 0.
、选择题
1 ?设非零实数a , b , c 满足!a +2b +3c
=°，则 a b +b c +c
a 、
2a+3b+4c = 0,
a 2 +
b 2 +
c 2 的值为（
).
(B ) 0
1 (C)- 2
(D) 1
【答
案】 【解答】
由已知得 a b c = (2a 3b 4c) - (a 2b 3c) = 0 ,
2.已知 c 是实常数，关于x 的 元二次方程ax 2 bx c = 0有两个非零实根
X i , X 2，则下列关于 x 的一元二次方程中, 1 1
—2 , —为两个实根的是（ x 1
x 2
)?
2 2 2 (A ) c x (b 2 -2ac)x a -0 2 2 2 2
(B) c x 「(b 「2ac)x a -0
(C ) c 2x 2 (b 2
-2ac)x -a 2
=0
(D) c 2x 2 -(b 2 - 2ac)x-a 2
(a b c)2
=0 ?于是
【解答】由于ax 2 bx ? c = 0
是关于
元二次方程，则a = 0.因为x 1 x 2
X i X 2
c
,且 X 1X 2 = 0 ,所以 c = 0 a
1 丄 1 (% + x
22
—
2x 1
x 2
b 2 -
r = -------- -------------------------------------------- ---- 2 2
X 1
x 2
于是根据方程根与系数的关系，以
3.如图，在Rt A ABC 中，已知O 是斜边 AB 的中点，CD 丄AB ,
(第 3
607 967
垂足为D , DE 丄OC ,垂足为E .若AD , DB , CD 的长度都是有理数，则线段 OD , OE , DE , AC 的长度中，不一定.是有理数的为(
)
(A ) OD ( B ) OE (C )DE ( D )AC
【答案】D
【答案】C
【解答】设2013“2012“|||“4二m ，则
【解答】因AD , DB , CD 的长度都是有理数，所以， OA = OB =
Oc =
AD BD
是有理数.于是，OD = OA - AD 是有理数.
2
由 Rt A DOE s Rt A COD ，知 OE 二
OD 2 OC
DE
DC DO OC
理数，而AC =、, AD A B 不一定是有理数.
4.如图，已知△ ABC 的面积为24,点D 在线段AC 上，点F 在线段 面积为(
).
(A ) 3 (B ) 4 (C ) 6 (D ) 8
【答案】
C
【解
答】
因为DCFE 是平行四边形，所以 DE//CF ，且EF//DC
因此原来阴影部分的面积等于厶 ACE 的面积. 连接 AF ，因为 EF//CD ，即 EF//AC ，所以 ACE = S AACF .
因为BC =4CF ，所以S A ABC = 4S A ACF .故阴影部分的面积为 6. 5.对于任意实数x , y , z ,定义运算“ *为：
3x 3y +3x 2y 2 +xy 3 +45 x y 3 —
(x +1 ) +(y +1 ) -60
且 x ” y ” z = x y ■- z ，则 2013 ” 2012 ” 111 ” 3 ” 2 的值为( (A )
1821 (B)
-
967
5463
(C)
967
(D)
16389 967
(第3题答题)
BC 的延长线上，且 BC =4CF , DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的 连接 CE ，因为 DE//CF ，即 DE//BF ，所以 & DEB = & DEC ,
9 A D
13 C
CF 5
FE 4 EF 96 D
13 13 B
3 2
3m 3 3m 9 m 27 45 2013” 2012 4”3=m”3
3
2
9,
'
f
m +3m +3m + 1 +64—60
103 33 -60
5463 -967
3
2
2
3
是 2013 2012 川 3 2 =9 2 = 3 9
2 3 9 2 92 45
、填空题
2 2 2