初中数学二次函数解析

初中数学二次函数解析

一、选择题

1．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线

9

2

t=；

③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，

∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，

∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，

∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，

∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，

∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，

故选B．

2．抛物线y＝-x2+bx+3的对称轴为直线x＝-1．若关于x的一元二次方程-x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）

A．-12＜t≤3B．-12＜t＜4 C．-12＜t≤4D．-12＜t＜3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2?2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3?t＝0的实数根看做是y＝－x2?2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解.

【详解】

解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1，

∴b＝?2，

∴y＝－x2?2x＋3，

∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点，

∵当x ＝?1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12，

∴函数y ＝－x 2?2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C ． 【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．

3．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】

原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法． 【详解】

y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0），

则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ． 【点睛】

此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．

4．如图，抛物线2

119

y x =

-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）

2

2

【答案】A 【解析】 【分析】

根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标，结合题意进一步可以得出BC 长为5，利用三角形中位线性质可知OE=1

2

BD ，而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，据此进一步求解即可. 【详解】 ∵2

119

y x =

-， ∴当0y =时，2

1019

x =-， 解得：=3x ±，

∴A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)， 即：AO=BO=3， ∴O 点为AB 的中点， 又∵圆心C 坐标为(0，4)， ∴OC=4，

∴BC 长度5=， ∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点， ∴OE 为△ABD 的中位线， 即：OE=

1

2

BD ， ∵D 点是圆上的动点，

由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径， ∴BD 的最小值为4， ∴OE=

1

2

BD=2， 即OE 的最小值为2， 故选：A. 【点睛】

本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

5．函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，则8x =时，函数值等于( )

2

2

【答案】A 【解析】 【分析】

根据二次函数的对称性，求得函数2

5y ax bx =++(0)a ≠的对称轴，进而判断与8x =的

函数值相等时x 的值，由此可得结果． 【详解】

∵函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，

∴函数2

5y ax bx =++(0)a ≠的对称轴为：17

42

x +=

=， ∴8x =与0x =的函数值相等，

∴当8x =时，2

50055y ax bx a b =++=?+?+=，

即8x =时，函数值等于5， 故选：A ． 【点睛】

本题主要考查二次函数的图象和对称性．掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题的关键．

6．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ）

A ．m 1≥

B ．0m ≤

C ．01m ≤≤

D ．m 1≥或0m ≤

【答案】C 【解析】 【分析】

找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知. 【详解】

解：如图1所示，当t 等于0时， ∵2

(1)4y x =--， ∴顶点坐标为(1,4)-， 当0x =时，3y =-，

∴(0,3)A -， 当4x =时，5y =， ∴(4,5)C ， ∴当0m =时，

(4,5)D -，

∴此时最大值为0，最小值为5-； 如图2所示，当1m =时， 此时最小值为4-，最大值为1． 综上所述：01m ≤≤， 故选：C ．

【点睛】

此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题关键．

7．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；

根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误；

根据函数对称轴可得：-2b

a

=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；

根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.

点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.

8．抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数），0a >，顶点坐标为1(,)2

m .给出下列结论：①若点1(,)n y 与点23(2)2n y -，在该抛物线上，当1

2

n <

时，则12y y <；②关于x 的一元二次方程210ax bx c m -+-+=无实数解，那么（ ）

A ．①正确，②正确

B ．①正确，②错误

C ．①错误，②正确

D ．①错误，②错误 【答案】A 【解析】 【分析】

①根据二次函数的增减性进行判断便可；

②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m ，再把m 代入一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误． 【详解】

解：①∵顶点坐标为1,2m ??

???

,12n <

∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x=1

2

的对称点为（1-n ，y 1）， ∴点（1-n ，y 1）与2322n y ??

-

???

，在该抛物线的对称轴的右侧图像上, 31(1)2022n n n ??

---=-< ???

Q

3

122

n n ∴-<

- ∵a ＞0，

∴当x ＞

1

2

时，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故此小题结论正确；

②把1,2m ??

???

代入y=ax 2+bx+c 中，得1142m a b c =++,

∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0中， △=b 2-4ac+4am-4a 2

211444()4042b ac a a b c a a b a ??

=-+++-=+-<

???

∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确； 故选A ． 【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．

9．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）

A ．16

B ．15

C ．12

D ．11

【答案】B 【解析】 【分析】

过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值． 【详解】

解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ， ∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°， ∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ， ∴△FEH ∽△EBA ， ∴

,HF HE EF

AE AB BE

== G Q 为BE 的中点，

1

,2

FE GE BE ∴==

∴

1

,2

HF HE EF AE AB BE ===

设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==

∴HF 1

,4,2

x EH =

= ,

DH AE x ∴==

CEF DHFC CED EHF S S S S ???∴=+-

11111(8)8(4)422222

x x x x =

++?--?? 2

141644

x x x x =+--- 2

116,4

x x =

-+ ∴当

1

2

124

x -=-

=? 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=?-+= 故选：B ．

【点睛】

本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．

10．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】

根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意；

点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．

11．已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )

A ．该图象的顶点坐标为()1,4a -

B ．该图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-

C ．若该图象经过点()2,5-，则一定经过点()4,5

D ．当1x >时，y 随x 的增大而增

大 【答案】D 【解析】 【分析】

根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】 解：y=a （x 2-2x-3） =a （x-3）（x+1） 令y=0， ∴x=3或x=-1，

∴抛物线与x 轴的交点坐标为（3，0）与（-1，0），故B 成立； ∴抛物线的对称轴为：x=1， 令x=1代入y=ax 2-2ax-3a ， ∴y=a-2a-3a=-4a ，

∴顶点坐标为（1，-4a ），故A 成立； 由于点（-2，5）与（4，5）关于直线x=1对称，

∴若该图象经过点（-2，5），则一定经过点（4，5），故C 成立；

当x ＞1，a ＞0时，y 随着x 的增大而增大，当x ＞1，a ＜0时，y 随着x 的增大而减少，故

D 不一定成立； 故选：D ． 【点睛】

本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．

12．如图，已知将抛物线21y x =-沿x 轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”）.现将抛物线()()2

120y a x a =++<沿x 轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a 的取值范围是（ ）

A ．1a ≤-

B ．12

a ≤-

C ．112

a -<≤

D ．112

a -≤<-

【答案】D 【解析】 【分析】

画出图象，利用图象可得m 的取值范围 【详解】 解：

∵ ()()2

120y a x a =++<

∴该抛物线开口向下，顶点(-1，2)，对称轴是直线x=-1.

∴点(-1,2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1，-2)符合题意，此时x 轴.上的点(-2, 0)、

(0, 0)也符合题意，

将(0，1)代入()()2

120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1. 将(1, 0)代入()()2

120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2

∵有11个整点，

∴点(0，-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0，1)也必须符合题意.

综上可知:当1

-1a<-2

≤ 时，点(-1，2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1，-1)、点(-1，-2)、点(-2, 0)、(0，0)、点(0，-1)、点(-2，-1)、点(-2，1)、点(0, 1)，共有11个整点符合题意, 故选: D. 【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键.

13．二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：

且当1

2

x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于

x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③0m <20

3

n +<

．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C 【解析】 【分析】

首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解． 【详解】

∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2 ∴抛物线的对称轴是：x=-2b a =1

2

； ∴a 、b 异号，且b=-a ； ∵当x=0时y=c=-2 ∴c 0<

∴abc >0，故①正确；

∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t

∴2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；故②正确； ∵b=-a ，c=-2

∴二次函数解析式：2-a -2=y ax x ∵当1

2

x =-时，与其对应的函数值0y >．

∴

3204a ->，∴a 83

>； ∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m 和n ， ∴m=n=2a-2， ∴m+n=4a-420

3

>；故③错误 故选：C ． 【点睛】

本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量x 与函数值y 的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．

14．已知抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a ，则抛物线的顶点不可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】D 【解析】 【分析】

求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得． 【详解】

抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a 的顶点的横坐标为：x ＝﹣212a +＝﹣a ﹣1

2

， 纵坐标为：y ＝

()()

2

24214

a a a --+＝﹣2a ﹣

1

4

， ∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y ＝2x +

34

， ∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限， 故选：D ． 【点睛】

本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．

15．已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点．下列结论：①4c <；②当1x =时，y 有最小值2c -；③方程22420x x c -+-=有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则5

2

c =

；其中正确的结论的

个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

【答案】B 【解析】 【分析】

根据“抛物线2

24y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物

线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④． 【详解】

解：∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点，

∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根，即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根，故③正确，

∴1642(2)0c ?=-??->，解得：4c <，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上， ∴当x=1时，2y c =-为最小值，故②正确；

若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形， 则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半， ∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c ， ∴两交点的横坐标分别为1-（4-c ）=c-3与1+（4-c ）=5-c ∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），

将（c-3,2）代入2

24y x x c =-+中得：22(3)4(3)2c c c ---+=

解得：7

2

c =或4c = ∵4c <，

∴7

2

c =

，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：B ． 【点睛】

本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．

16．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：

①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )

A ．①②

B ．①③④

C ．①②③④

D ．①②③④⑤

【答案】D 【解析】 【分析】

根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可． 【详解】

由图象可知，a ＜0，c=1，

对称轴：x=b

12a

-=-， ∴b=2a ，

①由图可知：当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，正确； ②由图可知：当x=?1时，y ＞1，∴a ?b+c ＞1，正确； ③abc=2a 2＞0，正确；

④由图可知：当x=?3时，y ＜0，∴9a ?3b+c ＜0，正确； ⑤c?a=1?a ＞1，正确； ∴①②③④⑤正确． 故选：D ． 【点睛】

本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．

17．下列函数（1）y =x （2）y =2x ﹣1 （3）y =1

x

（4）y =2﹣3x （5）y =x 2﹣1中，是一次函数的有（ ） A ．4个 B ．3个

C ．2个

D ．1个

【答案】B 【解析】 【分析】

分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可． 【详解】

解：（1）y =x 是一次函数，符合题意； （2）y =2x ﹣1是一次函数，符合题意；

（3）y =

1

x

是反比例函数，不符合题意； （4）y =2﹣3x 是一次函数，符合题意； （5）y =x 2﹣1是二次函数，不符合题意； 故是一次函数的有3个． 故选：B ． 【点睛】

此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．

18．在函数2

y x

=

，3y x =+，2y x =的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】B 【解析】 【分析】

根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解． 【详解】

y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x 2图象不是中心对称图形；只有函

数2

y x =

符合条件． 故选：B ． 【点睛】

本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．

19．在同一平面直角坐标系中，函数3y x a =+与2+3y ax x =的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】 【分析】

根据一次函数及二次函数的图像性质，逐一进行判断． 【详解】

解：A.由一次函数图像可知a ＞0，因此二次函数图像开口向上，但对称轴3

02a

-<应在y 轴左侧，故此选项错误；

B. 由一次函数图像可知a ＜0，而由二次函数图像开口方向可知a ＞0，故此选项错误；

C. 由一次函数图像可知a ＜0，因此二次函数图像开口向下，且对称轴3

02a

->在y 轴右侧，故此选项正确；

D. 由一次函数图像可知a ＞0，而由二次函数图像开口方向可知a ＜0，故此选项错误； 故选：C ． 【点睛】

本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是利用数形结合思想分析图像，本题属于中等题型．

20．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C 【解析】 【分析】

首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断． 【详解】

解：Q 抛物线开口向下，

0a ∴<，

Q 对称轴12b

x a

=-

=， 0b ∴>，

Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，

0c ∴>，

0abc ∴<，故①错误；

Q 抛物线与x 轴有两个交点，

240b ac ∴->，故②正确；

Q 对称轴12b

x a

=-

=， 2a b ∴=-，

20a b ∴+=，故③正确；

根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确； 故选：C ． 【点睛】

此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．