山东省烟台市2013届高三上学期期中考试 文科数学

烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测

高三数学（文科）

注意事项：

1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．

2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔．要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效．

3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的个选项中，只有一

个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1.设集合A=2{|11},{|log 0}x x x B x x <->=>或，则A B =

A. |1}x x >{ B . }0|>x x ｛ C. }1|--

【解析】}1|{},1|{>=>=x x B A x x B ，故选A. 2．下列四个图像中，是函数图像的是

【答案】B

【解析】由函数定义知（2）不符合，故选B.

3．若非空集合2{|11},{|log 0}x x x B x x <->=>或，且若a S ∈，则必有6a S -∈，则所有满足上述条件的集合S 共有

A.6个

B.7个

C.8个

D.9个 【答案】B

【解析】由题意知，集合S 中包含的元素可以是3，1和5，2和4中的一组、两组、三组即S={3},{1,5},{2,4},{3,1,5},{3,2,4},{1,5,2,4},{3,1,5,2,4},故选B.

4.某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为2

1 5.060.15L x x =-和

22L x =，其中x 为销售量（单位：辆）。若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为

A.45.606

B.45.6

C.45.56

D.45.51 【答案】B

【解析】设在甲地销售x 辆车，则在乙地销售15-x 辆车.获得的利润为

,3006.315.0)15(215.006.52

2

++-=-+-=x x x x x y 当.2.10)

15.0(206.3=-?-

=x 时，y

最大，但N x ∈，所以当10=x 时，.6.45306.3015max =++-=y 故选B. 5．若向量)6,12(),2,4(),6,3(--==-=w v u ,则下列结论中错误的是 A ．v u ⊥ B ．w v //

C ．v u w 3-=

D ．对任一向量AB ，存在实数b a ,，使v b u a AB +=

【答案】C

【解析】因为0=?v u ，所以v u ⊥；又因0)12(2)6(4=---?，所以w v //；u 与v 为不共线向量，所以对任一向量AB ，存在实数b a ,，使v b u a AB +=. 故选C. 6．下列命题中，正确的是

A ．若d c b a >>,，则bc ac >

B ．若bc ac >，则b a >

C ．若

2

2

c

b c

a <

，则b a < D ．若d c b a >>,，则d b c a ->-

【答案】C

【解析】由不等式的性质知C 正确.故选C.

7.已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量),1,3(-=b 则|2|b a -的最大值、最小值分别是

A ．24 ，0

B ．4， 24

C ．16，0

D ．4，0 【答案】D

【解析】)6

cos(88)sin cos 3(44444|2|2

2

2

π

θθθ+-=--+=?-+=-b a b a b a ，

故|2|b a -的最大值为4，最小值为0.故选D.

8．已知函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过点（-1，3）和（1，1）两点，若0

的取值范围是

A. （1，3）

B. （1，2）

C.)3,2[

D. [1,3] 【答案】B

【解析】由题意知21,120,10,2,13

<<∴<-<∴<<=+?

??=++=+-a a c c a c b a c b a ，故选B.

9．设动直线m x =与函数x x g x x f ln )(,)(2==的图象分别交于点M 、N ，则|MN|的最小值为

A ．

2ln 2

121+ B ．

2ln 2

121- C ． 2ln 1+ D ．12ln -

【答案】A

【解析】x x MN ln ||2

-=，令x x x f ln )(2

-=x

x x

x x f 1212)('2

-=

-

=，当2

20<

x 时，0)('>x f ；∴当2

2=

x 时，)(x f 有极小值也有极大值，

即.2ln 2

12

12

1ln

2

1)2

2()(min +

=

-=

=f x f 故选A

10．已知()()()2

,lo g 0,1x a f

x a

g x x a a -=

=>≠，若()()440f g ?-<，则y=()f x ，

y=()g x 在同一坐标系内的大致图象是

【答案】B

【解析】由()()440f g ?-<知

04log

2

a ，04log

<∴a

，10<<∴a ，)(x f ∴为减

函数，

因此可排除A 、C ，而

)(x g 在0>x 时也为

减函数，故选B

11. 某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时,原油温度（单位：℃）

为),50(83

1)(2

3

≤≤+-=

x x x x f ，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为 A ．8 B ．3

20 C ．-1 D ．-8

【答案】C

【解析】原油温度的瞬时变化率为),50(1)1(2)('22≤≤--=-=x x x x x f 故最小值为-1.因此选C.

12．函数x y sin =的定义域为],[b a ，值域为]21

,1[-，则a b -的最大值与最小值之差等于

A. π4

B.

3

8π C. π2 D.

3

4π

【答案】C

【解析】由正弦函数的图象知3

2)2

(6

)(min ππ

π

=

-

-=-a b ，,

3

46

56

13)(max πππ=

-

=

-a b 所以和为π2.故选C.

二、填空题.本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置. 13. 在ABC ?中，若π3

2,3,1=

∠==C c b ，则._____________=?ABC S

【答案】

【解析】由余弦定理222cos 2c C ab b a =-+知1,022==-+a a a ，所以

.4

33

2sin 112

1=???=

?πABC S

14． 设变量y x ,满足约束条件??

?

??≥+-≥++≤-03010

1y x y x x ，则目标函数y x z +=23的最小值是__.

【答案】

【解析】可行域如图，

显然当直线y x u +=2过M(-2,1)时，

27

13

,33

m i n m i n =

=-=-z u .

15．已知函数1

|1|2

+-=

x x y 的图象与函数2+=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范

围是______________. 【答案】140≠<

2

(1)(1)

11

|1|=1

+11

,

1

1

x x

x x x x y x x x

x +

--><-

?-=

=?

+--<≤?，或，作出函数图象，直线2+=kx y 过定点A （0,2），其中(1,2)B --,4A B k =，根据图象可知要使两个函数的交点个数有两个，则直线斜率满足140≠<

16.下列命题： ①若函数)lg()(2

a x x x f ++

=为奇函数，则a =1;

②函数|sin |)(x x f =的周期；π=T ③方程x x sin lg =有且只有三个实数根； ④对于函数x x f =

)(，若210x x <<，则2

)

()()2

(

212

1x f x f x x f +<

+.

以上命题为真命题的是 ．（写出所有真命题的序号） 【答案】①②③

【解析】由函数为奇函数知0)0(=f 即10lg =∴=a a .故①正确，易知②也正确，由图象

可知③正确，④错误.

三、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理

步骤.

17．（本小题满分12分） 已知向量）（θθθsin 2cos ,sin -=a ，)2,1(=b ，

(1) 若b a //,求θtan 的值；

(2)

若||||b a =，πθ<<0,求θ的值.

18．（本小题满分12分）已知a 是实数，试解关于x 的不等式：1

22

---≥x a

x x x

19．（本小题满分12分）

已知函数a R a a x x x x f ,(1cos 2cos sin 32)(2

∈-++=是常数）.

（1）求)3

5(

πf 的值;

(2) 若函数)(x f 在??

?

?

??4,4-ππ上的最大值与最小值之和为3,求实数a 的值. 20.（本小题满分12分）已知函数x e x f x -=)(（e 为自然对数的底数） （1）求)(x f 的最小值;

(2)设不等式ax x f >)(的解集为P ，且P x x ?≤≤}20|{,求实数a 的取值范围.

21. (本小题满分12分)为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.

为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元）只取整数，并且要求出租自行车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y （元）表示出租自行车的日净收入（即一日出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）

（1） 求函数)(x f y =的解析式及其定义域；

（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

22．（本小题满分14分）函数c bx ax x x f +++=23)(，过曲线)(x f y =上的点P ))1(1f ，（的切线方程为.

13+=x y .

（1）若)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求)(x f y =在[-3,1]上的最大值；

（3）若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围.

高三数学（文科）答案

一、选择题：

1. A

2. B

3.B

4.B

5.C

6.C

7.D

8.B

9.A 10.B 11.C 12.C 二、填空题: 13.

4

3 14.

27

1 15.140≠<

17．解：（1）因为b a //，所以θθθsin 2cos sin 2-=, ………2分

于是θθcos sin 4= ，故 4

1tan =

θ ………4分

（2） 由||||b a =知, ,5)sin 2(cos sin 22=-+θθθ

所以,5sin 42sin 212=+-θθ ………6分 从而 4)2cos 1(22sin 2=-+-θθ即 12cos 2sin -=+θθ

于是.2

2)4

2sin(-=+π

θ ………9分

又由πθ<<0知，,49424

ππ

θπ

<+

<

所以4

54

2ππ

θ=

+或.4

74

2ππ

θ=

+

因此2

π

θ=

或34

πθ= ………12分

18.解：原不等式同解为??

?≠≥-+1

0)1)((x x a x ………3分

当1->a 时，原不等式的解集为，),1(],(+∞--∞ a ………6分 当1-=a 时，原不等式的解集为}1|R x x x ∈≠，｛ ………9分 当1-

19.解：（1）a x x f ++

=)6

2sin(2)(π

………3分 2)6

3

10sin(

2)3

5(-=++

=a a f π

ππ ………5分

]1,2

3[)6

2sin(],3

2,3[6

2],4

,4[)2(-

=+

-

∈+

∴-

∈π

π

ππ

π

πx x x ………7分

a

x f a +≤≤+-∴2)(3，即,

2,3max min a y a y +=+-=………10分

由已知得1

,323=∴=

+++-

a a a ………12分

20.解:（1）,1)('-=x e x f 令0)('>x f ，解得0>x ；令0)('

………3分

从而在)0,(-∞内单调递减，),0(+∞内单调递增.所以，当0=x 时

)(x f 取得最小值1. ………5分

（2） 因为不等式ax x f >)(的解集为P ，且P x x ?≤≤}20|{， 所以，对任意的]2,0[∈x ，不等式ax x f >)(恒成立， ………6分

由ax x f >)(得x

e x a <+)1(.当0=x 时， 上述不等式显然成立，故只需考虑

]2,0(∈x 的情况. ………7分

将x

e x a <+)1(变形得1-<

x

e

a x

………8分

令1)(-=

x

e

x g x

，2

)1()('x

e

x x g x

-=

令0)('>x g ，解得1>x ；令0)('

1

从而)(x g 在（0,1）内单调递减，在（1，2）内单调递增.所以，当1=x 时，)(x g 取得最小值1-e ，从而所求实数的取值范围是)1,(--∞e . ………12分

21.解：（1）当6≤x 时，11550-=x y 令011550>-x ，解得3.2>x

*,

,63,3*,N x x x N x ∈≤≤∴≥∴∈ ………2分

当6>x 时， ,115)]6(350[---=x x y 0115683,0115)]6(350[2

<+->---x x x x 令 上述不等式的整数解为*),(202N x x ∈≤≤ *)

(206N x x ∈≤<∴

故

?

??∈≤<-+-∈≤≤-=*),206(115683*),63(115

502

N x x x x N x x x y 定义域为*)

,203|{N x x x ∈≤≤ ………6分

（2）对于*),63(115

50N x x x y ∈≤≤-=，

显然当6=x 时，185max =y （元） ………8分 对于*),206(3

811)3

34(31156832

2

N x x x x x y ∈≤<+

-

-=-+-=

当11=x 时，270max =y （元） ………10分

185270> ，

∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多. ………12分

22. 解：（1）由c bx ax x x f +++=23)(得b ax x x f ++=23)('2，

过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为)1)(1(')1(-=-x f f y ， 即)1)(23()1(-++=+++-x b a c b a y .

而过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y ，

故?

??=++=+???=+++=++30

241323c b a b a c b a b a 即 ………3分

∵)(x f y =在2-=x 处有极值，故.124-02-'-=+∴=b a f ，）（ 联立解得542)(,5,4,22

3

+-+=∴=-==x x x x f c b a . ………5分

(2) )2)(23(443)('2

+-=-+=x x x x x f ，令0)('=x f 得.23

2-==

x x 或

………7分 列下表：

因此，)(x f 的极大值为13)2(=-f ，极小值为27

95)32(=f ， 又)(,4)1(,8)3(x f f f ∴==- 在]1,3[-上的最大值为13.……10分

（3）)(x f y =在]1,3[-上单调递增，又b ax x x f ++=23)('2

，

由（1）知b bx x x f b a +-=∴=+23)('.02，依题意在]1,2[-上恒有0)('≥x f ，即

032≥+-b bx x 即2

3)1(x x b ≤-在]1,2[-上恒成立.当1=x 时恒成立；当

)1,2[-∈x 时，)0,3[1-∈-x ，此时6

1

3)1(31

32

+-+

-=-≥

x x x x

b ……12分

而))0,3[1(613)1(3-∈--≤-+

-x x x 当且仅当0=x 时成立

061

3)1(3≤+-+

-∴x x 要使61

3)1(3+-+-≥x x b 恒成立，只须0≥b .……14分