数理统计典型例题分析
典型例题分析
例1．分别从方差为20和35的正态总抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第二个样本方差两倍的概率的范围。
解 以21
S 和22
S 分别表示两个（修正）样本方差。由22
22
12σσy x S S F =知统计量
22
2
1222175.13520S S S S F ==
服从F 分布，自由度为（7，9）。
1） 事件{}2
2
212S S =的概率 {}{}05.32035235
20222221222122
2
1
===???
????==??????===F P S S P S S P S S P
因为F 是连续型随机变量，而任何连续型随机变量取任一给定值的概率都等于0。
2） 现在我们求事件{}二样本方差两倍第一样本方差不小于第=A 的概率：
{}
{}5.322
221≥=≥=F P S S P p 。
由附表可见，自由度9,721==f f 的F 分布水平α上侧分位数),(21f f F α有如下数值：
)9,7(20.45.329.3)9,7(025.005.0F F =<<=。
由此可见，事件A 的概率p 介于0.025与0.05之间；05.0025.0<
例2．设n X X X ，，
， 21是取自正态总体),(2σμN 的一个样本，2s 为样本方差，求满足不等式
95.05.122≥???
???≤σS P 的最小n 值。
解 由随机变量2χ分布知，随机变量σ/12S n ）（-服从2χ分布，自由度
1-=n v ，于是，有
{}{}95.0)1(5.1)1(5.1)1(2,05.0222
2=≤≥-≤=?
?????-≤-=v v v P n P n S n P χχχσ 其中2v χ表示自由度1-=n v 的2χ分布随机变量，2
,05.0v χ是自由度为1-=n v 的水
平05.0=α的2χ分布上侧分位数（见附表）。我们欲求满足
2,05.015.1v n χ≥-）（
的最小1+=v n 值，由附表可见
2
26,05.0885.3839)127(5.1χ=>=-， 22505.0652.375.401265.1，）（χ=<=-。
于是，所求27=n 。
例3．假设随机变量X 在区间[]1,+θθ上有均匀分布，其中θ未知：
)(1n X X ，， 是来自X 的简单随机样本，X 是样本的均值，{}
n X X X ,,min 1)1( =是最小观察值。证明
21?1-=X θ 和 11?12+-=n X ）
（θ 都是θ的无偏估计量。
解 由X 在[]1,+θθ上均匀分布，知2/)12(+==θEX EX i 。 1） 由
θθθθ=-+=-+=-=∑∑==2
121212221211?111n i n i i n EX n E ， 可见1?θ是θ的无偏估计量。
2） 为证明2?θ是θ的无偏估计。我们先求统计量)1(X 的概率分布。
{}??
?
??>+≤≤-<=≤=。若，；若；若）（111,,0θθθθθx x x x X P x F
其密度为
?
??+≤≤=。其他，
若,01,1)(θθx x f
由于n X X ，，
1独立且与X 同分布，知)1(X 的分布函数为 {}{}{}x X x X P x X P x X P x F n >>-=>-=≤=,,111)1()1(1 ）
（）（ {}{}x X P x X P n >>-= 11 []n
x F )(11--=；
[])1()1()()(1)()(1
1
)1()1(+≤≤-+=-='=--θθθx x n x f x F n x F x f n n
于是，有
?
?
+-+-+==1
11)1()1()1()(θθ
θθ
θdx x x n dx x xf EX n
?
?
+-+-+++-+-+=111
)1)(1()1()1(θθ
θθ
θθθθdx x n x d x n n n
θθ++=
??
? ??
+++-=11111n n n n 。 θθ=+-=1
1
?)
1(2n EX E ， 从而2?θ是θ的无偏估计。
在证2?θ的无偏估计时，先求估计量分布再求其数学期望。此外，下面将看到，1?θ是矩估计量，)1(X 是最大似然估计量。
3） 有效性的验证，即验证两个无偏估计量哪一个更有效（方差较小），只需 计算它们的方差并加以比较，验证估计量的最小方差超出了本课程的要求。读者只需了解一些常用的最小方差估计量。例如，对于正态分布总体),(2σμN ，样本
均值X 和修正样本方差2S 相应为μ和2σ的最小方差无偏估计量；事件频率n p
?
是它的概率p 的最小方差无偏估计量。 如果要求有效率，则用公式
)?()(0θ
θD D 计算，其中()2
),(ln 1
)()?(??
?
?????=≥θθθθx f nE D D ——称为罗.克拉美不等式。
例4．设总X 服从正态分布），（2
0σμN ，其中方差20σ为已知常数；关于未
知数学期望μ有两个二者必居其一的假设： 1100μμμμ==：，：H H ，
其中0μ和1μ都有已知常数，并且10μμ<。根据来自总体X 的简单随机样本
n X X X ，，， 21，确定假设0H 的α水平否定域（即拒绝域），并计算第二类错误
概率。
解 取统计量 n
X U 0
σμ-=
做检验的统计量。在假设00μμ=：H 成立的条件下，），（10~N U 。 由于
{}{}{}{}ααααα=≤=-≤=≥=≥-122u U p u U P u U P u U P 。 所以以下四种都是假设0H 的水平α的否定域： {}{}αα221u U V u U V ≥=≥=；； {}{}αα-≤=-≤=1423u U V u U V ；， 其中αu 是标准正态分布α水平双侧分位数（见附表）。
在假设11:μμ=H 成立的条件下，统计量)1,(~?N U ，其中
001/)(σμμ-=?n 。因此，以)4,3,2,1(=i V i 为假设否定域的检验的第二类错误概率为：
{}{}??--
=
===i
V x i i dx e V P H V P 2
)(112
21
π
μμβ。
特别（设)(x Φ是标准正态分布函数）
1)()(21
21
2
2
)(12
2
-?-Φ+?+Φ==
=???
-?
---?--
ααμπ
π
βαμα
α
u du e dx e
u u u u u x ；
)(21
22
)(222
?-Φ==?∞
-?--
αα
πβu dx e
u x ； )(21
22
)(322
?+Φ==
?∞
+-?--
αα
π
βu dx e
u x ；
)()(221
21112
)(2
)(412
12
?-Φ-?+Φ-=+
=
--∞
+?--∞
-?--
??--ααμπ
π
βα
α
u dx e
dx e
u x u x 。
为了便于比较，设91101.0010=====n ；，，，σμμα，则
13.0,28.1,65.1,39.02.01.0====?u u u 。查附表并经计算，容易得到
9988.09999.00427.00855.04321====ββββ，，，。
计算结果表明，尽管四个检验的一类错误的概率都等于1.0=α，但它们的第二类错误的概率却不相同。以2V 为否定域的检验的第二类错误的概率最小，为我们所选用。
例5．对二项分布),(p n B 作统计假设 3.0:,6.0:10==p H p H 。 假设0H 的否定域取为
{}{}21c c V n n ≥≤=μμ ，
其中n μ表示n 次试验中成功的次数。对（1）;3,9,1,1021====n c c n μ （2）6,17,7,2021====n c c n μ，求显著性水平α和第二类错误的概率β。
解 （1）显著性水平α是第一类错误的概率，于是 {}{}6.00=∈=∈=p V P H V P n μμα
0479.04.06.04
.06.010
9
10101
1010
≈+=∑∑=-=-i i i i
i i
i
i C C 。 {}{}111H V P H V P n n ∈-=∈=μμβ {}3.01=∈-=p V P n μ 8506.07.03.07
.03.0110
910101
01010
≈--=∑∑=-=-i i i i
i i
i
i
C C 。 （2）
{}{}6.00=∈=∈=p V P H V P n n μμα 0370.04.06.04
.06.020
17207
02020
≈+=∑∑==-i i i i
i i
i
i
C C 。 {}{}3.011=∈-=∈=p V P H V P n n μμβ 2277.07.03.07
.03.0120
1720207
02010
≈--=∑∑=-=-i i i i
i i
i
i
C C 。 例6．谋装置的平均工作温度据制造厂家称不高于190℃。今从一个由16台装置构成的随机样本册的工作温度的平均值和标准差分别为195℃和8℃。根据这些数据能否说明平均工作温度比制造厂所说的要高？设05.0=α，并假定工作温度服从正态分布。
解 设工作温度为X ，根据题设),(~2σμN X 。考虑假设 190,190:10>≤H H μ 由于总体方差2σ未知，故用t 检验。
这里,151,16=-==n v n 对给定的05.0=α，查表得75.15.1,1.0,20==t t v 。于是由表情形知假设0H 的否定域为
{}75.1≥=t V 。
由条件和0H 知8,195,1900===S X μ，因此
5.216
/8190195=-=
t 。
由于75.15.2>=t ，所以否定域假设0H ，说明平均工作温度比制造厂说的要高。
例7 某电话交换台在一小时（60分钟）内每分钟接到电话用户的呼唤次数
有如下纪录：
问统计资料是否可以说明，每分钟电话呼唤次数服从泊松分布？（）
05.0=α 解 设X 表示每分钟电话呼唤次数，需要检验的假设 X H ：0服从泊松分布。 泊松分布中未知参数λ的最大似然估计为
∑===6
2601?k k kv λ。 我们用
)6,,1,0(!
2? ==-k e k p
k k k
估计概率{})6,,1,0( ===k k X P p k ；用)4,3,2,1,0(?==k p
n E k k 估计{}k X =的期望频数。为避免期望频数太小，将呼唤次数为5和6的情况，合并为5≥X 的情况，为第6组：其实际频数为2+1=3，期望频数为 16.3)(655=+=p p n E 。
计算结果列入下表：
所以统计量
1762.0)(5
02
2
=-=∑=k k
k k E E v χ。
统计量2χ的自由度16-
-=m v ，其中1=m 是用到参数估计值的个数，故4=v 。
对于， 05.0=α，查表得488.92
4,05.0=χ；假设0H 的否定域为
{}488.92≥=χV 。
由于2χ=0.1762<9.488,所以不否定假设0H ，即可以认为电话呼唤次数服从泊松分布。
例8 对200个电池左寿命试验，得如下统计分布：
试求所得统计分布与指数分布的拟合优度。
解 设X 表示电池的寿命，需要检验假设X H :0服从指数分布。指数分布中未知参数λ需要用其最大似然估计X /1=λ来估计。在这里
5)15.2725.2245.17155.12455.71335.2(200
1
=?+?+?+?+?+?=
X 。 所以5/1?=λ。在5/1:0服从指数分布，参数为“X H ”
成立前提下，观察值落入各组的概率
{})6,,2,1(5
1?5
5
5
111 =-==≤=-
-----?i e
e
dx e u X u P p
i i i
i u u u u x
i i i 。
计算结果列入下表：
所以统计量
∑=-=6279.1)(2
2
i
i i E E v χ。
统计量2χ的自由度4116=--=v ，查表得24,94.0χ=1.064，195.22
4,7.0=χ。由于
1.064<1.6297<
2.195,的可得统计分布与指数分布的拟合优度不小于0.70。
例9设随机变量X 和Y 相互独立，),(~),,(~2
2
2211σμσμN Y N X 。1621,,,X X X
是X 的一个样本，1021,,,Y Y Y 是Y 的一个样本，测得数据
∑∑∑∑========10
1
2101
161
216
1
72,18,563,84i i i i i i i i
y y x x
（1）分别求21,μμ的矩估计量；（2）分别求2
221σσ，的极大似然估计值； （3）在显著水平05.0=α下检验假设 22210σσ≤：H ，2
2211σσ>：H 。
解 （1）用样本一阶原点矩估计总体一阶矩，即得1μ和2μ的矩估计值：
8.1101?,25.5161?10
1
21611=====∑∑==i i i i y x x μμ
。 （2）正态总体),(~2σμN X 的参数2σ的极大似然估计量为
∑=-==n i i X X n 1
22
)(1?σ。因此2
221σσ和的极大似然估计值为
625.716161)(161?1611222
21
=??
? ??-=-==∑∑==i n i i i x x x x σ
96.316101)(101?1011222
22
=??
? ??-=-==∑∑==i n i i i y y y y σ
（3）是21,μμ未知，双总体方差的假设检验。待检假设2
2210σσ≤：H ；
2
2211σσ>：H ，是在05.0=α下的单侧检验。
因为4.4)(91,31.8)(1511
21221221
=-==-=∑∑==n i n i i y y S x x S 。所以F 同机量得
值
847.14.415
.822
21===S S F
查F 分布表，得01.391505
.0=），（F .经比较知，01.3)9,15(847.105.0=<=F F ，故接 受0H ，认为2
221σσ不比大。
例10 有三台机器，生产同一种规格的铝合金薄板，测量三台机器所生产的 薄板厚度（单位：厘米），得结果如表所示。
机器1 机器2 机器3 0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243
0.261
0.262
试考察机器对薄板厚度有无显著的影响）
（05.0=α。 解 检验假设3210μμμ==：H 。i μ是各台机器生产的薄板总体的均值。 经计算15,5,3321=====n n n n s ，
8102.4,8.3,963912.03
1
2315
1
2
===∑∑∑=?==j j j i ij
T T x
。
3
001245.015
12
3
15
1
2
=-
=∑∑==T x S j i ij T ， 3
001053.015
151312
2 =-=∑=?j j A T T S , 000192.0=-=E T E S S S .
列出方差分析表如下
因为92.3293.821205
.0=<=比），（F F ，故拒绝0H ，认为各台机器生产的薄板厚度有显著差异。
在进行方差分析时，还常要对未知参数进行估计。下面写出常用的几个估计：
①s
n S E
-=2?σ
是的无偏估计。 ②j j x x ?==μμ
?,?分别是j μμ,的无偏估计。
③x x j j -=?σ
?是j δ的无偏估计，且∑=0j j n δ。 ④两总体),.(2σμj N 与),(2σμK N 的均差值k j μμ-的置信度为α-1的置信区间为
))11()((k j E k j n n S s n t x x +--??α 。
例11 求上例中未知参数j j δμσ，，2的点估计及均值差的置信度为0.95的 置信区间。
解 000016.03
15000192
.0?2=-=-=s n S E σ
， 262.0??256.0?240.0?332211======???x x x μμμ
，，， 011.0?253.0?1
-=-===?x x x δμ，， 又由1788.2315025
.0=-）（t ， 36
10256.15
2
10
1611--?=??=+k j E n n S （， 知0055.01112025.0=+k j E n n S t （）（，故323121μμμμμμ---及，的置信度为0.95的置信区间分别为
（0.242-0.256 0.0055）=（-0.0195，-0.0085）， （0.242-0.262 0.0055）=（-0.0255，-0.0145）， （0.256-0.262 0.0055）=（-0.0115，-0.0005）。
例12 某工厂在生产一种产品时使用了三种不同的催化剂和四种不同的原 料，每种搭配都做一种试验，测的产品成品的压强（单位：兆帕）数据如下表：
试在05.0=α下检验不同催化剂和原料对压强有无显著影响。
解 设i α为因素A 在水平i A 的效应，j β为因素B 在水平j β的效应。待检验 假设
032101===ααα：H ，
0432102====χβββ：H 。 因为43==s r ，，所以
67.984364
31159402
=??-
=）（T S ， 17.2543643163466412
=??-?=）（A S ，
34.693644
3147732312
=??-?=）（B S ，
16.4=--=B A T E S S S S 。
列出方差分析表如下
因为35.3376.4)6,3(16.18145.62(05.005.0=<==<=比比，），
F F F F ，所以拒绝01H 和02H ，认为催化剂和原料的影响都是显著的。
例13 设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费用（单位：千元）y 如下 所示：
求（1）关于x 的回归方程，2σ的无偏估计；
（2）检验回归是否显著，并求7=x 时，维修费用y 的0.95预测区间。 解 （1）左散点图（略），数据分布呈直线趋势。列计算表：
并计算下列数据：
，
）（1020519012
112=?-=??
? ??-=∑∑==n i i n
i i
xx x n x l 3
.12252051
3.1121111=??-=??? ????? ??-=∑∑∑===n i i n i i n
i i i xy y x n y x l 78.15255178.14012
2
11
2=?-=??? ??-=∑∑==）（n i i n
i i yy
y n y l ，
解得 23.110
3.12?===xx xy l l b
， 08.0423.15?1?1
=?-=-=∑=x b y n a
n
i i 。 所以，线性回归方程为
x y
23.108.0?+=。 2σ的无偏估计为
8837.0)3.11223.178.140(3
1)?(21?2=?-=--=xy
yy l b l n σ
。 （2）将70=x 代入回归方程得69.8?0=y
。 因为35.2)3(,5025.0==t n ，所以0y 的置信度为0.95的置信区间为
))(11?)2(?2020xx l x x n n t y
-++-±σα（ )893.11,487.5()45.194.035.269.8(=??±=。
计算t 统计量
187.13908837
.023
.1??===xx l b t σ。
因为187.131824.3)3(025.0=<=t t ，故知回归效果是显著的。
例14（单因素方差分析）下表给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活天数，问
三种菌型的平均存活天数有无显著差异？ 表4-3
6
Ⅲ型（3A ） 7 11 6 6 7 9 5 10 6
67
计算：222.6,444.7,22.7,4321====X X X X
()()8889.66)168(27
1
44894225129691271)(9111224
53351517667
,65,3622
12
322211212
3219
12
3219
1
=-++=?
?? ??-++=??? ??-==++=++=====?=∑∑∑∑∑=====r i i r i i r
i i
i
A j ij i j ij i S S S S S n n S Q SS SS SS x SS S S S x S
()6667.1788889.667778.1117778
.1112222.111253351517693
1
2
3
1=+=+==-++=-=∑∑==A E T i i i i E Q Q Q S SS Q 列成表格 如下，其中，27,3==n r 方差来源 平方和
自由度 均方 F 值 因素 8889.66=A Q
2 33.4445 7.1809 误差 7778.111=E Q
24 4.6574 总和
6667.178=T Q
26
657
.424
7778.1114445.332
8889
.6612
2==-===-=
r n Q S r Q S E E A A
1809.76574
.44445.33220===E A S S F ，查表 ()40.324,205.0=F
对给定的显著水平05.0=α，查表,40.3)24,2(05.0=F 因
40.3)24,2(1809.705.0=>=F F ，故拒绝0H ，即认为这三种不同菌型的伤寒杆菌
的平均存活天数有显著差异。
例15.（正交试验）为了制造轴承，寻求新钢种最佳等温淬火工艺。考察试验指标是径向抗压负荷与硬度，对试验指标有影响的主要因素：加热温度（单位：
C 0
）
，等温温度 （单位：C 0），淬火返修次数（单位：次），将因素列如下表。
因为是3元素3水平，选择正交表)3(49L 合适。 制定试验方案表
确定试验方案 在上表中，每一个横行就代表了一个试验条件，共有9个试验条件。等1号试验条件是：加热温度是900C 0（1A ），等温温度是250C 0（)1B ，返修次数是2次（3C ），记作为 311C B A ，类似地第2号试验条件是 ,112C B A ，第9号试验条件是333C B A 。
试验方案的实施 按正交表中的试验条件严格操作。将各次的试验结果记录
下并列如下表中。
其中 jk T ——第j 列因素水平)3,2,1(=k k ，3
jk jk T T =——第j 列因素水平k 的
3次试验指标的平均
例 ,6.194.87.55.5)(11=++=负荷T 对因素B ，有硬度25.573/)325.57(23=?=T 。
2.633
1==∑=k jk j
T S （负荷）——各因素的3个水平的负荷之和 15.5831)(3
1==∑=k jk j T S 硬度——各元素的3个水平平均硬度。
)(负荷j R ={}{}3
13
1min max ≤≤≤≤-k jk jk k T T
j R （硬度）={}{}jk k jk k T T 3
13
1min max ≤≤≤≤-
正交试验结果的分析
1. 直接看：（1）比较9次试验的负荷：抗压负荷最高的试验条件是232C B A ， 即第8号试验，其次是131C B A （第7号试验），123C B A （第6号试验），112C B A （第2号试验）。（2）再比较9次试验的硬度是：硬度的高低主要取决于等温温度，加热温度和返修次数对硬度无明显影响。综合考虑，等2号试验的条件较好。
2. 计算分析；（1）负荷
因素A 平均负荷是C T 01288067.7→= 因素B 平均负荷是27.823=T 因素C 平均负荷是87.731=T
由此分析出132C B A 是最好的试验条件。但这个条件在表中没有出现。 类似 （1）硬度——C AB 1
根据每个因素对试验指标的影响不同，区分出主次。由上表可见 主——————— 次
负荷??
?C
C A
C B 008800270次水平
因素
硬度???各水平
各水平水平因素
250C
C
A B
用极差大小来区分主次：若某因素的极差越大，则该因素对指标的影响就越 大。结果可以看出是因素B 。综合平衡考虑：硬度不能低于)(58HRC 。
在这一条件下高负荷的好水平组合为122C B A 。试验结果的分析分别在正交 表中进行。
3. 方差分析
这是3元素3水平的无重复试验设计问题。
其效应模型为
是相互独立
各约束条件ijk ijk k k j j i i
ijk
k j i ijk N Y εσεγβα
εγβαμ),,0(~0,0,023
1
31
3
1
--===++++=∑∑∑===
设921,,,Y Y Y 表示从第1号试验到第9号试验的试验指标。 具体效应模型表示如下
9
33398232871317612365322542214321332112213111εγβαμεγβαμεγβαμεγβαμεγβαμεγβαμεγβαμεγβαμεγβαμ++++=++++=++++=++++=++++=++++=++++=++++=++++=Y Y Y Y Y Y Y Y Y 检验假设 0
:0:0
:321033210232101=========γγγβββαααH H H
总离差平方()∑∑===-=4
1
9
1
2
j j i i t SS Y Y SS
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ数值分析试题及答案汇总
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
数值分析典型例题
第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
一次函数经典例题大全
一.定义型 例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知 ， ，故一次函数的解析式为y=-6x+3。 注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。 二. 点斜型 例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1)，求这个函数的解析式。 解：一次函数的图像过点(2, -1)， ，即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。 变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1，求这个函数的解析式。 三. 两点型 例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。 解：设一次函数解析式为y=kx+b，由题意得 ，故这个一次函数的解析式为y=2x+4 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数的图像过点(1, 0)、(0, 2) 有故这个一次函数的解析式为y=-2x+2 五. 斜截型 例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线；。当k1=k2，b1≠b2时，
直线y=kx+b与直线y=-2x平行，。 又直线y=kx+b在y轴上的截距为2，故直线的解析式为y=-2x+2 六. 平移型 例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为 y=kx+b， 直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行 直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1，故图像解析式为 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。 解：由题意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20 故所求函数的解析式为 Q=-0.2t+20（）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。 解：易求得直线与x轴交点为，所以，所以|k|=2 ，即 故直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4 九. 对称型 若直线与直线y=kx+b关于 （1）x轴对称，则直线的解析式为y=-kx-b （2）y轴对称，则直线的解析式为y=-kx+b （3）直线y=x对称，则直线的解析式为 （4）直线y=-x对称，则直线的解析式为 （5）原点对称，则直线的解析式为y=kx-b 例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。 解：由（2）得直线l的解析式为y=-2x-1 十. 开放型 例10. 已知函数的图像过点A(1, 4)，B(2, 2)两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。 解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得y=-2x+6 （2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以 是双曲线，解析式为 （3）其它（略）
中学物理受力分析经典例题物理受力分析
中学物理受力分析经典例题 1.分析满足下列条件的各个物体所受的力，并指出各个力的施力物体. 2.对下列各种情况下的物体A 进行受力分析 3. 对下列各种情况下的物体A 进行受力分析，在下列情况下接触面均不光滑. （1）沿水平草地滚动的足球 （3）在光滑水平面上向右运动的物体球 （2）在力F 作用下静止水平面上的物体球 （4）在力F 作用下行使在 路面上小车 V （5） 沿传送带匀速运动的物体 （6）沿粗糙的天花板向右运动的物体 F>G V （2）沿斜面上滑的物体A （接触面光滑） （1）沿斜面下滚的小球， 接触面不光滑. （3）静止在斜面上的物体 （4）在力F 作用下静止在斜面上的物体A. （5）各接触面均光滑 A 物块A （1）A 静止在竖直墙面上 v （2）A 沿竖直墙面下滑 （6）在拉力F 作用下静止在斜面上的物体A
4.对下列各种情况下的A 进行受力分析（各接触面均不光滑） 5．如图所示，水平传送带上的物体。 （1）随传送带一起匀速运动 （2）随传送带一起由静止向右起动 6．如图所示，匀速运动的倾斜传送带上的物体。 （1）向上运输 （2）向下运输 7.分析下列物体A 的受力：（均静止） （1）A 、B 同时同速向右行使向 B A F F B A （2）A 、 B 同时同速向右行使向 （4）静止的杆，竖直墙面光滑 A （5）小球静止时的结点A A （6）小球静止时的结点A A α B A B A （光滑小球A ） A α
8.如图1—13甲所示，竖直墙壁光滑，分析静止的木杆受哪几个力作用。 乙 图1—13 9.如图1—14甲所示，Ａ、Ｂ、Ｃ叠放于水平地面上，加一水平力Ｆ，三物体仍静止，分析Ａ、Ｂ、Ｃ的受力情况。 甲乙 图1—14 10.如图1—15甲所示，物体Ａ、Ｂ静止，画出Ａ、Ｂ的受力图。 图1—15甲图1—15乙 11.如图1—18所示，放置在水平地面上的直角劈M上有一个质量为m的物体，若m在其上匀速下滑，Ｍ仍保持静止，那么正确的说法是（） A.Ｍ对地面的压力等于（M+m）g B.Ｍ对地面的压力大于（M+m）g C.地面对Ｍ没有摩擦力 D.地面对Ｍ有向左的摩擦力 图1—18
数值分析典型习题资料
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ函数概念典型例题
函数概念及其表示---典例分析 例1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）. 选题理由：函数三要素。 A. 1,x y y x == B. 11,y x y = += C. ,y x y == D. 2||,y x y == 点评：有利于理解函数概念，强化函数的三要素。 变式： 1．函数f (x )= 2(1)x x x ??+? ,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）. A. 1 B .2 C. 3 D. 4 例2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ B ）. 选题理由：更好的帮助学生理解函数概念，同时也体现函数的重要表示法图像法，图形法是数形结合思想应用的前提。 变式： 1．下列四个图象中，不是函数图象的是（B ）. 2．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）. A. f ：x →y ＝ 1 2x B. f ：x →y ＝ 1 3x C. f ：x →y ＝1 4x D. f ：x →y ＝1 6 x A. B. C. D.
函数的表达式及定义域—典例分析 【例1】 求下列函数的定义域： （1）1 21 y x = +-；（2 ）y = . 选题理由：考查函数三要素，定义域是函数的灵魂。 解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞. （2 ）由30 20 x -≥??≠，解得3x ≥且9x ≠， 所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞. 选题理由：函数的重要表示法，解析式法。 变式： 1 ．函数y =的定义域为（ ）. A. (,1]-∞ B. (,2]-∞ C. 11(,)(,1]22-∞-- D. 1 1(,) (,1]2 2 -∞-- 2．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ ）. A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)- 【例2】已知函数1( )1x f x x -=+. 求： （1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式 解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1 (2)3f =-. （2）设11x t x -=+，解得11t x t -= +，所以1()1t f t t -=+，即1()1x f x x -=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等. 变式： 1．已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则f ＝______；f ［(2)f ］＝______． 2．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = . 【例 2】 已知f (x )=33x x -+?? (,1) (1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值. 选题理由：分段函数生活重要函数，是考察重点。 解：∵ 0(,1)∈-∞ ， ∴ f 又 ∵ >1， ∴ f )3)-3=2+ 12=52，即f [f (0)]=5 2 . 点评：体现了分类讨论思想。 2．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为 t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）.
物体的受力分析及典型例题
物体的受力（动态平衡）分析及典型例题 受力分析就是分析物体的受力，受力分析是研究力学问题的基础，是研究力学问题的关键。 受力分析的依据是各种力的产生条件及方向特点。 一.几种常见力的产生条件及方向特点。 1.重力。 重力是由于地球对物体的吸引而使物体受到的力，只要物体在地球上，物体就会受到重力。 重力不是地球对物体的引力。重力与万有引力的关系是高中物理的一个小难点。 重力的方向：竖直向下。 2.弹力。 弹力的产生条件是接触且发生弹性形变。 判断弹力有无的方法：假设法和运动状态分析法。 弹力的方向与施力物体形变的方向相反，与施力物体恢复形变的方向相同。 弹力的方向的判断：面面接触垂直于面，点面接触垂直于面，点线接触垂直于线。 【例1】如图1—1所示，判断接触面对球有无弹力，已知球静止，接触面光滑。图a 中接触面对球 无 弹力；图b 中斜面对小球 有 支持力。 【例2】如图1—2所示，判断接触面MO 、ON 对球有无弹力，已知球静止，接触面光滑。水平面ON 对球 有 支持力，斜面MO 对球 无 弹力。 【例3】如图1—4所示，画出物体A 所受的弹力。 a 图中物体A 静止在斜面上。 b 图中杆A 静止在光滑的半圆形的碗中。 c 图中A 球光滑，O 为圆心，O ＇为重心。 【例4】如图1—6所示，小车上固定着一根弯成α角的曲杆，杆的另一端固定一个质
量为m 的球，试分析下列情况下杆对球的弹力的大小和方向：（1）小车静止；（2）小车以加速度a 水平向右加速运动；（3）小车以加速度a 水平向左加速运动；（4）加速度满足什么条件时，杆对小球的弹力沿着杆的方向。 3.摩擦力。 摩擦力的产生条件为：（1）两物体相互接触，且接触面粗糙；（2）接触面间有挤压；（3）有相对运动或相对运动趋势。 摩擦力的方向为与接触面相切，与相对运动方向或相对运动趋势方向相反。 判断摩擦力有无和方向的方法：假设法、运动状态分析法、牛顿第三定律分析法。 【例5】如图1—8所示，判断下列几种情况下物体A 与接触面间有、无摩擦力。 图a 中物体A 静止。图b 中物体A 沿竖直面下滑，接触面粗糙。图c 中物体A 沿光滑斜面下滑。图d 中物体A 静止。 图a 中 无 摩擦力产生，图b 中 无 摩擦力产生，图c 中 无 摩擦力产生,图d 中 有 摩擦力产生。 【例6】如图1—9所示为皮带传送装置，甲为主动轮，传动过程中皮带不打滑，P 、Q 分别为两轮边缘上的两点，下列说法正确的是：（ B ） A ．P 、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相反 B ．P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相反， Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相同 C ．P 点的摩擦力方向与甲轮的转动方向相同， Q 点的摩擦力方向与乙轮的转动方向相反 D ．P 、Q 两点的摩擦力方向均与轮转动方向相同 【例7】如图1—10所示，物体A 叠放在物体B 上，水平地面光滑，外力F 作用于物体B 上使它们一起运动，试分析两物体受到的静摩擦力的方向。
华南理工大学数值分析试题-14年下-C
华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。
（1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。
（1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。
数值分析典型例题
第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3
X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。
数值分析典型例题
数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0(