中考数学专题题库∶锐角三角函数的综合题
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,△ABC 内接于⊙O ,2,BC AB AC ==,点D 为AC 上的动点,且10
cos B =. (1)求AB 的长度;
(2)在点D 运动的过程中,弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ,问AD?AE 的值是否变化?若不变,请求出AD?AE 的值;若变化,请说明理由.
(3)在点D 的运动过程中,过A 点作AH ⊥BD ,求证:BH CD DH =+.
【答案】(1) 10AB ;(2) 10AD AE ?=;(3)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G ,由垂径定理可得BF=1,再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长;
(2)连接DG ,则可得AG 为⊙O 的直径,继而可证明△DAG ∽△FAE ,根据相似三角形的性质可得AD?AE=AF?AG ,连接BG ,求得AF=3,FG=
1
3
,继而即可求得AD?AE 的值; (3)连接CD ,延长BD 至点N ,使DN=CD ,连接AN ,通过证明△ADC ≌△ADN ,可得AC=AN ,继而可得AB=AN ,再根据AH ⊥BN ,即可证得BH=HD+CD. 【详解】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G ,
∵AB=AC ,AF ⊥BC ,∴BF=CF=1
2BC=1, 在RtΔAFB 中,BF=1,∴AB=10
cos 10
BF B == (2)连接DG ,
∵AF ⊥BC ,BF=CF ,∴AG 为⊙O 的直径,∴∠ADG=∠AFE=90°, 又∵∠DAG=∠FAE ,∴△DAG ∽△FAE , ∴AD :AF=AG :AE , ∴AD?AE=AF?AG ,
连接BG ,则∠ABG=90°,∵BF ⊥AG ,∴BF 2=AF?FG , ∵22AB BF -=3,
∴FG=
13
,
∴AD?AE=AF?AG=AF?(AF+FG)=3×10
=10;
3
(3)连接CD,延长BD至点N,使DN=CD,连接AN,
∵∠ADB=∠ACB=∠ABC,∠ADC+∠ABC=180°,∠ADN+∠ADB=180°,
∴∠ADC=∠ADN,
∵AD=AD,CD=ND,
∴△ADC≌△ADN,
∴AC=AN,
∵AB=AC,∴AB=AN,
∵AH⊥BN,
∴BH=HN=HD+CD.
【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.
2.如图,在⊙O的内接三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D,垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.
(1)求证:△PAC∽△PDF;
(2)若AB=5,,求PD的长;
(3)在点P运动过程中,设=x,tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围)
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)应用圆周角定理证明∠APD=∠FPC,得到∠APC=∠FPD,又由∠PAC=∠PDC,即可证明结论.
(2)由AC=2BC,设,应用勾股定理即可求得BC,AC的长,则由AC=2BC得
,由△ACE∽△ABC可求得AE,CE的长,由可知△APB是等腰直角三角形,从而可求得PA的长,由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,从而求得DF的长,
由(1)△PAC∽△PDF得,即可求得PD的长.
(3)连接BP,BD,AD,根据圆的对称性,可得,由角的转换可得
,由△AGP∽△DGB可得,由△AGD∽△PGB可得,两式相乘可得结果.
试题解析:(1)由APCB内接于圆O,得∠FPC=∠B,
又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,∴∠APD=∠FPC.
∴∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD.
又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF.
(2)连接BP,设,∵∠ACB=90°,AB=5,
∴.∴.
∵△ACE∽△ABC,∴,即. ∴.
∵AB⊥CD,∴.
如图,连接BP,
∵,∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB=45°,.
∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.
由(1)△PAC∽△PDF得,即.
∴PD的长为.
(3)如图,连接BP,BD,AD,
∵AC=2BC,∴根据圆的对称性,得AD=2DB,即.
∵AB⊥CD,BP⊥AE,∴∠ABP=∠AFD.
∵,∴.
∵△AGP∽△DGB,∴.
∵△AGD∽△PGB,∴.
∴,即.
∵,∴.
∴与之间的函数关系式为.
考点:1.单动点问题;2.圆周角定理;3.相似三角形的判定和性质;4.勾股定理;5.等腰直角三角形的判定和性质;6.垂径定理;7.锐角三角函数定义;8.由实际问题列函数关系式.
3.如图,已知正方形在直角坐标系中,点分别在轴、轴的正半轴上,点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点,分别在上,且
将三角板绕点逆时针旋转至的位置,连结
(1)求证:
(2)若三角板绕点逆时针旋转一周,是否存在某一位置,使得若存在,请求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在,或
【解析】
(1)证明:∵四边形为正方形,∴
∵三角板是等腰直角三角形,∴
又三角板绕点逆时针旋转至的位置时,∴···························· 3分
(2)存在.································· 4分
∵
∴过点与平行的直线有且只有一条,并与垂直,
又当三角板绕点逆时针旋转一周时,则点在以为圆心,以为半径的圆上,························ 5分
∴过点与垂直的直线必是圆的切线,又点是圆外一点,过点与圆相切的直线有且只有2条,不妨设为和
此时,点分别在点和点,满足
·························· 7分
当切点在第二象限时,点在第一象限,
在直角三角形中,
∴∴
∴点的横坐标为:
点的纵坐标为:
∴点的坐标为··························· 9分
当切点在第一象限时,点在第四象限,
同理可求:点的坐标为
综上所述,三角板绕点逆时针旋转一周,存在两个位置,使得此时点的坐标为或································ 11分
(1)根据旋转的性质找到相等的线段,根据SAS定理证明;
(2)由于△OEF是等腰Rt△,若OE∥CF,那么CF必与OF垂直;在旋转过程中,E、F的轨迹是以O为圆心,OE(或OF)长为半径的圆,若CF⊥OF,那么CF必为⊙O的切线,且
切点为F;可过C作⊙O的切线,那么这两个切点都符合F点的要求,因此对应的E点也有两个;在Rt△OFC中,OF=2,OC=OA=4,可证得∠FCO=30°,即∠EOC=30°,已知了OE 的长,通过解直角三角形,不难得到E点的坐标,由此得解.
4.某条道路上通行车辆限速60千米/时,道路的AB段为监测区,监测点P到AB的距离PH为50米(如图).已知点P在点A的北偏东45°方向上,且在点B的北偏西60°方向上,点B在点A的北偏东75°方向上,那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内,可认定为超速?(参考数据:
3≈1.7,2≈1.4).
【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内,可认定为超速
【解析】
分析:根据点到直线的距离的性质,构造直角三角形,然后利用解直角三角形的应用,解
直角三角形即可.
详解:如图,由题意知∠CAB=75°,∠CAP=45°,∠PBD=60°,
∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°,
∵∠PHA=∠PHB=90°,PH=50,∴AH=
tan
PH
PAH
∠
33,
∵AC∥BD,∴∠ABD=180°–∠CAB=105°,∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°,
则PH=BH=50,∴3,
∵60千米/时=50
3
米/秒,∴时间
50350
3
+
3≈8.1(秒),
即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内,可认定为超速.
点睛:该题考查学生通过构建直角三角形,利用某个度数的三角函数值求出具体边长,即实际路程,并进行判断相关的量。
5.在正方形ABCD中,AC是一条对角线,点E是边BC上的一点(不与点C重合),连接AE,将△ABE沿BC方向平移,使点B与点C重合,得到△DCF,过点E作EG⊥AC于点G,连接DG,FG.
(1)如图,①依题意补全图;②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系,并证明;
(2)已知正方形的边长为6,当∠AGD=60°时,求BE的长.
【答案】(1)①见解析,②FG=DG,FG⊥DG,见解析;(2)3
BE=
【解析】
【分析】
(1)①补全图形即可,
②连接BG,由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG=GF,由正方形的对称性质得出BG=DG,得出FG=DG,在证出∠DGF=90°,得出FG⊥DG即可,(2)过点D作DH⊥AC,交AC于点H.由等腰直角三角形的性质得出DH=AH=2FG=DG=2GH=6,得出DF2DG=3Rt△DCF中,由勾股定理得出CF=3
得出结果.
【详解】
解:(1)①补全图形如图1所示,
②FG=DG,FG⊥DG,理由如下,
连接BG,如图2所示,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=45°,
∵EG⊥AC,
∴∠EGC=90°,
∴△CEG是等腰直角三角形,EG=GC,
∴∠GEC=∠GCE=45°,
∴∠BEG=∠GCF=135°,
由平移的性质得:BE=CF,
在△BEG和△GCF中,
BE CF
BEG GCF EG CG
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△BEG≌△GCF(SAS),
∴BG=GF,
∵G在正方形ABCD对角线上,
∴BG =DG , ∴FG =DG ,
∵∠CGF =∠BGE ,∠BGE+∠AGB =90°, ∴∠CGF+∠AGB =90°, ∴∠AGD+∠CGF =90°, ∴∠DGF =90°, ∴FG ⊥DG.
(2)过点D 作DH ⊥AC ,交AC 于点H .如图3所示, 在Rt △ADG 中, ∵∠DAC =45°, ∴DH =AH =32,
在Rt △DHG 中,∵∠AGD =60°, ∴GH =
3
=
323
=6,
∴DG =2GH =26, ∴DF =2DG =43, 在Rt △DCF 中,CF =(
)
2
243
6-=23,
∴BE =CF =23.
【点睛】
本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识;本题综合性强,证明三角形全等是解题的关键.
6.如图,在平面直角坐标系中,直线DE交x轴于点E(30,0),交y轴于点D(0,
40),直线AB:y=1
3
x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作
EF⊥x轴交直线AB于点F,以EF为一边向右作正方形EFGH.
(1)求边EF的长;
(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移,得到正方形E1F1G1H1,在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直,设平移的时间为t秒(t>0).
①当点F1移动到点B时,求t的值;
②当G1,H1两点中有一点移动到直线DE上时,请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积.
【答案】(1)EF=15;(2)①10;②120;
【解析】
【分析】
(1)根据已知点E(30,0),点D(0,40),求出直线DE的直线解析式y=-4
3
x+40,可
求出P点坐标,进而求出F点坐标即可;
(2)①易求B(0,5),当点F1移动到点B时,1010=10;
②F点移动到F'10t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE
上时,在Rt△F'NF中,NF
NF'
=
1
3
,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在Rt△DMH'中,
4
3
MH
EM
'
=,
t=4,S=1
2
×(12+
45
4
)×11=
1023
8
;当点G运动到直线DE上时,在Rt△F'PK中,
PK
F K'
=
1
3
,
PK=t-3,F'K=3t-9,在Rt△PKG'中,PK
KG'
=
3
1539
t
t
-
-+
=
4
3
,t=7,S=15×(15-7)=120.
【详解】
(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点E(30,0),点D(0,40),
∴
300
40
k b
b
+=
?
?
=
?
,
∴
4
3
40 k
b
?
=-
?
?
?=
?
,
∴y=﹣4
3
x+40,
直线AB与直线DE的交点P(21,12),
由题意知F(30,15),
∴EF=15;
(2)①易求B(0,5),
∴BF=1010,
∴当点F1移动到点B时,t=101010
÷=10;
②当点H运动到直线DE上时,
F点移动到F'10,
在Rt△F'NF中,
NF
NF'
=
1
3
,
∴FN=t,F'N=3t,
∵MH'=FN=t,
EM=NG'=15﹣F'N=15﹣3t,
在Rt△DMH'中,
4
3
MH
EM
'
=,
∴4
1533
t
t
=
-
,
∴t=4,
∴EM=3,MH'=4,
∴S=1451023
(12)11
248
?+?=;
当点G运动到直线DE上时,
F 点移动到F'的距离是10t , ∵PF =310, ∴PF'=10t ﹣310, 在Rt △F'PK 中,
1
3
PK F K =', ∴PK =t ﹣3,F'K =3t ﹣9, 在Rt △PKG'中,PK KG '=31539t t --+=4
3
, ∴t =7,
∴S =15×(15﹣7)=120. 【点睛】
本题考查一次函数图象及性质,正方形的性质;掌握待定系数法求函数解析式,利用三角形的正切值求边的关系,利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系,准确确定阴影部分的面积是解题的关键.
7.如图所示的是一个地球仪及它的平面图,在平面图中,点A 、B 分别为地球仪的南、北极点,直线AB 与放置地球仪的平面交于点D ,所夹的角度约为67°,半径OC 所在的直线与放置它的平面垂直,垂足为点E ,DE =15cm ,AD =14cm .
(1)求半径OA 的长(结果精确到0.1cm ,参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36)
(2)求扇形BOC 的面积(π取3.14,结果精确到1cm )
【答案】(1)半径OA 的长约为24.5cm ;(2)扇形BOC 的面积约为2822cm . 【解析】 【分析】
(1)在Rt △ODE 中,DE=15,∠ODE=67°,根据∠ODE 的余弦值,即可求得OD 长,减去AD
即为OA .
(2)用扇形面积公式即可求得. 【详解】
(1)在Rt △ODE 中,15cm DE =,67ODE ∠=?. ∵cos DE
ODE DO
∠=, ∴15
0.39
OD ≈
, ∴()384614245cm OA OD AD =-≈-≈.
., 答:半径OA 的长约为24.5cm . (2)∵67ODE ∠=?, ∴157BOC ∠=?, ∴2
360
BOC
n r S π=
扇形 2
157 3.1424.52360
??≈
()2822cm ≈.
答:扇形BOC 的面积约为2822cm . 【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用,本题把实际问题转化成数学问题,利用三角函数中余弦定义来解题是解题关键.
8.如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退,红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截,红方行驶1000米到达C 处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D 处成功拦截蓝方,求拦截点D 处到公路的距离(结果不取近似值).
【答案】拦截点D 处到公路的距离是(500+500)米.
【解析】
试题分析:过B 作AB 的垂线,过C 作AB 的平行线,两线交于点E ;过C 作AB 的垂线,过D 作AB 的平行线,两线交于点F ,则∠E=∠F=90°,拦截点D 处到公路的距离DA=BE+CF .解Rt △BCE ,求出BE=
BC=
×1000=500米;解Rt △CDF ,求出
CF=CD=500米,则DA=BE+CF=(500+500)米.
试题解析:如图,过B作AB的垂线,过C作AB的平行线,两线交于点E;过C作AB的垂线,过D作AB的平行线,两线交于点F,则∠E=∠F=90°,拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF.
在Rt△BCE中,∵∠E=90°,∠CBE=60°,
∴∠BCE=30°,
∴BE=BC=×1000=500米;
在Rt△CDF中,∵∠F=90°,∠DCF=45°,CD=BC=1000米,
∴CF=CD=500米,
∴DA=BE+CF=(500+500)米,
故拦截点D处到公路的距离是(500+500)米.
考点:解直角三角形的应用-方向角问题.
9.如图,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过点,.点为轴上一动点,过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点,.
(1)填空:点的坐标为,抛物线的解析式为;
(2)当点在线段上运动时(不与点,重合),
①当为何值时,线段最大值,并求出的最大值;
②求出使为直角三角形时的值;
(3)若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是,请直接写出此时由点,,,构成的四边形的面积.
【答案】(1),;
(2)①当时,有最大值是3;②使为直角三角形时的值为3或;(3)点,,,构成的四边形的面积为:6或或.
【解析】
【分析】
(1)把点A坐标代入直线表达式y=,求出a=?3,把点A、B的坐标代入二次函数表达式,即可求解;
(2)①设:点P(m,),N(m,)求出PN值的表达式,即可求解;②分∠BNP=90°、∠NBP=90°、∠BPN=90°三种情况,求解即可;
(3)若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h,则只能出现:在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N,在直线AB上方的交点有两个,分别求解即可.
【详解】
解:(1)把点坐标代入直线表达式,
解得:,则:直线表达式为:,令,则:,
则点坐标为,
将点的坐标代入二次函数表达式得:,
把点的坐标代入二次函数表达式得:,
解得:,
故:抛物线的解析式为:,
故:答案为:,;
(2)①∵在线段上,且轴,
∴点,,
∴,
∵,
∴抛物线开口向下,
∴当时,有最大值是3,
②当时,点的纵坐标为-3,
把代入抛物线的表达式得:,解得:或0(舍去),∴;
当时,∵,两直线垂直,其值相乘为-1,
设:直线的表达式为:,
把点的坐标代入上式,解得:,则:直线的表达式为:,
将上式与抛物线的表达式联立并解得:或0(舍去),
当时,不合题意舍去,
故:使为直角三角形时的值为3或;
(3)∵,,
在中,,则:,,
∵轴,
∴,
若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是,
则只能出现:在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点,在直线上方的交点有两个.
当过点的直线与抛物线有一个交点,
点的坐标为,设:点坐标为:,
则:,过点作的平行线,
则点所在的直线表达式为:,将点坐标代入,
解得:过点直线表达式为:,
将拋物线的表达式与上式联立并整理得:,
,
将代入上式并整理得:,
解得:,则点的坐标为,
则:点坐标为,则:,
∵,,∴四边形为平行四边形,则点到直线的距离等于点到直线的距离,
即:过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点,即:、,
直线的表达式为:,将该表达式与二次函数表达式联立并整理得:
,解得:,
则点、的横坐标分别为,,
作交直线于点,
则,
作轴,交轴于点,则:,,
,
则:,
同理:,
故:点,,,构成的四边形的面积为:6或或.
【点睛】
本题考查的是二次函数知识的综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识,其中(3)中确定点N的位置是本题的难点,核心是通过△=0,确定图中N点的坐标.
10.如图,Rt△ABC,CA⊥BC,AC=4,在AB边上取一点D,使AD=BC,作AD的垂直平分线,交AC边于点F,交以AB为直径的⊙O于G,H,设BC=x.
(1)求证:四边形AGDH为菱形;
(2)若EF=y,求y关于x的函数关系式;
(3)连结OF,CG.
①若△AOF为等腰三角形,求⊙O的面积;
②若BC=3,则
30CG+9=______.(直接写出答案).
【答案】(1)证明见解析;(2)y=1
8
x2(x>0);(3)①
16
3
π或8π或(17+2)
π;21.
【解析】
【分析】
(1)根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可;
(2)只要证明△AEF∽△ACB,可得AE EF
AC BC
=解决问题;
(3)①分三种情形分别求解即可解决问题;
②只要证明△CFG∽△HFA,可得GF
AF
=
CG
AH
,求出相应的线段即可解决问题;
【详解】
(1)证明:∵GH垂直平分线段AD,∴HA=HD,GA=GD,
∵AB是直径,AB⊥GH,
∴EG=EH,
∴DG=DH,
∴AG=DG=DH=AH,
∴四边形AGDH是菱形.
(2)解:∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵AE⊥EF,
∴∠AEF=∠ACB=90°,
∵∠EAF=∠CAB,
∴△AEF∽△ACB,
∴AE EF
AC BC
=,
∴1
2
4
x y
x
=,
∴y=1
8
x2(x>0).
(3)①解:如图1中,连接DF .
∵GH 垂直平分线段AD , ∴FA =FD ,
∴当点D 与O 重合时,△AOF 是等腰三角形,此时AB =2BC ,∠CAB =30°, ∴AB =
83
, ∴⊙O 的面积为
163
π. 如图2中,当AF =AO 时,
∵AB 22AC BC +216x +
∴OA 2
16x +, ∵AF 22EF AE +22
21182x ????+ ? ?????
∴
2162x +22
21182x ????+ ? ?????
解得x =4(负根已经舍弃), ∴AB =2
∴⊙O的面积为8π.
如图2﹣1中,当点C与点F重合时,设AE=x,则BC=AD=2x,AB=2
164x
+,
∵△ACE∽△ABC,
∴AC2=AE?AB,
∴16=x?2
164x
+,
解得x2=217﹣2(负根已经舍弃),
∴AB2=16+4x2=817+8,
∴⊙O的面积=π?1
4
?AB2=(217+2)π
综上所述,满足条件的⊙O的面积为16
3
π或8π或(217+2)π;
②如图3中,连接CG.
∵AC=4,BC=3,∠ACB=90°,∴AB=5,
∴OH=OA=5
2
,
∴AE=3
2
,
∴OE=OA﹣AE=1,
∴EG=EH
2
5
1
2
??
-
?
??
21
2
,
∵EF =18x 2=98
, ∴FG
=
2﹣98,AF
158,AH
,
∵∠CFG =∠AFH ,∠FCG =∠AHF , ∴△CFG ∽△HFA , ∴
GF CG
AF AH
=,
∴
928158-= ∴CG
,
∴
=
.
故答案为
【点睛】
本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.
中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3 AB DE ADE ===≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ,随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. (1)求之间的距离 (2)求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】(1)120米;(223. 【解析】 【分析】 (1)解直角三角形即可得到结论; (2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D ,于是得到'60A E AC ==, '30CE AA ==3Rt △ABC 中,求得33,然后根据三角函数的定义即可得到结论. 【详解】 解:(1)由题意得:∠ABD=30°,∠ADC=60°, 在Rt △ABC 中,AC=60m , ∴AB=sin 30AC ?=6012 =120(m ) (2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D , 则'60A E AC ==, '30 CE AA ==3 在Rt △ABC 中, AC=60m ,∠ADC=60°, ∴33∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值. 例1 如图1,在△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5,则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练: 1.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB 5,则tan A 的值为 ( ) A . 5 B 25 C .1 2 D .2 二、参数(方程思想)法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题. 例2 在△ABC 中,∠C =90°,如果tan A =5 12,那么sin B 的值是 . 对应训练: 1.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5 3,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 2.已知△ ABC 中, ο 90=∠C ,3cosB=2, AC=5 2 ,则 AB= . 3.已知Rt △ABC 中,,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B .
4.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?=∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长. 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“两锐角相等,则三角函数值也相等” 来解决. 例3 在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD 是AB 边上的中线,BC =5,CD =4,则cos ∠ACD 的值为 . 对应训练 1.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径, 若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是( )A .2 3
初三锐角三角函数知识点与典型例题
锐角三角函数: 知识点一:锐角三角函数的定义: 一、 锐角三角函数定义: 在Rt △ABC 中,∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c , 则∠A 的正弦可表示为:sinA= , ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切:tanA= ,它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒:1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与 有关,与直角三角形的 无关 2、取值范围
1.已知Rt △ABC 中,,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B . 2.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?= ∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长. 3.已知:⊙O 中,OC ⊥AB 于C 点,AB =16cm ,?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ; (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC . 4. 已知A ∠是锐角,17 8 sin =A ,求A cos ,A tan 的值 对应训练: (西城北)3.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB =5,则tan A 的值为 A . 55 B .255 C .12 D .2 (房山)5.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5 3 ,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值: 1.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°.D 是AC 边上一点,DE ⊥AB 于E 点. DE ∶AE =1∶2. 求:sin B 、cos B 、tan B .
培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
锐角三角函数专题
如有帮助欢迎下载支持 锐角三角函数专题 共100分 命题人:王震宇 张洪林 一、选择题(30分) 1、如果∠A 是锐角,且A cos A sin =,那么∠A=_______。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2. CD 是Rt △ABC 斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos ∠BCD=________。 A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 3、如果130sin sin 22=?+α,那么锐角α的度数是________。 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 4、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是________。 A. 32B sin = B. 32B cos = C. 3 2 B tan = 5、在Rt △AB C 中,如果各边长度都扩大2倍,那么锐角A 的正切值( ) A. 没有变化 B. 扩大2倍 C.缩小2倍 D. 不能确定 6、 在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,则sin A 的值等于( ) A. 2 1 B. 22 C. 2 3 D. 1 7、已知α为锐角,下列结论 ①1cos sin =+αα ②如果?>45α,那么ααcos sin > ③如果2 1 cos > α,那么?<60α ④ααsin 1)1(sin 2-=- 正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、 △ABC 中,∠C =90°,53 sin = A ,则BC ∶AC 等于( ) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 3∶5 D. 4∶5: 9、 如果α是锐角,且5 4 sin = α,那么)90cos(α-?=( ) A. 54 B. 43 C. 53 D. 5 1. 10、如右图,CD 是平面镜,光线从A 点出发经过CD 上点E 反射后照射到B 点,若入射角为α(入射角等于反射角),AC ⊥CD ,BD ⊥CD ,垂足分别为C 、D ,且AC =3,BD =6,CD =11,则tan α的值为( )