人教版八年级下19.1.1变量与函数教学设计2

变量与函数教学设计

一、课程说明

函数是数学中最重要的基本概念之一，它揭示了变量之间存在这某种具体的联系。是研究这种在变化中各个变量的关系的非常重要的工具。在数学中扮演可十分重要的角色。这种关系表现在变量之间的对应关系上，函数正是描述了这种关系，使得看似变化没有规律的一些量之间互相关联。以便我们发现生活中变化事物的规律并寻求方法去解决它。

这些变化通常都具有一些特点：

1.世界在不断的变化，变化的世界中存在很多变化的量。

2.在同一种变化之中，各个量的变化并不是孤立的，而是通过某种规律相互联系在一起。

3.在这些量的变化过程中，有一些量的变化受到另外一个量变化的制约，也就是说，一个

量的变化是随着另外一个量的变化而变化。

基于以上分析，本课程才从实际生活中的一些常见例子入手，来寻找这种相关联的变化。

二、课程内容

本教学内容来源于人教版初中数学义务教育课程标准实验教材八年级下册第十九章《一次函数》第一节内容《变量与函数》。本节课的内容为：变量与函数，主要讲解了变量与常量及函数的概念。本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁就简，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系。课本的引例较为丰富，但有些内容学生较为陌生，本设计只选取了其中较为简单的例子。从生活中的实际问题入手，寓教于乐，真正把实际生活中的数学和书本中的数学有机结合在一起来。

三、学情分析

“变量与函数”同学们初次接触到，学习抽象的知识难免有些难以理解，特别是定义中“唯一确定”的准确含义。学生在日常生活中也接触过两个变量的关系等生活实例。在本节教学中，从学生较为熟悉的生活实例入手，引领学生认识变量和函数的意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，借助生活实例，认识“由哪一个变量确定另一个变量？唯一确定的含义是什么？”，初步理解函数的概念。

四、教案设计

【知识与技能】

（1）初步感知用常量与变量来刻画简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量。

（2）初步理解变量与函数的关系，能举出涉及两个变量的实例，并能指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。

（3）初步理解“对应”的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系。能判断两个变量间是否具有函数关系。

【过程与方法】

借助简单实例，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性。

【情感态度观】

（1）从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。

（2）借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体验“发现、创造”数学知识的乐趣。

【变量与函数概念的核心】

两个变量间的特殊对应关系：（1）由哪一个变量确定另一个变量；（2）唯一对应关系。【教学重点】变量与常量的区别；函数的概念、自变量的取值范围。

【教学难点】对函数的概念的理解。

【教学方法与教学手段】

学法应以自主探究与合作交流为主。通过小组合作，认识“唯一确定”的准确含义。

教法采用师生互动探究式教学。函数概念具有高度的抽象性，借助学生熟悉的生活实例，引领学生经历从具体实例中抽象出常量、变量与函数的过程，初步理解抽象的函数概念。【教学过程】

生活中的一些规律：

（1）行星在宇宙的位置随时间的变化而变化；

（2）固体压强随着作用力大小的变化而变化；

（3）气温随着高度的变化而变化；

（4）汽车的行程随时间的变化而变化。

生活中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象普遍存在。

说明：从实际例子入手，开门见山，在极短的时间(一两分钟)内指明本节课的学习内容。

（一）概念的引入

1.汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为S，行驶时间为t，先填写下表，再用含t

的式子表示S ：

（1）一小时过后汽车发生的路程是________

（2）两小时过后汽车发生的路程是________

（3）三小时过后汽车发生的路程是________

（4）t小时过后汽车发生的路程是________

2.手机话费0.2元/min，假如充值100元，先填写下表，再写出通话时长和余额之间的关系：

（1）通话时长为100分钟，手机余额是___________

（2）通话时长为200分钟，手机余额是___________

（3）通话时长为300分钟，手机余额是___________

（4）最多只能通话___________分钟

（5）通话时长为x分钟，手机余额可表示为___________

在上面的两个问题中，有一些量在变化（比如时间t），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如60km/h），不变的量叫做常量。

指出前面两个问题中的涉及到的量，并指出其中的变量、常量。

1.“汽车行驶”问题中，

涉及到的量有________，其中的变量是，常量是____；

2.“手机余额”问题中，

涉及到的量有，其中的变量是，常量是。

注意：常量与变量必须依存于一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，关键看它

在这个变化过程中是否发生变化

．．．．．．。

设计意图：加强对常量、变量的理解。

（二）概念的定义

上述两个个问题中，分别涉及哪些量的关系？通过哪一个量可以确定另一个量？

答：汽车的问题中，涉及路程(60km/h)、行驶时间t、行驶路程S，时间t的变化会引起路程S的变化。手机余额问题中，涉及话费(0.2元/分钟)、充值100元、通话时长x、手机余额y，通话时长x的变化会引起手机余额y的变化。

在上面的两个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如60km/h）。并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定一个值。

以汽车问题为例，时间的变化会引起路程的变化：

当t=1时，S=60；

当t=2时，S=120；

...

时间t 取定一个值时，所得对应值S 只有一个。t 能把行驶路程S “唯一确定”。

反之，当S=60时，t 的值为1。即汽车发生路程S ，只有一个确定的时间t 与其对应。 在这个问题中，我们把路程S 称为时间t 的函数。

一般地，在一个变化过程中：

（1）如果有_____个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有 的值与之对应，称x 是 ，y 是x 的 ，或者y 是__________；

（2）如果当x=a 时，y=b ，b 叫做当x=a 时的________。

指出下面问题中的涉及到的量，并指出自变量，因变量。

购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与购买铅笔数量 n(支)的关系。

（1）总金额y 与铅笔数量n 的关系y=___________，其中自变量是 ，因变量是 ， 是 的函数；

（2）当n=100时，总金额y=______；

（3）当n=500时，总金额y=_____；

（4）当铅笔数量由100变化到500时，总金额从____ _变化到_____。

（三）实例讲解

例1 判断下列哪些是函数？

（1）34+x （2）x y =2

（3）12-=x y （4）x y =

（5）32+=x y （6）2)1(+=x y

（7）2+-=z x y （8）12+=x y

设计意图：理解函数概念的核心是“①由哪一个变量确定另一个变量；②唯一对应关系”，给定自变量x 的任意一个值就有唯一确定的y 的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”）。

例2 在函数1

2-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ） 1->x A 、 1≠x B 、 1>x C 、 11>-≠x x D 且、

例3 在函数2

1+-=x x y 中，自变量x 的取值范围是（ ） 21-≠≠x x A 且、 21-≠≤x x B 且、

21->≠x x C 且、 12 ≤

设计意图：通过设计以上两个例题，在课堂上让学生们小组讨论自变量的取值范围，充分展示以学生为主体，教师为主导的新课堂理念。让学生明白一点，自变量是不能随便取值的，而是在一定的范围内取一个确定的值，因变量都有一个唯一确定的值与其对应。

（四）练习

1. 在函数3

1-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ） 3≠x A 、 0≠x B 、 3>x C 、 3-≠x D 、

2. 在函数x

y -=11中，自变量x 的取值范围是（ ） 0≥x A 、 1±≠x B 、 10≠>x x C 且、 10≠≥x x D 且、

设计意图：通过设计以上两个练习题，让学生们在有限的课堂时间例练习，加强对自变量的取值范围意义的理解以及求法。

例4 已知函数2

1+-=x x y ， （1）当x 取2时，求函数的值。 （2）当a x =时函数值为

21，求a 的值。 设计意图：通过设计这道题，让同学们理解并掌握函数值的求法，以及已知函数值如何自变量。这类题实质上可分为一下两种提醒：（1）已知自变量求函数值。将自变量的值带入函数即可；(2)已知函数值求自变量。这种题应该是把函数值代入，建立方程，然后反解自变量即可。

（五）作业布置：

已知函数 2

11+--=x x y ， （1）当4=x 时的函数值。

x 时函数值为3，求a的值。

（2）当a

通过本题，让学生对函数值的意义及求法有了深刻的认识，也进一步深刻认识了在已知自变量的前提下如何求函数值以及已知函数值求自变量。

（六）小结

1.变量，常量

2.函数的概念：

（1）有两个变量：自变量，因变量。

（2）因变量随着自变量的变化而变化。

（3）每确定一个自变量的值，因变量都有唯一确定的值与其对应。

3.函数的实质是：自变量与因变量之间的对应关系。

4.自变量的取值范围，函数值

（及时总结归纳本堂课所学，让学生对函数的相关概念有一个确切的认识）

五、教学问题诊断分析

学生对“唯一对应关系”的理解是一个难点，特别是没有实例背景的变量间的对应关系。

应借助学生熟悉的简单实例明确研究函数的目的，理解变量间的特殊对应关系，初步理解函数的概念。函数关系的本质，是变量与变量之间的特殊对应关系。如果直接研究某个量y有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量x，而x相对于y来说，比较容易研究，从而达到研究的目的。这也是一种化繁为简的转化思想。

六、教学评价与反思

《变量与函数》的概念教学是把学生由常量教学引入变量教学，是学生数学认识上的一个大飞跃。在函数概念的教学中，应突出“变化”的思想和“对应”的思想。它刻画了客观世界事物间的动态变化和相互依存的关系，这种关系反映了运动变化过程中的两个变量之间的制约关系。如何从具体的实例中提炼出数学的素材、形式化为数学知识是教学的关键环节。从具体情境到数学知识的形式化，需要教师提出能引发学生思考、过渡到数学形式化的问题。我在学生完成问题情境的几个问题后，提出问题“上述几个问题中，分别涉及哪些量的关系？哪些量的变化会引会另一个量的变化？通过哪一个量可以确定另一个量？”

函数定义的关键词是：“两个变量”、“唯一确定”、“与其对应”；函数的要点是：（1）有两个变量（2）一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化（3）一个变量的值确定另一个变量总有唯一确定的值与其对应。函数的实质是：两个变量之间的对应关系。最后，

我还说明了，函数的学习，是我们数学认识的第二个飞跃，代数式的学习，是数学认识的第一次飞跃：由具体的数、孤立的数到一般的具有普遍意义的数，函数的学习，是由静止的不变的数到运动变化的数。

云阳县养鹿初级中学初二（3）班张建宇

2016.4.27