陈家璧版光学信息技术原理及应用习题解答(7-8章)

第七章习题解答

1. 某种光盘的记录围为径80mm,外径180mm 的环形区域,记录轨道的间距为2um.假设各轨道记录位的线密度均相同记录微斑的尺寸为um,试估算其单面记录容量. (注: 、外径均指直径)

解：记录轨道数为 25000002

.0280

180=?-=N

单面记录容量按位计算为 ∑=?≈?+=

n n M 1

10107.10006.0)

002.040(2π bits = 17 Gb. 按字节数计算的存储容量为 2.1GB.

2. 证明布拉格条件式（7-1）等效于（7-17）式中位相失配= 0的情形，因而（7-18）式描述了体光栅读出不满足布拉格条件时的位相失配。

证明: 将体光栅读出满足布拉格条件时的照明光波长(介质) 和入射角 (照明光束与峰值条纹面间夹角)分别记为0和θ0, 则根据布拉格条件式（7-1）有: 2sin θ0= 0 其中为峰值条纹面间距.

对于任意波长a (空气中) 和入射角θr (介质), 由(7-17)式, 位相失配定义为:

24)cos(n K K a

r πλθφδ-

-= 其中n 0为介质的平均折射率, K = 2/为光栅矢量K 的大小，为光栅矢量倾斜角，其值为 2

θθφ+

r ，

为再现光束与系统光轴夹角 (参见图7-9)．

当 = 0 时,有

422cos n K K a r s r πλθπθθ=

??? ??-++ 即:

=Λ=

???

??-2422sin 0λππλθθn s r 为介质中的波长. 由于角度

r θθ-恰为照明光与峰值条纹面的夹角θ以上结果亦

即布拉格条件2 sin θ = .

当读出光偏离布拉格角θo 和布拉格波长

的偏移量分别为θ和时，有

[]0

002

000

02044sin )sin(cos )cos( 4)

()(cos n K n K K K n K K πλ

πλθθφθθφπλλθθφδ?--

?--?-=?+-

?+-=

利用布拉格条件式(7-17), 以及θ和很小时的近似关系 cos θ≈1 和 sin θ≈

θ, 立即可得:

=K sin(0) K 2/4n 0 即(7-18)式原题得证。

3. 用波长为532nm 的激光在KNSBN 晶体中记录非倾斜透射光栅,参考光与物光的夹角为30o

(空气中).欲用波长为633nm 的探针光实时监测光栅记录过程中衍射效率的变化,计算探针光的入射角.(假设在此二波长晶体折射率均为2.27) 解： 532nm 为空气中激光波长记作a 1, 在晶体外的入射角为θa 1，其在晶体中波长为1, 入射角为θ1；633nm 为空气中激光波长记作a 2, 在晶体外的入射角为θa 2，其在晶体中波长为2，入射角为θa 2。本题中涉及非倾斜光栅, 光束入射角即为与光栅峰值条纹面的夹角, 按题意, 则波长532nm 和633nm 激光应分别满足布拉格条件：

晶体中： 2sin θ1= 1 2sin θ2= 2 (1) 由折射定律，换算成空气中角度和波长为：

空气中： 2sin θa 1=a 1 2sin θa 2=a 2 (2) 由（2）式得： θa 2 = arcsin (a 2 sin15/a 1 )= arcsin (633 sin15 /532 ) = 17.936 故探针光的入射角应为17.936。 4. 为了与实验测量的选择角相比较,需要有体光栅在空气中的选择角的表达式. 试对小调制度近似(<<1),导出一个计算非倾斜透射光栅空气中的选择角的表达式 (所有角度均应为空气中可测量的值).

解：注意我们将对应着- 曲线的主瓣全宽度定义为选择角, 体光栅晶体中选择角表达式为：

)

2sin(cos 22

2?θλπνπs a nd -=?Θ

(1)

<<1时，对非倾斜透射光栅，有：

r a nd θπλνπsin 22-=?Θr

nd θλsin ≈

(2)

设空气中参考光入射角为r o , 选择角为o . 由折射定律有

sin(o +r o ) = n sin(+r ) (3) 展开为：

sin o cos r o + cos o sin r o = n (sin cos r + cos sin r ) (4)

因为o 和很小，有如下近似：cos o ≈cos /2≈1, sin o ≈o

, sin

≈. 因此(4)式可化简为：

o cos r o + sin r o = n (

cos r + sin r ) 由折射定律，有sin r o = n sin r ，可得： o = n

cos r / cos r o = n a cos r / (nd sin r cos r o )

= 2a (n 2-sin 2 r o )1/2

/ (d sin2r o )

此式可作为空气中选择角的表达式。当sin 2 r o << n 2

时,还可进一步简化为:

02020

2sin 22sin 12sin 2r a

r r a

d n n d n θ

λθθλ≈???

? ??-≈

?Θ 以最常用的铌酸锂晶体为例, n =2.2-2.3, 当

r o

< 45时, 用0

2sin 2r a

d n θλ=

?Θ估算空气中

的选择角, 误差只有5%左右.

5. 铌酸锂晶体折射率 n =2.28, 厚度d = 3mm, 全息时间常数之比τE /τW = 4, 饱和折射

率调制度n max =510-5

, 用 = 532nm 的激光在晶体中记录纯角度复用的全息图, 物光角度取为θs =30, 参考光角度围θr = 20-40. 若要求等衍射效率记录且目标衍射效率

设定为10-5

, 试分析影响存储容量的主要因素.为了提高存储容量, 应当在哪些方面予以改进?

解：本题仅涉及纯角度复用技术, 且无页面容量的数据, 故主要讨论每个空间区域复用存储的数据页面数即角度复用度. 影响存储容量的主要因素有：（1）有限的角度选择性及实际选择角增宽（2）光学系统对存储容量的限制（3）噪声对存储容量的限制

本题可近似为准对称的透射式光路，以平均的参考光角度θr =θs =30 并利用第4题的结果, 可估算出平均选择角为:

=?????==?Θ-)

60sin(31053228.222sin 26

0r a d n θλ0.0535

由光学系统决定的参考光入射角围=20, 故允许的角度复用度为：

M a =20/0.0535 = 374

由于系统存在噪声, 要求有一定的目标衍射效率, 而记录材料具有有限的动态围, 因而根据(7-77)式,角度复用度限制为： M a =

min

sat cos ηθλτπτs W E d

n ?

= 4 3.14510-5

/ (53210-6

cos3010-5/2

) =1293 由以上结果可见，本题中存储容量主要受到有限的角度选择性和光学系统有限的孔径角的限制。要提高存储容量，需首先增大晶体厚度, 适当增大写入光的夹角和光学系统的孔径角, 采用较短的激光波长.

6. 用作组页器的空间光调制器为(2436)mm 2

的矩形液晶器件, 含有480640个正方形像元. 用焦距为15mm 的傅里叶变换透镜和633nm 激光记录傅里叶变换全息图, 问允许的参考光斑最小尺寸为多少?

解：空间光调制器的复振幅透过率可描述为二维rect 函数阵列. 当记录傅立叶变换全息图光路中包括空间光调制器时，4f 系统中频谱面上的频谱是与像元间距有关的sinc 函数。记录物体基本信息的必要条件是参考光光斑至少包含物体的零频和正负基频频谱。

正方形像元间距为下式所求，二者取其小： 24/480 = 0.05mm 36/640 = 0.056mm

由于黑白相邻的两个像元构成物面上最小可分辨的周期, 故方波条纹的最高频率为

f max = 1/(20.05) = 10 mm -1.

在焦距为f 的傅里叶变换透镜的频谱面上, 物体+1级频谱分量的间距为：

D H = 2 f f max = 263310-6

1510= 0.19 mm 所以，允许的参考光斑最小尺寸是直径为0.19 mm 的圆斑。

7. 用一种高级语言编写计算机程序, 计算在光折变晶体中角度复用存储100幅全息图的曝

光时间序列. 计算用到的参数为: 饱和衍射效率0.5, 目标衍射效率10-5

, 写入时间常数60s, 擦除时间常数700s. 透射式准对称光路.

解: 对于透射式准对称光路，由(7-24)和(7-26)式, 光栅衍射效率表达式为： = sin

= ???

???s nd

θλπcos sin 2

相应的折射率调制度为 n = ηπθλ1s

sin d

cos -, 则饱和折射率调制度n sat 与饱和衍射效率

sat

的关系为:

n sat =sat ηπθλ1s

sin d

cos - 而相应于目标衍射效率

的折射率调制度n 0为:

n 0 =

01s

sin d

cos ηπθλ- 由 n 0 =

n sat (1-W

t e

τ-)

可得出 t w = ?

??? ?

?----0111sin sin sin ln

ηηητsat sat W

(1)

t w 即为不会经受擦除效应的最后一个全息图(N =M )的曝光时间.

由(7-72)式, 对于足够大的N , 曝光时序的近似递推公式为:

t N =

t t E

N N τ11

1+++ (2)

或由(7-70)式, 更精确的递推公式为:

t N = τW 1

-)-exp(

)-exp(

N E

N t t t τττ++++

(3)

按(3)式建立起计算模型, 从(1)式出发, 可从后往前逆推出每个全息图的曝光时间.

应当指出的是:

a) 当计算出的t N+1足够大, (3)式右边的对数函数可能会不收敛,导致不能得出有意义的t N .

此时有意义的曝光时间个数(M-N )即为在题设条件下可以达到的角度复用度.

b) 若不指定全息图的个数, 按本题所给条件可以计算出角度复用度远大于100. 亦即本题

中的100个全息图是大量全息图序列中的最后100个, 因此可以使用近似递推公式(2)进行计算. 也就是说, 当目标衍射效率足够小时, 用(2)式计算也是相当精确的.

习题

8．1利用4f 系统做阿贝—波特实验，设物函数t （x 1，y 1）为一无限大正交光栅 ??????*?????

??*=)comb()rect()comb()rect(),(2121211111

1111b y a y b b x a x b y x t

其中a 1、a 2分别为x 、y 方向上缝的宽度，b 1、b 2则是相应的缝间隔。频谱面上得

到如图8-53（a ）所示的频谱。分别用图8-53（b ）（c ）（d ）所示的三种滤波器进行滤波，求输出面上的光强分布（图中阴影区表示不透明屏）。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

（a ）（b ）（c ）（d ）

图8.53（题8.1 图）

解答：根据傅里叶变换原理和性质，频谱函数为 T ( f x , f y ) = ? [ t ( x 1 , y 1 )] = {

11b ? [)rect(11a x ]·? [)comb(11b x ] } {2

b ? [)rect(21a y ·?

[)comb(

b y ]} 将函数展开得

T ( f x , f y ) =

{}???++++)δ()sinc()δ()sinc()sinc(1

11111111b 1

b 1-x x x f b a f b a f a b a

{

}???++++)δ()sinc()δ()sinc()sinc(2

22222222b 1

b 1-y y y f b a f b a f a b a （1）用滤波器（b ）时，其透过率函数可写为

1 f x = + 1/ b 1 f y = 0 F ( f x , f y ) =

0 f x 1/ b 1 f y = 任何值滤波后的光振幅函数为 T ·F =

[])δ()δ()sinc(1

11111b 1b 1-++x x f f b a b a 输出平面光振幅函数为 t ’（x 3，y 3）= ? -1

[ T ·F ] =

)]}(exp [)](){exp [sinc(13131111b 2-b 2x j x j b a

b a ππ+ =

)(cos )sinc(1

31111b 22x b a

b a π? 输出强度分布为

I （x 3，y 3）= )(cos )(sinc 13

21122

1b 24x b a b a π? = )cos()(sinc 1311

1b 42x b a b a π? - C 其中C 是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。

（2）用滤波器（c ）时，其透过率函数可写为

1 f x ，f y 0

F ( f x , f y ) =

0 f x = f y = 0 T ·F =

{}???+++)()sinc()()sinc(

11111111b 1

b 1-x x f b a f b a b a δδ

{

}???+++)()sinc()()sinc(

222222

2b 1

b 1-y y f b a f b a b a δδ

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