(word完整版)2017年高考全国卷文科数学第一轮复习讲义一数列

（2017 高考文科数学）2016-4-30

讲义一数列

一、高考趋势

1、考纲要求

（1）．了解数列的概念和几种简单的表示方法( 列表、图像、通项公式 ) ．（2）．了解数列是自变量为正整数的一类函数．

（3）．理解等差数列的概念．

（4）．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．

（5）．了解等差数列与一次函数的关系．

（6）．理解等比数列的概念．

（7）．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．

（8）．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．（9）．了解等比数列与指数函数的关系．

2、命题规律

数列一般在全国文科卷中平均考查分值为12 分。考察形式一般有两种，第一种是选择

题+填空题的形式，第二种是解答题的形式。并且全国文科卷解答题第一

题是数列和三角函数二选一。因此数列题在高考中属于“要尽量全部做对且

拿到满分”的“高期待值”题。

1

二、基础知识 +典型例题

1、等差数列的概念与运算

（1）．等差数列的定义

如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示．

（2）．等差数列的通项公式

如果等差数列

{ a n 的首项

为

a

1

，公差为 d，则它的通项公

式是（ n N ）

} a n a1 (n 1)d . （3）．等差中项

a b

如果 A ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．

2

（4）．等差数列的前n 项和

等差数列

{ a n 的

前

项和公

式：

n(n 1)

n(a

1

a n )

N ）n S n na1 d

（ n

}

2

2

（5）．等差数列的判定通常有两种方法：

①第一种是利用定义，an－ an－ 1＝ d(常数 ) (n≥2)，

②第二种是利用等差中项，即2an＝ an＋ 1＋an－ 1 (n≥ 2)． [ 来源学科网]

背诵知识点一：

（ 1）等差数列的通项公式：a n a1(n 1)d（ n N ）

（2）等差中项： a,b,c构成等差数列，则 a c 2b

（ 3）等差数列的前n 项和：

S n na1n(n 1) d n(a1a n )（n N ）

2 2

2

（6）．对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a1， d. 如果再给出第

三个条件就可以完成a n，a1， d， n， S n的“知三求二”问题．这体现了用方程的思想解决问

题．

考点一：等差数列通项公式及前n 项和公式

例 1、（ 15 全国卷一）已知 {a

n } 是公差

为

1

的等差数列，

S 为{ a n

}

的

前

n

项和，

若

S84S4

，

n

则

a10（）

A 、1719

C、 10

D、 12 2

B 、

2

例 2、（ 15 安徽卷）已知数列{ a n } 中，

a1 1 ， a n a n 1

1 2 ），则数列 { a

n

}

的

（ n

2

前 9 项和等于.

3

2、等差数列的性质

（1）通项推广：a n＝ a m＋ (n－ m)d，（ n N ）(d 为数列 { a n} 的公差 )．

（2）若 m＋ n＝ p＋q(m， n， p， q∈ N* )，则 a m＋ a n＝ a p＋ a q.

特别地： a1＋ a n＝ a2＋ a n－1＝ a3＋ a n－2＝?.

（3）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若m＋ n＝ 2p，则 a m＋ a n ＝ 2a p.

a1＋ an

n＝a2＋ an－

1

n＝

a3＋an－

2

n＝?.

（4） S n＝

2 2

2

（5）等差数列的单调性

①等差数列公差为 d，若 d>0，则数列递增．

②若 d<0，则数列递减．

③若 d＝ 0，则数列为常数列．

背诵知识点二：

（ 1）等差中项的性质：若 m＋ n＝p＋ q(m， n，

p，q∈ N *

m

＋ a n＝a p＋

a q

.

)，则 a

（2）等差中项的性质：若 m＋ n＝2p，则 a m＋ a n＝ 2a p . （3）等差数列的性质： a n a m (n m) d

4

考点二：等差数列中项的性质

例 3、（ 15 全国卷二）设 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和 ,若 a1 a3

a5 3 ,则 S5（）

A ． 5

B ． 7 C． 9 D． 1 1

例 4、（ 15 陕西卷）中位数为1010 的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首

项为 ________．

5

3、等比数列的概念与运算

（1）．等比数列的定义

如果一个数列从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示．

（2）．等比数列的通项公式

设等比数列

{ a n 的首项

为

1

，公比为 q，则它的

通项a n

a1q

n 1（n N ）

} a . （3）．等比中项

若 G 2ab 0 ，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．（4）．等比数列的前 n 项和公式

等比数列 { an} 的公比为 q(q≠ 0)，其前 n 项和为 Sn，

①当 q＝ 1 时， Sn＝ na1；（ n N ）

②当 q≠1时，Sn＝a1(1 q n ) a1a n q

）1 q 1

（n N

q

（5）．在涉及等比数列前n 项和公式时要注意对公

式

q 是否等

于 1 的判断和讨论．

（6）．等比数列的判定方法：

①定义法：若an＋1＝ q(q 为非零常数 )或an＝ q(q 为非零常数且n≥2)，则 { an} 是等比数列．

an a

n－1

② 中项公式法：若数列{ an} 中 an≠0且 an2＋1＝ an·an＋ 2( n∈ N * )，则数列 { an}

是等比数列．

背诵知识点三：

6

（ 1）等比数列的通项公式：a n a1q n 1（. n N ）（2）等比中项： a,b,c构成等比数列，则 a c b2

（）等比数列的

前

项

和：① 当＝

时

，＝ na ；N ）

n

n1 （ n

3 q 1 S

n ＝a1 (1 q n ) a1a n q

N ）

（ n

②当 q≠1时，

S

1 q 1 q 考点三：等比数列定义与前n 项和公式

例 5、（ 15 全国卷一）数列

a n中 a12, a n 1 2a n , S n为 a n

的前 n 项和，若

S n

126

，

则 n .

例 6、（ 12 全国卷）等比数列a n的前 n 项和为 S n ,若 S33S2 0 ,则公比 q ________

7

例 7、（ 13 全国卷一）设首项为 1，公比为错误！未找到引

用源。

的等比数列 { a n}

的前

n 项和为 S n，

则（）

A. S n 2a n 1

B. S n 3a n 2

C. S n 4 3a n

D. S n 3 2a n

例 8、（ 12 全国

卷）数列 a n 满足 a n 1 ( 1)n

a n

2n 1 ,则

a n的前 60 项和为 ( )

A.3690

B.366

0 C.1845 D.1830

8

4、等比数列的性质

（1）通项公式的推广：

a n a m q m n， (n， m∈ N* )．

（2）若 { an} 为等比数列，且k＋ l＝ m＋ n， (k， l， m， n∈ N* ) ，则 a k a l a m a n

（3）若 { an} ， { bn}( 项数相同 )是等比数列：

则{ λa n}( λ≠ 0)， { 1 } ， { a2n} ， { an·bn} ， { an} 仍是等比数列．

anbn

（4）等比数列的单调性．

a1>

0 a1<0 ①或{ an} 为递增数列；

q>1 0< q<1 a1>

或a1<0

②

{ an} 为递减数

列；

01

③q＝1{ an} 为非零常数列；

④q<0 { an } 为摆动数列．

an n－ m*

（5）＝ q (m， n∈ N )

背诵知识点四：

（ 1）等比中项的性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈ N* )，则 a k a l a m a n

9

（ 2）等比中项的性质：若 m＋ n＝ 2p，则 a m a n a p2（3）等比数列的性

质：an＝ q n－m(m，

n∈ N* ) am

考点四：等比数列中项的性质

例 9、（14 全国卷二）等差数列{ a n }的公

差是2，若 a , a , a

成等比数列，

则{ a n } 的前

n

项

2 4 8 和 S n（）

A.

n(n 1) B. n( n 1)

n(n 1) n(n 1) C. D.

2

2

例 10、（ 15 全国卷二）已知等比数列

{ a n} 满足 a 1 , a3a5 4 a4 1 ,则 a2（）

1

4

10