几何概型是高中概率部分的一个难点,高考中

几何概型“一网打尽”

姜堰市溱潼中学 刘华荣

几何概型是概率考查中的重点，在高考的填空题中考查的频率也较高，下面就所学几何概型的知识点与常见题型做一梳理.

一、知识回忆与剖析

1.几何概型的定义

设D 是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）.每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点.这时，事件A 发生的概率与d 的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d 的形状和位置无关，我们把满足这样的概率模型称为几何概型. 2.几何概型的基本特点

基本事件无限个；每个基本事件出现的可能性相等． 3.几何概型的概率

一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发

生的概率()d P A D =的测度

的测度

．（“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测

度＂分别是长度，面积和体积）.

二、常见题型梳理

1.长度之比类型

例1 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是随机的，求一个乘客等候的时间不超过7分钟的概率（停车时间不计）.

分析 每个乘客可在相邻两班车之间的任何一个时刻到达车站，因此每个乘客到达车站的时刻t 可看成是均匀落在长为10分钟的时间区间(]0,10上的一个随机点，等待时间不超过7分钟则是指落在区间(]3,10上.

解 记“乘客等候的时间不超过7分钟”为事件A ，如下图：

可设上辆汽车在时刻A 到达，而下辆汽车在时刻D 到达，线段AD 长度为10，设BD 长度为7，则乘客等候的时间不超过7分钟的时刻点必须在BD 之间，所以概率为()710

P A =

例2 在区间[]1,1-上随机取一个数x ，求cos 2x π的值介于0到1

2

之间的概率.

分析 本题涉及三角函数的值域和几何概型，几何概型测度为区间长度，D 的测度为2，d 的测度需要由

10cos 22

x π≤≤解出x 的范围.

解 记“cos 2x π的值介于0到12之间”为事件A ，由 223x πππ-≤

≤-或322x πππ≤≤解得2

13

x -≤≤-或213x ≤≤，此时区间长度为23，则()2

1323

P A ==. 评注 长度之比的类型在几何概型中比较常见，一般常见长度模型有线段的长度、时间的长度、数轴上区间的长度、圆弧的长度等，解题时要注意识别. 2.角度之比型

例3 如图所示，在等腰直角ABC △中，过直角顶点C 在ACB ∠内部做一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM AC <的概率.

分析 当AM AC =时，有ACM AMC ∠=∠，故欲使

AM AC <，应有ACM AMC ∠<∠，即所作的射线应落在ACM AMC ∠=∠时ACM ∠的内部.

解 记“AM AC <”为事件A ，在AB 上取AD AC =,连接CD ，则

A

D

000

1804567.52ACD -∠==，则00

67.53()904

P A ==. 评注 本题所求事件的本质是在ACB ∠内部做一条射线CM ，所构成的区域是一个“角”域，故应是角度之

12=-. 3.面积之比型

例4 在正方形ABCD 内任取一点,求使90APB ∠<

的概率. 分析 本题由无数个基本事件“点”构成的D 的测度为正方形的面积，而在正方形中要使得使90APB ∠<

的点所在区域落在如图的半圆之外，所以d 的测度为正方形中

除去半圆之后的面积.

解 记“90APB ∠<

”为事件A ,当90APB ∠=

时,点P 要落

在以AB 为直径的

圆上,所以要使90APB ∠<

,只要使点P 落在圆外即可.设正方形边长为1，则2

11122()=1-18

P A ππ??

- ?

??=

. 评注 多数的面积型之比的几何概型都是在指定的平面几何图形（如圆、正方形、矩形、三角形等）中构建的，

解题中只需根据题意找到符合要求的分界线即可.

例5 设点(),p q 在3,3p q ≤≤中按均匀分布出现，试求方程22210x px q +-+=的两根都是实数的概率. 分析 本题中存在两个变量，需要在直角坐标系中作出相应的平面区域，根据一元二次方程有实根的充要条件找出,p q 的约束条件，进而确定区域的测度.

解 记“方程22210x px q +-+=的两根都是实数”为

事件A ，由已知3,3p q ≤≤可知，(),p q 的点集组成了边长为6的正方形.由

方程

22

210

x px q +-+=的两根为实根有

()()2

22410p q ?=--+≥，所以221p q +≥，即当点

(),p q 落在以原点

为圆心，1为半径的单位圆所在区域外部时，方程两根均为

实数，故所求概率为

()3636

P A π

-=

. 例6 将长为1的棒任意地折成三段，求3段构成三角形的概率.

分析 本题与上面例题相比较也有两个独立的变量，可对应平面区域内点的坐标，是二维的面积型几何概型，测度为平面图形的面积，不要因为图形为线段而误认为是长度型几何概型.

解 记“3段构成三角形”为事件A ，设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为1x y --，总的基本事件构成集合(){},01,01,01x y x y x y Ω=<<<<<+<

要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即

有

()()1,1,1,

x x y y y x y x x y x y +-->??+-->?

?+>--?即121212y x x y ?

?

+>??

由图可知()14P A =. 几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验

的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。解题中须认真分清几何概型的测度，还要注意识别两个变量二维的面积之比型几何概型 巩固习题

1.平面上画了一些相距2a 的平行线,把一枚半径r a <的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任一条平行线相碰的概率.

2.在面积为S 的三角形ABC 内任选一点P ,求三角形PBC 的面积小于

2

S

的概率.

3.在区间()0,1内随机取两个数,m n ，求关于x 的一元二次方程2

0x m +=有实根的概率.

4.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时才可离去，求两人能会面的概率. 对对答案 1. a r a

-；2.34；3.18；47

16