证明圆的切线方法
证明圆的切线方法
我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：
一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于
E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.
求证：EF 与⊙O 相切.证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.
∴BD=DE
，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ，
∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF.
∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF.
∴∠OEF=900.
∴EF 与⊙O 相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
⌒
⌒
例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA 与⊙O 相切.证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E
∵AE 是⊙O 的直径，
∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900.
∴∠1+∠EAC=900.
即OA ⊥PA.
∴PA 与⊙O 相切.
证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE.
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠
BDE,
⌒
⌒
∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切.
证明一：连结OD.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵OB=OD，
∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C.
∴OD∥AC.
∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD.
∴DM与⊙O相切
证明二：连结OD，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB=AC,
∴∠1=∠2.
∵DM⊥AC，
∴∠2+∠4=900
∵OA=OD，
∴∠1=∠3.
0.D
C
即OD ⊥DM.
∴DM 是⊙O 的切线
说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.
例4
如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且
∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.
求证：DC 是⊙O 的切线证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ，
∴∠A=∠1=∠300.
∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ，
∴△OBC 是等边三角形. ∴OB=BC.
∵OB=BD ，
∴OB=BC=BD.
∴OC ⊥CD.
∴DC 是⊙O 的切线.
说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法
较好.
例5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.证明：连结OC
∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD ·OP
，
.OC
OP
OD OC 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD
于F.
求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边
FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.
证明：取FG 中点O ，连结OC.
∵ABCD 是正方形，
∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △ ∵O 是FG 的中点， ∴O 是Rt △CFG 的外心. ∵OC=OG ，
∴∠3=∠G ， ∵AD ∥BC ，
∴∠G=∠4.
∵AD=CD ，DE=DE ， ∠ADE=∠CDE=450，
∴△ADE ≌△CDE （SAS
）
∴∠4=∠1，∠1=∠3.
∵∠2+∠3=900,
∴∠1+∠2=900.
即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”
例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.
求证：AC与⊙D相切.
证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.
∵AB是⊙D的切线，
∴DE⊥AB.
∵DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=900.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
又∵BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）
∴DF=DE.
∴F在⊙D上.
∴AC是⊙D的切线
证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.
∵AB与⊙D相切，
∴DE⊥AB.
∵AB=AC，BD=CD，
l ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DE=DF.∴F 在⊙D 上.∴AC 与⊙D 相切.
说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的
性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.
例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900.
求证：CD 是⊙O 的切线.
证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足.
∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB. ∵AC ∥BD ，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.
∵∠COD=900，
∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900.
∴∠1=∠5.
∴Rt △AOC ∽Rt △BDO.
∴
.OD OC
OB AC = ∵OA=OB ， ∴
.OD
OC
OA AC = 又∵∠CAO=∠COD=900，
∴△AOC ∽△ODC ， ∴∠1=∠2.
又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD,
O
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.
∵AC，BD与⊙O相切，
∴AC⊥OA，BD⊥OB.
∵AC∥BD，
∴∠F=∠BDO.
又∵OA=OB，
∴△AOF≌△BOD（AAS）
∴OF=OD.
∵∠COD=900，
∴CF=CD，∠1=∠2.
又∵OA⊥AC，OE⊥CD，
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.
∵AC与⊙O相切，
∵AC∥BD，
∴AO⊥BD.
∵BD与⊙O相切于B，
∴AO的延长线必经过点B.
∴AB是⊙O的直径.
∴OF ∥AC ，
∴∠1=∠COF.
∵∠COD=900，CF=DF ，∴.CF CD OF ==
2
1
∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.
∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线
说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合
一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明
A 、O 、
B 三点共线.
此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.