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《三角形内角和定理的证明》教学设计

北师大八年级下册数学 6.5《三角形内角和定理的证明》教学设计 西乡三中蒲忠明 教案背景：在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的本节课教学。 教学课题：北师大八年级下册数学6.5《三角形内角和定理的证明》教材分析： (一)教材的地位和作用： 这节内容是在前面学生对“三角形内角和是180°”这个结论有了一定直观认识的基础上编排的，以往对这个结论也曾进行过简单的说理，这里则以严格的步骤演绎证明，旨在让学生从实践操作转移到理性思维上来，使学生初步掌握证明的要求和格式，促使学生养成严谨的数学思维方法，发展学生的证明素养。 三角形内角和定理从数量角度揭示三角形三内角之间的关系，是三角形的一个重要性质，既是今后几何推理的重要依据，又是计算角度的重要方法。教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；其中辅助线的作法学生第一次接触，它集中了条件、构造了新图形、形了成新关系，实现了未知与已知的转化，起到了解决问题的桥梁作用；课本议一议引导学生一题多思，体现运动变化的观点，读一读为学生认识定理的发现过程另劈蹊径，渗透极限的思想，是学生认识客观世界、不断探求新知的一种重要途径。 因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位，而且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用。 (二)教学目标：

[知识与技能目标]：掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。 [过程与方法目标]： 1、对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。 2、通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。 3、引导学生应用运动变化的观点认识数学。 [情感与态度目标]：通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。 （三）教学重难点： 本节课的重点是：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。 本节课的难点是：应用运动变化的观点认识数学。从拼图过程中发现并正确引入辅助线是本节课的关键。 教学方法：引导发现法、尝试探究法。 教学过程： 一、创设情景、提出问题： “三角形内角和是180°”一定是个真命题吗？你是怎样知道的？ （学生回答：是个真命题。是从度量、折纸、拼角得到的）。教师指出：任何实验都会有误差，即使全班同学都各自剪出了不同形状的三角形，但也不能就此说明所有的三角形都具有这一共性。那么怎样才能说明“三角形内角和是180°”的真实性呢？（ 证明）由哪些公理、定理、定义可以得到一个角或几个角的和为180°？渗透公理化的思想，自然导入三角形内角和定理证明的学习。 二、探究新知

初中数学《三角形内角和定理的证明》教案

初中数学《三角形内角和定理的证明》教案第六章证明（一） 5．三角形内角和定理的证明 一、学生知识状况分析 学生技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的，因此，学生具有优良的基础。 活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验． 二、教学任务分析 上一节课的学习中，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《三角形内角和定理的证明》旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及灵活运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是： 知识与技能：（1）掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。 （2）灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。 数学能力：用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能 力。 情感与态度：对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用． 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节：情境引入探索新知反馈练习课堂小结

第一环节：情境引入 活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理．实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果 （1）（2）（3）（4） 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？ （2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？ 活动目的： 对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定 困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明．教学效果： 说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较烂熟地说出用撕纸的方法可以验证三角形内角和定理的原因。 第二环节：探索新知 活动内容： ① 用严格的证明来论证三角形内角和定理． ② 看哪个同学想的方法最多？ 方法一：过A点作DE∥BC ∵DE∥BC DAB=B，EAC=C（两直线平行，内错角相等）

(完整版)苏教版七年级下册三角形内角和外角和.doc

一、三角形的内角和定理 三角形的内角和等于180 度。 要会利用平行线性质、邻补角、平角等相关知识推出三角形内角和定理。 注：①、已知三角形的两个内角度数，可求出第三个角的度数； ②、等边三角形的每一个内角都等于60 度； ③、如果已知等腰三角形的一个内角等于60 度，那么这个等腰三角形就是等边三角形。 ④、三角形中，有“大角对大边，大边对大角”性质，即度数较大的角，所对的边就较 长，或较长的边，所对的角的度数较大。 例：已知等腰三角形的一个内角等于70 度，则另外两个内角的度数分别是多少度? 二、三角形的外角及其性质 三角形的每一个内角都有相邻的两个外角，且这两个外角相等（对顶角相等）。一共有六个外角。 其中，从与三角形的每一个内角相邻的两个外角中各取一个外角相加（一共三个外角相加），叫三角形的外角和。 根据邻补角、三角形的内角和等相关知识，可知：三角形的外角和= 360 度。 性质 1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。 性质 2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 （常用于解决角的不等关系问题） 例：等腰三角形的一个外角等于100 度，则这个等腰三角形的三个内角分别是多少度？ 注：（ 1）、△ ABC 内有一点O，连接 BO、 CO，则有∠ BOC =∠ A +∠ ABO +∠ ACO （2）、△ ABC 内有一点 M ，连接 BM 、CM ，BO、CO 分别是∠ ABM 和∠ ACM 的平分线， 则有∠BOC =( ∠ A + ∠ BMC)/2

（ 3）、一个五角星，五个顶角的和等于180 度。 （可利用性质 1 和三角形的内角和来加以证明） （4）、BO 、CO 分别是△ ABC 的内角平分线， BO 、CO 相交于点 O，则∠ BOC = 90 ° + ∠A/2 （ 5）、BO 、CO 分别是△ ABC 的外角平分线，BO 、CO 相交于点O，则∠ BOC = 90 ° - ∠ A/2 （6）、BO 是△ ABC 的内角平分线，CO 是△ ABC 的外角平分线，BO、CO 相交于点 O， 则∠BOC = ∠ A/2 （ 7）、① 锐角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角互补； ② 直角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角相等； ③ 钝角三角形一条钝角边上的高与钝角所对最大边上的高相交所成的夹角与另一 钝角边所对的角相等，但若是两条钝角边上的高相交所成的夹角，则与第三边所对的角互补。 三、多边形及其内角和、外角和

三角形内角和定理【公开课教案】【公开课教案】

7．5 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理 1．理解并掌握三角形内角和定理及其证明过程；(重点) 2．能利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明．(难点) 一、情境导入 星期天，小明和几位同学一起做作业时，其中一位同学不小心把三角板的两个角给压断了．小明将两个角和剩余的一个角放在一起，发现这三个角之和是一个平角．我们知道一个平角是180°，即这个三角形的三个内角之和为180°，那其他的三角形也是这样吗？如何证明呢？ 下面让我们一起进入本节的学习，一起探究如何证明三角形的内角和等于180°. 二、合作探究 探究点一：三角形内角和定理 在△ABC 中，如果∠A＝1 2∠B ＝1 2 ∠C ，求∠A、∠B、∠C 分别等于多少度？ 解析：这是一道利用三角形内角和求各角度的计算题，由已知得∠B ＝∠C ＝2∠A.因此 可以先求∠A ，再求∠B 、∠C. 解：∵∠A＝12∠B ＝1 2∠C(已知)，∴∠B ＝∠C＝2∠A(等式的性质)．∵∠A＋∠B＋∠C ＝180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠A ＋2∠A＋2∠A＝180°(等量代换)．∴∠A＝ 36°，∠B ＝72°，∠C ＝72°. 方法总结：求三角形内角度数时，要充分利用各角之间的关系，用其中一个角表示另外两个角，再借助三角形的内角和定理构建方程． 探究点二：三角形内角和定理的证明 已知：如图，在△ABC 中． 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 解析：要证明三角形的内角和是180°，需要从涉及180°角的知识去考虑，涉及180°角的知识有：①平角；②邻补角；③两直线平行下的同旁内角．可从这三个方面分别考虑，

初中数学专题 三角形的内角和 练习含答案#精选.

11.2.1三角形的内角和 基础知识 一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于60° 答案：C 2.(20** 广东省梅州市) 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点、分别是边AB 、AC 上，将ABC △沿着DE 折叠压平，与重合，若A o ∠=75，则∠1+∠2=（ ） （A ）150o （B ）210o （C ）105o （D ） 答案：A 3. (20** 山东省滨州市) 一个三角形的三个内角的度数之比为372 ∶∶，则这个三角形一定是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）钝角三角形 答案：D 4. (20** 云南省昆明市) 如图，在ABC △中， 6733B C ==∠°，∠°，AD 是ABC △的角平分线，则CAD ∠的度数为（ ）． （A ）40° （B ）45° （C ）50° （D ）55° 答案：A

5. (20** 福建省漳州市) 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（） （A）45o（B）60o（C）75o（D）90o 答案：C 6. (20** 四川省绵阳市) 如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（）．A．225? B．235? C．270? D．与虚线的位置有关 答案：C 7. (20** 广西来宾市) 如图，在△ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，DE∥BC，那么∠CED的大小是（） A．40°B．60°C．120°D．140° 答案：D 8. (20** 山东省聊城市) 将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（）（A）75°（B）90°（C）105°（D）120° 答案：C 9.如图，ABCDE是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E为（）度． A．180 B．270 C．360 D．540 1 2

(完整版)三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解

三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】 要点一、三角形的内角和 1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 2.结论：直角三角形的两个锐角互余. 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是 △ABC的一个外角. 要点诠释： （1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【典型例题】 类型一、三角形的内角和 1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案与解析】 解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.

三角形三边关系、三角形内角和定理

三角形三边关系、三角形角和定理 三角形边的性质 （1）三角形三边关系定理及推论 定理：三角形两边的和大于第三边。 推论：三角形两边的差小于第三边。 （2）表达式：△ABC中，设a＞b＞c 则b-c＜a＜b+c a-c＜b＜a+c a-b＜c＜a+b （3）应用 1、给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。 方法（设a、b、c为三边的长） ①若a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a都成立，则以a、b、c为三边的长可构成三角形； ②若c为最长边且a+b＞c，则以a、b、c为三边的长可构成三角形； ③若c为最短边且c＞|a-b|，则以a、b、c为三边的长可构成三角形。 2、已知三角形两边长为a、b，求第三边x的围：|a-b|＜x＜a+b。 3、已知三角形两边长为a、b(a＞b)，求周长L的围：2a＜L＜2(a+b)。 4、证明线段之间的不等关系。 复习巩固，引入新课 1画出下列三角形是高 2、已知：如图△ABC中AG是BC中线，AB=5cm AC=3cm，则△ABG和△ACG的周长的差为多少？△ABG和△ACG的面积有何关系？ 3、三角形的角平分线、中线、高线都是（） A、直线 B、线段 C、射线 D、以上都不对 4、三角形三条高的交点一定在（） A、三角形的部 B、三角形的外部 C、顶点上 D、以上三种情况都有可能 5、直角三角形中高线的条数是（） A、3 B、2 C、1 D、0 6、判断： （1）有理数可分为正数和负数。

（2）有理数可分为正有理数、正分数、负有理数和负分数。 7、现有10cm的线段三条，15cm的线段一条，20cm的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？ 三角形三边的关系 一、三角形按边分类（见同步辅导二） 练习 １、两种分类方法是否正确： 不等边三角形不等三角形 三角形三角形等腰三角形 等腰三角形等边三角形 2、如图，从家A上学时要走近路到学校B，你会选哪条路线？ ３、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？ （1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm （3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ 应用举例1 已知△ABC中，a=6，b=14，则c边的围是 练习 １、三角形的两边为3cm和5cm，则第三边x的围是 ２、果三角形的两边长分别为７和２，且它的周长为偶数，那么第三边的长为 3、长度分别为12cm，10cm，5cm，4cm的四条线段任选三条线段组成三角形的个数为 （） A、1 B、2 C、3 D、4 4、具备下列长度的各组线段中能够成三角形的是（） A、5，9，3 B、5，7，3 C、5，2，3 D、5，8，3 应用举例2 1、已知一个等腰三角形的两边分别是8cm和6cm，则它的周长是 ______cm。 分析：若这个等腰三角形的腰长为8cm,则三边分别为8cm,8cm,6cm，满 足两边之和大于第三边，若腰长为7cm,则三边分别为6cm，6cm,8cm，也 成立。 解：这个等腰三角形的周长为22cm或20cm。 2、已知：△ABC的周长为11，AB=4，CM是△ABC的中线，△BC M的周 长比△ACM的周长大3，求BC和AC的长。 分析：由已知△ABC的周长=AB+AC+BC=11，AB=4，可得 BC+AC=7。 又△BCM的周长-△ACM的周长=(BC+CM+MB)-(AC+CM+MA)=3，而AM=MB，

三角形内角和练习题

三角形的角和练习 【例题分析】 例1. 在△ABC 中，已知∠A ＝ 21∠B ＝3 1 ∠C ，请你判断三角形的形状。 分析：三角形的形状按边分和按角分两类，本题由于不可能按边分，因此只有计算各角的度数，按角来确定形状，由于在该题中∠C 是最大的角，因此只需求出∠C 的度数即可判断三角形的形状。 例2. 如图，已知DF ⊥AB 于点F ，且∠A ＝45°，∠D ＝30°，求∠ACB 的度数。 例3. 如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝54°，求∠DAC 的度数。 例4. 已知在△ABC 中，∠A ＝62°，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，且BO 、CO 相交于O ，求∠BOC 的度数。 〖拓展与延伸〗 （1）已知△AB 中C ，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，且BO 、CO 相交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。 B C D B D C 2 4 3 1 A B C A B C A

（2）已知BO 、CO 分别是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的外角角平分线，BO 、CO 相交于O ，试探索∠BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。 （3）已知：BD 为△ABC 的角平分线，CO 为△ABC 的外角平分线，它与BO 的延长线交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 的数量关系。 由前面的探索同学们可以发现三角形三个角 （或外角）的平分线所夹的角与第三个角之间存在着一定的数量关系。 例5. 已知多边形的每一个角都等于135°，求这个多边形的边数。 例6. 一个零件的形状如图，按规定∠A ＝90°，∠B 和∠C 应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC ＝149°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。 分析：验证的关键是求出∠A 的度数，即把∠A 用已知的角∠B 、∠C 、∠BDC 联系起来，利用三角形关于角的性质就可以发现它们之间的关系 E B C E A B D E C

华东师大版七年级数学下册 三角形的内角和与外角和教案

三角形的内角和与外角和 教学目的 1．使学生在操作活动中，探索并了解三角形的内角和、外角的两条性质以及三角形的外角和． 2．能利用三角形内角和外角和以及外角的两条性质进行有关计算． 重点、难点 1．重点：掌握三角形的内角和、外角和以及外角的性质． 2．难点：在性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法． 教学过程 一、活动引入：你有什么办法可以探究它呢？ 活动内容：(1)：通过具体的度量，验证三角形的内角和 (2)方法二：剪拼法．把三个角拼在一起试试看？ 图1

图2 通过测量发现三角形的三个内角和是180°从刚才拼角的过程你能想出证明的方法吗？ 已知：△ABC ．求证：∠A +∠B +∠C =180°． 证明：如图，过A 作EF ∥BC ∴∠2=∠4(两直线平行，内错角相等) 同理：∠3=∠5(两直线平行，内错角相等) ∵∠4+∠1+∠5=180°(平角定义) ∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换) 2、 方法一：过A 点作DE ∥BC ∵DE ∥BC ∴∠DAB =∠B ，∠EAC =∠C (两直线平行，内错角相等) ∵∠DAB +∠BAC +∠EAC =180° ∴∠BAC +∠B +∠C =180°(等量代换) 方法二：作BC 的延长线CD ，过点C 作射线CE ∥BA ． ∵CE ∥BA ∴∠B =∠ECD (两直线平行，同位角相等) ∠A =∠ACE (两直线平行，内错角相等) ∵∠BCA +∠ACE +∠ECD =180° A B C D E A B C E D

∴∠A +∠B +∠ACB =180°(等量代换) 2．直角三角形两锐角之间的关系 由三角形的内角和等于180°，容易得到下面的结论： 直角三角形的两个锐角互余． 新知应用：比一比，赛一赛 (1)在△ABC 中，∠A =35°，∠B =43°，则∠C =102°． (2)在△ABC 中，∠C +∠B =140°则∠A ＝40°． (3)在△ABC 中，∠A =40°∠A =2∠B ， 则∠C ＝120°． 三角形的外角定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角． 如图，△ABC 中，∠1是一个外角． 3．三角形的外角及其性质 我们已经知道三角形的内角和等于180°．现在我们探索三角形的外角及外角的性质． 如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角． 图 8.2.6 ∠DAC 是三角形的一个外角，内角 BAC 与它相邻，内角∠B 、∠C 与它不相邻． 问：三角形的外角与和它相邻内角有什么关系？(互补) 探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系．请同学们拿出一张白纸， 在 1

四年级下册《三角形内角和》练习题

（北师大版）四年级数学下册三角形内角和 班级______姓名______ 基础达标 一、填空题。 1. 三角形按角分类分为（）三角形、（）三角形和（）三角形。 2. 锐角三角形的三个角都是（）角；直角三角形中必定有一个是（）角；钝角三角形中也必定有一个角是（）角。 3. 在三角形中，已知∠1＝55°，∠2＝48°，∠3＝（）。 4. 等腰三角的顶角是60°，它的一个底角是（），它又叫（）三角形。如果底角是70°，顶角是（）；如果底角是45°，它的顶角是（），它又叫（）三角形。 5. 任何一个三角形都具有（）特性，都有（）条高。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 等边三角形一定是锐角三角形。（） 2. 等腰三角形一定是锐角三角形。（） 3. 钝角三角形只有一条高。（） 4. 三角形的三个内角的和的大小与三角形的大小无关，都是180°。（） 5. 任何一个三角形至少有两个锐角。（） 三、根据要求做题。 1. 画出下面每个三角形指定底边上的高。 2. 根据条件画三角形。 ①两条边分别是2厘米和5厘米，它们的夹角是60°。 ②两条边都是3厘米，它们的夹角是90°。 四、∠1、∠2、∠3分别是三角形中的三个内角。 ①∠1＝140°，∠2＝25°，求∠3。 ②∠2＝65°，∠3＝73°，求∠1。

③∠1＝72°，∠2＝90°，求∠3。 拓展创新 一、求出下面各三角形中未知角的度数。 二、按要求完成下列各题。 ①如下图三角形ABC的周长是86厘米，∠B＝∠C，BC＝16厘米，求AB的长是多少厘米。 ②根据下图求出∠2和∠3各是多少度。（∠1＝60°，∠4＝125°） ③算出下图中∠1、∠2、∠3的度数，并求这三个角的度数和。

三角形的内角和与外角和教学设计

多边形的内角和与外角和 课程名称：几何 案例名：选地砖 一、案例背景 该班生源较好，主要表现在两个方面；第一是上课思路相对集中，不容易被其它同学讲话，相互干扰等外因打断自己思考问题的思路。第二发散性思维能力较强。主要表现在学生思考某一问题时能够从不同的侧面、不同的角度发表自己的看法和观点。对于同一个命题，学生能分清题设和结论部分，并有部分学生具有逆向思维能力。但在该班仍有少部分学生学习态度不够端正，学习习惯也不是很好，从而造成数学思维能力、计算能力等不是很强。 教师希望通过这堂课的学习使成绩优良的学生进一步锻炼和发展自己的思维能力，使少部分成绩较差的学生在分层教学和分小组讨论的过程中也能体会学习的乐趣，使全班同学不仅学会多边形内角和的应用，而且要学会发现问题、分析问题、研究问题和解决问题的思维方式和方法。 基于这样的现状，教师在课前做了大量的准备工作。首先布置所有同学进行《多边形内角和》的认真预习，其次，课堂上的位置也是精心编排的。让每组中都有不同层次的同学，希望培养学生的团队精神与合作意识。再次，对于课堂内容，教师进行了目标分层、问题分层、习题分层，并且该课的习题也精心设计有练习题和思考题，练习题是每位同学必须完成的，较难的思考题是选做的。教师希望学生要学会数学知识，但更重要的是学会如何学习。 二、教育过程 （一）新课导入 1、选地砖 “哦，挑那一种地砖好呢？”太太叹了口气。画面上一对年轻夫妇正在挑选装修地板的瓷砖。面对着琳琅满目的瓷砖，他们既希望色彩称心，又希望形状独特别致。 这时候，专业设计师走来向他们推荐。在初步商量之后，设计师向他们展示了三幅不同的拼花图案。 2、调查研究 T：这三幅图案是同学们在日常生活中经常可以看到的。请大家观察一下这三种图案都是由哪些基本图形组成的？有没有同学知道？ S1：第一幅图是由六边形组成的。 T：回答很好，六边形。那第二幅图呢？ S2：五边形与三角形。 T：五边形吗？也是六边形，对，还有吗？这是什么？ S1：三角形。 T：第三幅图呢？ S3：正方形。 T：（微笑）正方形。还有这是什么，几边形？ S3：六边形。 T：六边形吗？ S：八边形。 T：八边形，很好，请坐。 这三幅图我们观察出分别是由边和角相等的三角形、四边形、六边形和八边形所组成的。好，现在呢，我们以第一个图为例。（图1放大）

初二数学-三角形内角和定理及推论

初二数学 七年级第八章三角形内角和定理及推论 一、三角形三个内角的关系 三角形三个内角的和等于_____.在小学，我们已通过下列三种实验，观察猜想得到。 ⑴ 折叠 本册教材P 70图______示意。（填图序号。下同） （2）剪拼 本册教材P 70图______示意或本册教材 P 75图______示意。 （3）度量 实际上，有可能： 折叠时，边缝不易平齐，难以拼成一个平角; 剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个角； 度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是很准确地都得180°。 以致于怀疑我们的猜想：三角形的内角的和等于180°。 事实上，它是真命题，并且曾多次运用它求三角形内角的度数。要判断它的“真“，必须进 行 _________。 二、证明三角形的内角的和等于180° 1、分析 要想求得三角形的内角的和等于180°，三角形纸片的折叠、剪拼过程给我们这 样的提示： 把三角形三个分散的角，全部或部分适当地集中起来，利用平角定义或两直线平行，同 旁内角互补来证明。这就需要在原来的图形上，添画一些线，转化为易于证明的情况。 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线，叫做__________.为了区别于原图形中 的线，辅助线一般画成____线。 由剪、拼角给我们的提示，得到辅助线的添法，如图（1）、（2）、（3）、（4） 所示。 （2） （1） 图（1）：剪掉三个角，拼接在它的一边BC 上，∠B 放在∠CDF 上，∠C 放在∠BDE 上 E B C A D

图（2）剪掉两个角（∠A 与∠B ），拼接在它的顶点C 处，其中∠A 放在∠1上 图（3）剪掉两个角（∠B 与∠C ）,拼接在它的顶点A 处，∠B 放在∠BAD 上 （3） （4） 图（4）剪掉∠C 放在∠DAC 上。 作辅助线是几何证明常用的方法，在书写几何证明时，首先应该写明辅助线的画法。上面四 个图辅助线的添法，可用下面的几何语言表达： 1、作BC 的延长线CD ，在△ABC 的外部，以CA 为一边，CE 为另一边，画∠1=∠A 。< > 2、作BC 的延长线CD ，过C 点作CE ∥AB 。 < > 3、过A 点作DE ∥BC 。 < > 4、过A 点作射线AD ∥BC 。 < > 5、在BC 上任取点D ，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F 。 < > 请在上面五句话后面的< >内填上对应的图号。 2.证明： 请你根据图（4）证明“三角形的内角的和等于180°” 至此，我们明白，“三角形的内角的和等于180°”是一个真命题，并且，常被选作解决其他 问题的依据，所以课本上，把它称之为_______。 三角形内角和定理 表达式： △ABC 中 ∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理） 根据图（3），证明三角形内角和定理：______________________________________________. 三． 推论1：直角三角形的两个锐角互余。 表达式∵在Rt △ACB 中，∠C=90°（已知） ∴∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余） 推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 表达式：∵△ACB 中，∠A +∠ B=90° E B C B

(完整版)三角形内角和知识点和习题

我的学案 学员姓名：年级：四年级学校：南联课程名称：四年级数学春季班第13-14 课时教材版本：北师大版 课题名称：“三角形的内角和”复习教师姓名： 授课时间：2012 年 3 月10 日主管签名： 教学目标1、经历测量、撕拼、折叠的过程，探索并发现三角形的内角和等于180°，渗透归纳思想。 2、应用三角形内角和性质解决一些简单的实际问题，并培养应用意识， 重点难点重点：三角形的内角和等于180°。 难点：撕拼、折叠时三个内角顶点重合。 学员 上课 情况 反馈 家长 意见 家长签名：

归纳重点知识 1、三角形内角的认识。 每个三角形都有三个内角。 2、三角形的内角和等于180°。 三角形的内角和与三角形的大小、形状无关，三角形的内角和永远都是180°。 误区警示： 误区：把一个三角形缩小到原来的21，它的内角和也缩小到原来的21 。 错解分析：此题错在没有完全理解三角形内角和的特点。 正确解答：把一个三角形缩小到原来的21 ，它的内角和不变。 温馨提示： 三角形的内角和不会随着三角形的大小发生变化，三角形的内角和永远都是180°。 练一练 一、填空题 1、在△ABC 中， ∠A ＝40°，∠B ＝∠C ，则∠C ＝ ． 2、在一个直角三角形中，已知一个锐角是30°，另一个锐角是（ ）。 3、等边三角形的一个内角是（ ）。 4、等腰直角三角形的一个锐角是（ ）。 5、如果等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是（ ）。 6、在一个三角形ABC 中，∠A ＝∠B ＝45°，则△ABC 是（ ）三角形。 7、△ABC 中，若∠A ＝350,∠B ＝650,则∠C ＝（ ）；若∠A ＝1200,∠B ＝2∠C ，则∠C ＝（ ）。 8、三角形三个内角中, 最多有（ ）个直角,最多有（ ）个钝角,最多有（ ）个锐角,至少有（ ）个锐角。 9、三角形按角的不同分类，可分为（ ）三角形，（ ）三角形和（ ）三角形。 10、∠2+55°的和是一个平角，∠2=（ ）。

三角形内角和定理的证明教学设计

名师精编优秀教案 北师大八年级下册数学 6.5《三角形内角和定理的证明》教学设计 西乡三中蒲忠明 在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础教案背景：上展开的本节课教学。 北师大八年级下册数学6.5《三角形内角和定理的证明》教学课题：教材分析： (一)教材的地位和作用： 这节内容是在前面学生对“三角形内角和是180°”这个结论有了一定直观认识的基础上编排的，以往对这个结论也曾进行过简单的说理，这里则以严格的步骤演绎证明，旨在让学生从实践操作转移到理性思维上来，使学生初步掌握证明的要求和格式，促使学生养成严谨的数学思维方法，发展学生的证明素养。 三角形内角和定理从数量角度揭示三角形三内角之间的关系，是三角形的一个重要性质，既是今后几何推理的重要依据，又是计算角度的重要方法。教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；其中辅助线的作法学生第一次接触，它集中了条件、构造了新图形、形了成新关系，实现了未知与已知的转化，起到了解决问题的桥梁作用；课本议一议引导学生一题多思，体现运动变化的观点，读一读为学生认识定理的发现过程另劈蹊径，渗透极限的思想，是学生认识客观世

界、不断探求新知的一种重要途径。 因此本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位，而且对今后学习和生活都将起到重要的指导作用。 教学目标：)二( 名师精编优秀教案 [知识与技能目标]：掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。 [过程与方法目标]： 1、对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。 2、通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。 3、引导学生应用运动变化的观点认识数学。 [情感与态度目标]：通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。 （三）教学重难点： 本节课的重点是：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。 本节课的难点是：应用运动变化的观点认识数学。从拼图过程中发现并正确引入辅助线是本节课的关键。 引导发现法、尝试探究法。教学方法：教学过程： 一、创设情景、提出问题：

(完整版)三角形内角和练习题

三角形的内角和练习 例题分析】 例1. 在△ABC 中，已知∠ A＝1∠B＝1∠C，请你判断三角形的形状。 23 分析：三角形的形状按边分和按角分两类，本题由于不可能按边分，因此只有计算各角的度数，按角来确定形状，由于在该题中∠ C 是最大的角，因此只需求出∠ C 的度数即可判断三角形的形状。例2. 如图，已知DF⊥AB 于点F，且∠ A＝45°，∠ D＝30°，求∠ ACB 的度数。 例3. 如图，在△ ABC 中，∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，∠ BAC ＝54°，求∠ DAC 的度数 例4. 已知在△ ABC 中，∠A＝62°，BO、CO 分别是∠ ABC 、∠ ACB 的平分线，且BO、CO 相交于O，求∠ BOC 的度数。 〖拓展与延伸〗 （1）已知△ AB 中C，BO、CO分别是∠ ABC 、∠ ACB 的平分线，且BO、CO相交于点O，试探索∠ BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。

（2）已知BO、CO分别是△ ABC 的∠ ABC 、∠ ACB 的外角角平分线，BO、CO相交于O，试探索∠ BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。 （3）已知：BD为△ABC 的角平分线，CO为△ABC 的外角平分线，它与BO的延长线交于点O，试探索∠ BOC 与∠A 的数量关系 由前面的探索同学们可以发现三角形三个角（或外角）的平分线所夹的角与第三个内角之间存在着一定的数量关系。 例5. 已知多边形的每一个内角都等于135°，求这个多边形的边数。 例6. 一个零件的形状如图，按规定∠ A＝90°，∠B 和∠C 应分别是32°和21°，检验工人量得∠ BDC＝149°，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。 分析：验证的关键是求出∠ A 的度数，即把∠ A 用已知的角∠ B、∠ C、∠BDC 联系起来，利用三角形关于角的性质就可以发现它们之间的关系 C E

三角形的内角和与外角的性质(含答案)

1、（2011?昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（） A、45° B、60° C、75° D、85° 2、（2011?义乌市）如图，已知AB∥CD，∠A=60°，∠C=25°，则∠E等于（） A、60° B、25° C、35° D、45° 3、（2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）

A、∠2=∠4+∠7 B、∠3=∠1+∠6 C、∠1+∠4+∠6=180° D、∠2+∠3+∠5=360° 4、（2011?台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（） A、36 B、72 C、108 D、144 5、（2011?台湾）若钝角三角形ABC中，∠A=27°，则下列何者不可能是∠B的度数？（） A、37 B、57 C、77 D、97 6、（2011?宁波）如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为（）

A、57° B、60° C、63° D、123° 7、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（） A、45° B、135° C、45°或135° D、都不对 8、（2009?荆门）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（） A、40° B、30° C、20° D、10° 9、关于三角形的内角，下列判断不正确的是（） A、至少有两个锐角 B、最多有一个直角 C、必有一个角大于60° D、至少有一个角不小于60°

三角形内角和练习题(汇编)

三角形内角和练习姓名________学号_____ 一．填空题 1.等腰三角形的一个内角是94°，那么它的另外两个内角是（）和（）。 2.三角形的两个内角之和是85°，第三个角是（）°，这个三角形是（）三角形。 3.一个直角三角形的一个锐角是45°，另一个内角是（），按边分这是（）三角形。 4.三角形最多（）个直角，最多（）个钝角，最少（）个锐角。 5.已知等腰三角形的一个内角是80°，另外两个内角分别是（）、（）或（）、（）。 6.一个三角形有两个角都是45°，它按角分是（），按边分是（）。 二、选择题 1、一个三角形中，有一个角是65°，另外的两个角可能是（） A.95°，20° B.45°，80° C.55°，60° 2、一个等腰三角形，顶角是100°，一个底角是（）。 A.100° B. 40° C.55° 3、一个等腰三角形，一个底角是顶角的2倍，这个三角形顶角（）度，底角（）度。 A. 36° B.72° C.45° D.90° 4、一个三角形的最小的一个角大于45°，这个三角形一定是（）。 A.锐角三角形 B直角三角形 C 钝角三角形 5、下面说法错误的是（）。 A.一个三角形中最多有一个钝角。 B.一个三角形中最多有两个锐角。 C.两个完全一样的直角三角形能拼成一个大三角形，拼成的大三角形内角和是360度。 D.钝角三角形的两个锐角和一定小于90°。 二、下列各组角能组成三角形吗？如果能，请说明是什么三角形；如果不能，请说明理由。 1、80°，95°，5° 2、60°，70°，90° 3、30°，40°，50° 4、50°，50°，80° 5、60°，60°，60° 三、解决问题 1.某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块 形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是带( )去。为什么？ 2.已知等腰三角形的风筝，一个底角70°，顶角多少度？ 3.小刚要切一块下面这样形状的玻璃，求∠1和∠2的度数。 ③ ② ①

完整版三角形内角和定理教案

1. 如何证明这个结论的正确性? 已知：△ ABC. 求证：/ A+Z B+Z C=180 证法 证明： 在厶ABC 的外部以CA 为边 作Z ACE Z A.延长BC 至D 贝 U C E // B A （内错角相等，两直线平行） ???Z DCE Z B （两直线平行，同位角相等） vZ BCA Z ACE Z ECD=80 （平角定义） ? Z BCA +Z A + Z B=180 （等量代换） 证明： 延长BC 至D ，过C 作CE// BA. 则 Z A = Z ACE （两直线平行，内错角相等） Z B = Z ECD （两直线平行，同位角相等） vZ BCA Z ACE Z ECD=80 ? Z BCA +Z A + Z B = 180 A B C E. 证法二 B C E. 讲授新课 2.同学想一想还有没有其他的方法 证明这个结论的正确性？

证明： 过A 作EF// BC. 则Z EAB =Z B. Z FAC = Z C （两直线平行，内错角相等） vZ EAB-Z BAC Z CAF=80 ???Z B+Z BAC Z C=180 1?三角形内角和定理: 三角形的内角和等于180 即厶ABC中, / A+Z B+Z C=180 2.推论： 直角三角形中，两锐角互余。 即Rt △ ABC中Z C=90 则Z A+Z B=90 例1.在厶ABC中: ①Z A=35 Z C=90 则Z B=? 55 ②Z A=50 Z B=Z C 则Z B=? 65 ③Z A : Z B : Z C=3: 2: 1 问厶ABC是什么三角形？ 直角三角形 ④Z A- Z C =35 Z B- Z C =10 贝UZ B =? 55证法三 B C F 巩固练习

三角形内角和解答题专项练习60题(有答案)

三角形角和解答题专项练习60题（有答案） 1．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADC的度数？ 2．如图△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=36°，∠DAE=16°．求∠CAD的度数． 3．如图，已知∠CBE=96°，∠A=27°，∠C=30°，试求∠ADE的度数． 4．如图，△ABC中，BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD、CD相交于点D，求证：∠D=90°+∠A． 5．如图，在△ABC中，∠A=3x°，∠ABC=4x°，∠ACB=5x°，BD，CE分别是边AC，AB上的高，且BD，CE相交于点H，求∠BHC的度数． 6．如图，D是△ABC的BC边上一点，∠ABC=40°，∠BAC=80°．求： （1）∠C的度数； （2）如果AD是△ABC的BC边上的角平分线，求∠ADC的度数． 7．如图，在△ABC中，点D是∠ACB与∠ABC的角平分线的交点，BD的延长线交AC于E，且∠EDC=60°．求∠A的度数． 8．如图，∠A=50°∠ABC=60°． （1）若BD为∠ABC平分线，求∠BDC． （2）若CE为∠ACB平分线且交BD于E，求∠BEC． 9．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于O点． （1）若∠A=60°，求∠BOC的度数．（只需写出结果） （2）若∠A=α，求∠BOC的度数． 10．如图，已知∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∠3=∠F， （1）试判断EC与DF是否平行，并说明理由； （2）若∠ACF=110°，求∠A的度数． 11．在三角形中，每两条边所组成的角叫三角形的角，如图1，在三角形ABC中，∠B，∠BAC和∠C是它的三个角．其实，在学习了平行线的性质以后，我们可以用几何推理的方法去证明“三角形的角的和等于180°”．请在以下给出的证明过程中填空或填写理由． 证明：如图2，延长BA，过点A作AE∥BC． ∵AE∥BC（已作） ∴∠1=∠（_________ ），（_________ ）