热力学答案

《热力学?统计物理》复习材料答案

一、填空题：

1. 热力学中所特有的状态参量为 温度 ，它是实现两系统达到热平衡的充分且必要条件。

2. 整个系统在物理、化学性质上都均匀一致的系统称为 均匀系统 。

3. 热力学第一定律的数学表达式是为 dU=dQ+dW 。 4．热力学第二定律的数学表达式是T

dQ dS ≥

。 5. 体系由液体和饱和蒸汽组成，此系统包含 二 相。 6．当独立变量为S 、p 时，特性函数是 H 。

7. 一个孤立系统有α相和β相，若系统已达到热平衡和力学平衡，但β相物质迁移到α相，则化学势满足关系β相化学势大于α相化学势（ ） 。 8．一个系统在压强和温度不变的情况下，为了判别此系统是否已达到平衡态，可采用的判据为 G （吉普斯函数） 。

9.判断一个孤立系统是否已达到平衡态，可采用的判据为 S （熵） 。 10．一个系统在体积和温度不变的情况下，为了判别此系统是否已达到平衡态，可采用的判据为 自由能 。。 11．固相、液相之间的转变为_____一_______级相变。 12．气液在临界点的转变为_____二____级相变。

13．体系由三种气体按任意比例混合而成，该系统的独立强度参量数目为 4 。

14. 根据吉布斯相律，3元二相系的自由度为 3 。 15. 一级相变的克拉珀龙方程的表达式为

)

(α

βv v T L

dT dp -=。 16. 对于费米系统，给定分布{}l a 对应的微观状态数为 。

17. 对于玻色系统，给定分布{}l a 对应的微观状态数为 。

)!1(!)!1(--+∏l l l l l a a ωωβα)!(!!l l l l L a a -∏ωω

18. 对于玻尔兹曼系统，给定分布{}l a 对应的微观状态数为 。 19. 等概率原理的内容是 对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态

出现的概率都是相等的。

20. 两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a 、b 和c 中，一个粒子处在状态a ，一个粒子处在状态b ，如果它们是费米粒子，则这一分布出现的概率是 1/3 。

21．两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a 、b 和c 中，一个粒子处在状态a ，一个粒子处在状态b ，如果它们是玻耳兹曼粒子（即经典粒子），则这一分布出现的概率是 1/9 。

22. 两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a 、b 和c 中，一个粒子处在状态a ，一个粒子处在状态b ，如果它们是玻色子，则这一分布出现的概率是 1/6 。

23. 玻尔兹曼系统的最概然分布的形式是l e a l l βεαω--=。

24. 玻色系统的最概然分布的形式是

。 25. 费米系统的最概然分布的形式是 。 25. 当满足1>>αe 或者1<

l

a 条件时，玻色分布和费米分布趋向于玻尔兹曼分

布。

26. 粒子遵从玻尔兹曼分布，能量表达式为c bx ax p p p m

z y x +++++=2222)(21ε，其中

a 、

b 、

c 为常数，则粒子的平均能量为c a

b KT +-422

27. 利用能量均分定理求空窖内辐射场中具有一定波矢k 和一定偏振的单色平面波的平均能量是 KT 。

28. 平衡状态下光子气体的化学势μ等于 0 。

29. 系综的概念是指由大量结构完全相同、处于给定的相同宏观条件下彼此独立

l

a

l l l B M a N ω∏∏=Ω!..1+=+l

e a l

l βεαω1-=+l e a l

l βεαω

的假想系统的集合，其中每一个系综都与实际讨论的真实系统有相同的哈密顿，但有不同的微观状态，这种系统的集合叫统计系综。

30.玻色－爱因斯坦凝聚是粒子在动量空间的凝聚。

31. 对一个有N个分子组成的某经典气体系统，Γ空间中一

个代表点表示系统在某一时刻的微观运动状态。

32. 正则分布是具有确定的N、T、V宏观条件的系统的分布函数。

μ

33. 巨正则分布是具有确定的T、V、宏观条件的系统的分布函数。

34. 微正则分布是具有确定的N、E、V宏观条件的系统的分布函数。

二、证明题

1．根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交.

证明：假设两条绝热线可以相交,如图,可由这两条绝热线与一等温线构成一个循

环.

V

可令一可逆热机以该循环工作,即:由初态a出发经历等温膨胀过程到达b,在此

过程中热机从热源吸热且对外界作功,再由b经历绝热膨胀过程到达c, 在此过

程中热机对外界作功,最后,由c经历绝热压缩过程返回初态a.在整个循环中,热

机从单一热源吸热使之完全变成有用功(由三条线围成的封闭图形之面积)而不

引起其它变化,这就违背了开氏说法.若开氏说法正确,则两条绝热线不能相交. 2．试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。

证明：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数S P T ???

???? 和

H

P T ???

???? 描述。 0)()(

>??-??H S p

T

p T 令 )],(,[S p H p T T =

01)()()()(

>?=????=??-??V C p H H T p T p T p

S p H S 绝热膨胀制冷效果更好。

3. 有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为i T 。今令一制冷机在此两物体之间工作，使其中一个物体的温度降到2T 为止。假设物体维持在定压下，并且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需要的最小功为

)2(22

2

i i p T T T T C W -+=最小

。

证明：经过一工作循环，

一物体从初始温度为T 1降为T 2，放出的热量值和熵变分别为：

)(21T T C Q P -＝放

)l n (S 1

21T T

C P ＝?

另一物体从初始温度为T 1升为T 3（T 3为未知量）吸收的热量值和熵变分别为： )(13T T C Q P -＝吸

)ln(S 1

32T T

C P ＝?

热机工作物质恢复原状，熵变为0。

根据热力学第一定律有：)2(123T T T C Q Q W P -+=-=放吸 根据热力学第二定律有： 021≥?+?S S

1

)ln(2

1

322132≥?≥?T T T T T

T C P

2

2

13T T

T ≥?

所以此过程所需的最小功为：)2(122

2

1

min T T T T C W P -+= 4. 求证μ-??? ????V T n U ,n

V T T ,???

????-=μ

证明：自由能TS U F -=是以n V T ,,为自变量的特性函数，求F 对n 的偏导数，有

V

T V T V T n S T n U n F ,,,???

?????-??? ????=???

???? （1） 但自由能的全微分dn pdV Sdt dF μ---=

可得V T n F ,???

????=μ， V T n S T ,???

?????=-n V T ,???

????μ （2） 代入（1），即有V T n U ,???

????-μ=-T n

V T ,???

????μ

5. 固体含有A 、B 两种原子．试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为

[]()[]()()[]x x x x Nk x N Nx N k S --+-=-=1ln 1ln !

1!!

ln

其中N 是总原子数，x 是A 原子的百分比，(1一x )是B 原子的百分比．注意x <1．上式给出的熵为正值．

证明：A 、B 两种原子在晶体格点的随机分布状态数等于Nx 个A 种原子在N 个格点随即分

布的状态数：

[]()[]!

1!!

x N Nx N C Nx

N

-=Ω

所以混合熵[]()[]()[]{}!1ln )!ln(!ln !

1!!

ln

ln x N Nx N k x N Nx N k k S ---=-=Ω=

当N 很大时，利用公式()得,1ln !ln -≈m m m

()()()()[]{}()()[]

x x x x Nk Nx N x N Nx Nx N N k S --+-=-------≈1ln 1ln 1ln 11ln 1ln

证毕

6. 试根据公式V

a P L

l

l

??-=∑ε证明，对于非相对论粒子 ()

2

222

22212z y x n n n L m m P ++??

? ??== πε，

（ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。

证明：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为

()

2222

2,,2212z y x n n n

n n n L m m P z

y x ++??

? ??== πε （ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）-------（1） 为书写简便，我们将上式简记为3

2

-=aV

ε-----------------------（2）

其中V=L 3

是系统的体积，常量()

2

2222)2(z y x n n n m

a ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。 由（2）式可得

V

aV V l L εε323235

-=-=??----------------------（3） 代入压强公式，有V

U

a V

V a P l

l

l L l

l

3232

=

=??-=∑∑ε

ε----------------------（4） 式中 l

l

l a U ε

∑=

是系统的内能。

上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。 注：（4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动内能。

7. 气柱的高度为H ，截面为S ，处在重力场中，试证明此气柱的内能为

)

1(0--

+=KT

mgH

e NmgH

NKT U U

证明：为明确起见，假设气体是单原子分子理想气体。在重力场中分子的能量为

()

mgz p p p m

z y x +++=

22

221ε----------------------（1） 粒子的配分函数为Z Y X mgz p p p m dP dP dxdydzdP e h

Z z y x ββ

-++-??=)(231222

11

)1(1)2(1)2(1112330233mgH mgz

H e mg A m h

dz e dxdy m h ββββπβπ---==??----------------（2）

其中 dxdy A ?

=

是气柱的截面积。

气柱的内能为

)1()

1(23ln 01--+=--+=??-=mgH KT mgH e NmgH

NKT U e NmgH NKT NKT Z N

U ββ-----（3） 式中 N K T U 2

3

0=

8. 气体以恒定的速度沿Z 方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为Z Y X P P P P m

dP dP dP h

V

e

Z Y X 3]

)([22022-++-

-βα 证明：气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。与分布{}a 相

应的气体的微观状态数为!

l

l

a l

l

a l ∏∏=Ωω

---------(1)

其对数为)1(ln ln !ln ln ln --=-=Ω∑∑∑∑l l l

l l l

l l

l l l

a a a a a ωω---------(2)

在气体沿Z 方向作整体运动的情形下，分布必须满足下述条件：

N a l l

=∑

;

E a l

l l

=∑ε

;

-

Z lZ l l

P P a =∑

--------(3)

其中P Z 是气体在Z 方向的总动量，P LZ 是处在能级l 的分子所具有的Z 方向动量。 气体分子的最概然分布是在限制条件（3）下，使ln Ω为极大的分布。令各有a l 的变化δ

a l ， ln Ω将因而有变化l l

l

l

a a δωδln

ln ∑-=Ω

限制条件（3）要求

N a

l

l

δδ=∑ ;

0==∑E a

l

l l

δδε ;

0==∑

Z l lZ l

P a P δδ

0)(ln

ln 1=+++-=---Ω∑l lZ l l

l

l

Z a P a P E N δγβεαωγδβδδαδ

根据拉氏乘子法原理，每个δ a l 的系数都等于零，所以有

0ln

=+++lZ l l

l

P a γβεαω

或lZ

s P l

l e a γβεαω---=1---------(4) 可以将式（4）改写成为动量的连续分布：在体积V=L 3内，

在P X 到P X +dP X ，P Y 到P Y +dP Y ，P Z 到P Z +dP Z ，的动量范围内的分子数

Z Y X p p p p m

dP dP dP h

V e Z

z y x 3

)(22221γβ

α-++-

--------（5） Z Y X p p p p m dP dP dP h

V e z y x 3

])([2202

2-++--βα -------（6）

9. 铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是2

Ak =ω.试证

明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与2

/3T

成正比.

证明: 在体积V 中,ω到ω+ d ω的频率范围内准粒子的量子态数为

ωωπωωd d 4d )(2

/123B p p h V g ==

,

推导上式时,用到关系k p =.这里B 为常数.由于准粒子数不守恒,玻色分布中的

0=α.系统的内能为

??-=-=m

m e B g e E ωωωβω

βωω

ωωω0

02

/3d 1d )(1 ,

考虑到态密度在高频时发散,需引入截止频率m ω.但在低温下1>>ωβ ,在积分中

可令

∞→m ω.设x =ωβ ,则有

2/50

2/32/5d 1T x e x CT E x ∝-=

?∞

,

其中,C 为常数.易得 2

/3T T E C V V ∝???

????=.

10. 证明：在正则分布中熵可表为∑-=s

s s k S ρρln 其中s

E s e Z

βρ-=

1是系统处在s 态的概率。

证： )l n (l n

ββ??-=Z Z k S 多粒子配分函数)1(1s

s E s

E e Z e Z ββρ--=?=∑ )2(ln ∑∑---=??k

E k

E k k

k

e

e E Z

βββ

由(1)知 []s s s s s E Z E Z E Z e s ρβ

ρβρβl n l n 1

;l n l n +=

-+=-?=-

代至(2)得

[]∑∑+=+=??s

s s

s s s Z Z Z ρρ

ββρρβ

βl n 1

l n 1l n l n 1l n ;

于是 ∑-=????

?

???-=s s s k Z Z k S ρρββln ln ln

三．推导题

1．证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数，根据下述积分求得()?-=dp dT V T καln ，如果

P

T T 1

,1==

κα，试求物态方程。 解： 体胀系数

p

T V V ???

????=

1α

等温压缩系数

T

T p V V ????

????-=1κ 以T ，P 为自变量，物质的物态方程为 ()p T V V ,= 其全微分为 dp V dT V dp p V dT T V dV T T

p κα-=?

??? ????+???

????=

dp dT V

dV

T κα-= 这是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得

()?-=dp dT V T καln

根据题设 ， 若 p

T T 1,1==

κα ????? ?

?-=dp p dT T V 11ln 则有 C p

T

V +=ln

ln ， PV=CT 要确定常数C ，需要进一步的实验数据。

2. 均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2，试计算达到均匀温度后的熵增。 解：

0 l x

第i 处的初温为 x l

T T T T i 1

21-+

= 设单位长度的定压热容量为Cx ， ()

x p C l C ?=

于是 ??

?

??-+?=+?===

?

?

++i x T T T i x x T T T x T T T C T T T C T dT C T

dQ

S i

i

ln 2ln 2ln 212

212

2

12

1 总熵变 ?=

l x

dx S S 0

???

? ??-+?=l i x dx T T T C 021ln 2ln ???

? ??

-+-+??=l x x dx x l T T T C T T l C 012121ln 2ln

????

? ??-?-+?=21122

1ln 2ln T T x p T T l dy y C T T C ()2

1ln 2ln 122

1T T x

p p y y y T T C T T C -?--+?=

??

?

???+---+?=1ln ln 2ln 12112221T T T T T T T T C p

3. 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n ．试求0 K 时二维电子气体的费米能量、内能和简并压．

解:考虑电子自旋有两种取向后，二维电子气体在ε→ ε + d ε的能量范围内电子的量子态数为

()επεεmd h

L d D 22

4=

所以0K 时电子的最大能量由下式确定：

()

N md h L =?

επμ00

2

2

4 ()n m

h L N m h ππμ4402

22==∴

内能

()()

()()()0210421204402

22222200

22

μμπμπεεπμN N L h m N m h L d m

h

L U =???

? ??===?

对于二维电子气体，V ＝L 2

()()(

)1

2222

22

221221-???

??

??+=+??? ??=V

n n m

n n L m y x y x L ππε

()()

V n n m V V l y x L επε-=??

????+-=??-2222221

所以 0K 时的简并压()021μεεn V U V a V a p l l

l L

l

l

===??-=∑∑

4. 以n 表晶体中磁性原予的密度．设原了的总角动量量子数为1．在外磁场下，原子磁矩可以有三个不同的取向，即平行、垂直、反平行于外磁场．假设磁矩之间的相互作用可以忽略．试求在温度为T 时晶体的磁化强度μ及其在弱场高温极限和强场低温极限下的近似值．

依题意，原子具有三个状态，能量分别为-μB 、0、μB 。按玻尔兹曼分布，原子处于这些态的几率分别为,,,B B Ce C Ce βμβμ- 其中C 为归一化常数，由下式决定：

(

)

B

B

B B e

e

C Ce C Ce βμβμβμβμ--++=∴=++1/11

晶体的磁化强度

()[]

B B Ce

C Ce N E βμβμμμ--+?+?=0

()()

B B B B e e e e N βμβμβμβμμ--++-=1/ ()()

1/122++-=B B B e e e N βμβμβμμ 弱场高温极限下：βμB →1

此时 B e B e B B βμβμβμβμ+≈+≈1,212

()()()B kT

N B N B B N E 2

323/233/2μβμμβμβμμ=≈+=∴

强场低温极限下：βμB →∞

()

μμμβμβμβμβμβμN e e N e e e N E B B B B B ≈≈+≈2222//此时

5．试导出二维空间的普朗克公式。利用所得结果导出二维空间的斯特藩-玻尔兹曼定律。

解:对二维气体

2

22h dp dxdydp h dpdq d y

x r ==Ω 考虑在面积S 内的状态数：2

2h

dp Sdp d y

x =Ω；

将其改写为极坐标：2

2h pdpd S d θ

?=

Ω

在面积S 内，dp p p +→范围内的状态数（不考虑方向）：dp h Sp

d 2

4π=Ω 又由德布罗意关系和能量与动量间关系知：ωε =；cp =ε； 故，c

p ω =

将上式代入状态数的表达式：ωωπωωπd c S

d c c h S d 2

24=?=

Ω 代入dN ，得平衡辐射时，面积S 内，频率在ωωωd +→范围内的光子数：

1

12-=-Ω=

kT

e d c S e d dN ω

βεω

ωπ （ωε =，kT 1=β）

由此可得平衡辐射时能量按频率分布为：

1

22-==kT

e d c S dN dU ωω

ωπω

总能量为：??∞

-==0221

kT e d c S dU U ωω

ωπ

6. 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵。

解：装在容积为V 、温度为T 的容器中的单原子理想气体分子，粒子自由度r=3。

一个粒子的能量表达式为 )(212

22z y x p p p m

++=

ε 求得粒子的配分函数 ???

-=

z y x p q dp dp dxdydzdp e h Z )(3

11、βε 2

32

)2(

β

πh m V = 将它代入热力学公式，得到单原子理想气体的几个主要热力学函数为

NKT Z N

U 2

3

ln 1=??-=β !ln ln ln 11N k Z Z NK S -???

??

???-=ββ

??

????+++=

)2ln(35

23ln ln 232h mK NK N V NK T NK π