固体物理学答案详细版

《固体物理学》部分习题参考解答

第一章

1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？

答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：

对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f

=

2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b

a 那么，

Rf Rb

31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，

a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？

答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。

答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：

1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）

（010）(213) 答：证明

设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此

123o o o a n hd

a n kd a n id

=== ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°

由于a 3=–（a 1+ a 2）

313()o o a n a a n =-+

把（1）式的关系代入，即得

()id hd kd =-+ ()i h k =-+

根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），(133)

→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，

（100）→(1010)，（010）→(0110)，(213)→(2133)

1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立

方：

6π（2（34（5）金刚石：

。 答：令Z 表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni 是位于晶胞内的球数，Nf 是在晶胞面上的球数，Ne 是在晶胞棱上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有：

111248

i f e c Z N N N N =+

++ 边长为a 的立方晶胞中堆积比率为

3

34*3r F Z a

π=

假设硬球的半径都为r ，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意 （1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r ，那么：

θ= 33

4/3(2)

r r π= 6π （2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r

r ，那么：

θ= 3

=

（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r ，则其边长为，那么：

θ= 3

= 6

（4）对于六方密堆积

一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r ，因此

θ

342()

r π?

=6 （5）对于金刚石结构

Z=8 8r =

那么33344*8(338r F Z a ππ==??

=

16

. 1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm 为单位）a=3i ，b=3j ，c=1.5（i+j+k ），

此处i ，j ，k 为笛卡儿坐标系中x ，y ，z 方向的单位失量.问： （1）这种晶格属于哪种布拉维格子？

（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？ 答：（1）因为a=3i ，b=3j ，而c=1.5（i+j+k ）=1/2（3i+3j+3k ）=1/2（a+b+c ′）式中c ′=3c 。

显然，a 、b 、c ′构成一个边长为3*10-10

m 的立方晶胞，基矢c 正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。

（2）晶胞的体积= c (a b)'? = 3k (3i 3j)? =27*10-30(m 3) 原胞的体积=c (a b)?

=1

(333)(33)2

i j k i j +++ =13.5*10-30(m 3) 1.7

六方晶胞的基失为：2a a j =

+

，2

a b j =+，c ck = 求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.

答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得： 正格子的体积Ω=a·（b*c ）

=

2

c 那么，倒格子的基矢为12()b c b π?=

Ω2j a π=+ ，22()c a b π?=

Ω2j a π

=+ ，32()a b b π?=

Ω

2k c π

= 其第一布里渊区如图所示：

1.8 若基失a ，b ，c 构成正交晶系，求证：晶面族（hkl ）的面间距为

hkl d =

答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl ）中距原点最近平面在三个晶轴a 1，a 2，a 3上的截距

分别为

1a h ，2a k ，3

a l

。该平面（ABC ）法线方向的单位矢量是 123

dh dk dl n x y z a a a =

++ 这里d 是原点到平面ABC 的垂直距离，即面间距。 由|n|=1得到

222

123

(

)()()1dh dk dl a a a ++= 故12222123

[()()()]h k l d a a a -=++

1.9 用波长为0.15405nm 的X 射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ

（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数； （2）上述各晶面族的面间距；

（3）利用上两项结果计算晶格常数.

答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：

2222|[1cos ()]sin ()hkl I F f n h k l f n h k l ππ∞=++++++

考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l ）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l ）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式

2sin (1)hkl d n θλ==

得 10

1101

1.5405

2.29510()2sin 2sin19.611

o

d m λ

θ-==

=? 同法得

102002

1.633410()2sin d m λ

θ-=

=?

102113

1.337710()2sin d m λ

θ-=

=?

102203

1.160910()2sin d m λ

θ-=

=?

103104

1.040310()2sin d m λ

θ-=

=?

应用立方晶系面间距公式

hkl d =

可得晶格常数hkl a d =把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值*10-10m 为

3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897

取其平均值则得

103.272510()a m -=?

1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a ，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.

答：参看下图，晶体点阵初基矢量为1a ai =

2122

a ai =+

用正交关系式{

022,

i j

i j ij i j b a ππδ≠===

求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设 111x y b b i b j =+ 222x y b b i b j =+

由112b a π= 120b a = 210b a = 222b a π= 得到下面四个方程式

11()2x y ai b i b j π+= （1）

111()()02x y ai b i b j += （2） 22()0x y ai b i b j += （3）

221()()22x y ai aj b i b j π+= （4） 由（1）式可得：12x b a

π

=

由（2）式可得：

1y b =

由（3）式可得：20x b = 由（4）式可得：

2y b =于是得出倒易点阵基矢

12b i j a π=

2b j =

第三章 习题答案

3.1 试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m ＝8.35×10

－27

kg ，恢复

力常数β＝15N ·m －1

解：一维单原子链的解为)(qna t i n Ae X -=ω

据周期边界条件 11+=N X X ，此处N=5,代入上式即得 1)5(=-q

a i e

所以 aq 5＝2π （ 为整数） 由于格波波矢取值范围：a

q a

π

π

<

<-

。 则 2

525<<-

故 可取－2，－1，0，1，2这五个值 相应波矢：a 54π-,a 52π-,0, a 52π,a

54π

由于2

sin 4qa m βω=

，代入β，m 及q 值 则得到五个频率依次为（以rad/sec 为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013

3.2 求证由N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为 ()2

12

2)(2-

-=

ωωπ

ωρm

N

式中m m βω4=是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为

N

解：对一维单原子链，()()dq q q

d q d dN ρρωωρ2?)(=== 所以()()dq

d q ωρωρ2= （1）

由色散关系2

sin 4qa

m βω= 求得

2/12)2sin 1(242

2cos 4qa a m a

qa m dq

d -=?=ββω

2/12])4[(2ωβ

-=m

a （2） 而()π

πρ22Na

L q ==， 则由（1）式可得 ()2/1222/12)(2]4[222--=-=ωωπ

ωβπ

ωρm N m a Na 由于

m m

ωβ

=4 ，则总的振动模数为 ()ωωωπ

ωωρd N

d N m w w m

m 2/1220

)(2--=

=?

?

令

θωω

sin =m

，则积分限为0到2/π ， 故 ()

N N

d N ==

=

-?

2

1

20

2cos cos 2π

θπ

θθθπ

π

π

3.3 设晶体由N 个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为()29ωωωρm

N

=

解：由书上（3－69）式可得 ()()32

223v

v g ωπωωρ== （1）

由（3－71）可得 ()

v n

m D 3

/126πωω==

由此可得 n v m 323

32ωπ= ，代入（1）式得

()23

9ωωωρm

N

=

3.4 对一堆双原子链，已知原子的质量m ＝8.35×10

－27

kg ，另一种原子的质量M ＝4m ，力常数

β＝15N ·m －1

，试求

（1） 光学波的最高频率和最低频率

max ω和

min ω； （2） 声学波的最高频率A max ω；

（3） 相应的声子能量（以eV 为单位）；

（4） 在300K 可以激发频率为 max ω，

min ω和A max ω的声子的数目；

（5） 如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。 解：（1）m m M Mm 5

4

=+=

μ

Hz rad 1313max 1007.1sec /1070.62?≈?≈=

μ

β

ω

Hz rad m

1313min 1095.0sec /1099.52?≈?≈=

β

ω

Hz rad M

A

1313max 1048.0sec /1000.32?≈?≈=

β

ω （2）eV 2max

1041.4-?≈

ω eV 2min

1095.3-?≈

ω eV A

2max

1097.1-?=ω （3）1

1/-=

kT

w e

n

221.0max ≈∴

ωn ， 276.0min ≈

ωn

，

873.0max ≈A

n ω

（4） 光速v c λ= ，m m c v c μωπ

λ28108.225max

=?≈?==

∴- 3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m ，而最近邻原子间的力常数交替地等于β和10β， 且

最近邻的距离为2/a ，试画出色散关系曲线，并给出0=q 和a q /π±=处的()q ω。 解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，

原子的运动方程应是()()()()???---=---=++++-+n n n n n n n n n n x x x x x m x x x x x m 21212221

2122212210ββββ

即 ()n n n n x x x x m 2121221110-+=-+β ()12222121110+++-+=n n n n x x x x

m β 求格波解， 令 ()?

?

?

???-=t qa n i n Ae

x ω222，()?

?

?

???-++=t qa n i n Be

x ω21212

代入运动方程，可导出线性方程组为：

[]

[]

??????

?=??? ??-++-=+-??? ??---011100101122/2/2/2/2B m A e e m

B e e m A m iqa iqa iqa iqa ωβββωβ 令

2

0ωβ

=m

，从A ，B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得 ()

[]

0)10)(10(112/2/2/2/4

02

220

=++----iqa iqa iqa iqa e e e e ωωω

可解出

()

101

c o s 20112

02+±=qa ωω 色散关系见下图 0=q 时，1cos =qa ，022ωω=+，0=-ω

a

q π±

=时，1cos -=qa ，020ωω=+，02ωω=-

3.6．在一维双原子链中，如1>>m M ，求证

qa M

sin 21β

ω=

)cos 21(222qa M

m m +=

βω

[证] 由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支 ()}]sin )

(41[1{2

/122

2

1qa M m mM M m Mm

+-

-+=

β

ω m M >> ，14<<∴mM

mM

由近似式()nx x n -≈-11，）当1(<

}]sin )

(4211[1{2

/122

2

1qa M m mM mM

M m +-

-+=βω qa M

qa M m 22sin 2sin 2β

β≈+=

，

qa M

sin 21β

ω=

∴ 对2

2ω，由于m M >>，M m M ≈+

()}]sin )

(41[1{)

(2/12

2

2qa m M mM

mM

M m +-

++=

βω ()()}]cos 44)[(1{2

/122

22qa m M Mm m M Mm m M m M m

+++-+++≈

β

}]cos 4)[(

1{2/122qa M

m

m M m M m

++-+≈

β

}c o s 42111{2qa M

m

m

+

+≈β }c o s 1{22qa M

m m +≈

β qa M m m 22cos 12+=

∴βω)cos 21(22qa M

m

m +≈β 3.7 在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界a

q 2π

±

=处，声学支格波中所有

轻原子m 静止，而光学支格波中所有重原子M 静止。画出这时原子振动的图象。 [证] 由（3－18）第一式得

2

2cos 2ωββm qa

B A -=

，当a q 2π±= 时 0cos =qa 且对声学支2

/12?

?

?

??=M βω，代入上式即得：

0220=-=M

m B A ββ ，故A ＝0， 轻原子静止

再由（3－18）第二式得

2

2cos 2ω

ββM qa

A B -= ，当a q 2π±= 时0cos =qa 且对光学支，2

/12?

?

?

??=M βω，代入上式即得

0220

=-=M

m A B ββ 故B ＝0， 重原子静止

3.8 设固体的熔点m T 对应原子的振幅等于原子间距a 的10％的振动，推证，对于简单晶格，

接近熔点时原子的振动频率2

/1502?

?

?

??=M T k a m B ω，其中M 是原子质量。

[解] 当质量为M 的原子以频率ω及等于原子间距a 的10％的振幅振动时，其振动能为：

2

222102121???

??==a M A M E ωω 在熔点m T 时，

原子的能量可按照能量均分定理处理，即一个一维原子的平均能量为m B T k ，于是有m B T k a M =???

??2

21021ω，由此得

2

/1502?

?

?

??=M T k a m B ω

3.9 按德拜近似，试证明高温时晶格热容]2011[32

??

?

??Θ-=T Nk C D B v

证明：由书（3.73）式可知()

43

2

9(/)

1D x v B D x

e x dx

C Nk T T e

Θ=Θ-?

在高温时，D T Θ>>，则在整个积分范围内x 为小量，因此可将上式中被积函数化简为

()()???? ??-=+≈???

? ??+≈-=--12112124122222342/2/424

x x x x x x x e e x e x e x x x x 将上式代入v C 的表达式，得35

3119(/)360D D

v B D C Nk T T T T ??ΘΘ????=Θ-?? ? ?????????

3

2

3

119(/)1320D D B D Nk T T T T ??ΘΘ??

??=Θ-?? ?

???

?????

? 2

13120D B Nk T ??

Θ??=-?? ???????

3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为2

ω

，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能

解：由（3－69）式知，状态密度()()3

2

223v V V g ωπωωρ==

则 ()ωωπωωωρεωωd v V d E D

D

3

220

002321 ?

?

==

D

D v V d v V ω

ωωπωωπ0

4320332163143 ==? 4

3

2163D v V ωπ =

v N V D 3

/126??? ?

?

=πω

D D

N v V N v V E ωωππ 8

961633

2320=?=

∴ 3.11 在德拜近似的基础上，讨论由一个N 个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下

其比热正比于2

T

证明：此题可推广到任意维m ，由于 ()()ωωd g dq q C Cdq dq q g dN m m ====-11

()1

11--???

? ??=∴dq d q C g m ωω

而德拜模型中vq =ω，故()11--∝∝m m q g ωω

()()

22

1-???? ??∝∴?T

T k B B v B B e

d g

e T k k C ωωω

ωω 令

x kT

=ω

，则上式变为 ()

()

??

-∝-∝++-p

x x

m x m

x

m x m v dx e

x e T

dx e

x e T

T

C 0

2

1

2

1

1

1

1

在低温时 ∞→=kT

x D

D ω 则积分

()dx e x e x

m x ?∞

+-0

2

1

1 为一个于T 无关的常数

故 m v T C ∝ 对三维 m ＝3 3T C v ∝ 对本题研究的二维 m ＝2 2T C v ∝ 对一维 m ＝1 T C v ∝

3.12 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为()a r

b

r e r U +-=2， b 为待定常数， 平

衡间距m r 100103-?=，求线膨胀系数。 解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数 0

243r f gk B

?

=

α 其中：02

221r dr

U

d f ???? ???=，0

33!31r dr U d g ????

??-=

由平衡条件09100

2020=-=???

??r b r e dr dU r 8029r e b =∴

302110302429022r e r b r e f =+-= ， 402

120402352990661r e r b r e g =???

? ??--= 由于 m r 8

0103-?= ，CGSE e 10

10

806.4-?=

K erg k B /10381.116-?= K e

k r B

/1046.1161352

0-?≈=

∴α 3.13 已知三维晶体在0=q 附近一支光学波的色散关系为

()()2

220z

y x Cq Bq Aq q ++-=ωω ， 试求格波的频谱密度()ωρ 解：2

220z y x Cq Bq Aq ++=-ωω

则

102

0202=++C

q B q A q z

y x ωωωωωω 这是q 空间的一个椭球面，其体积为abc π3

4

，而

2

/10A

a ω

ω-=

，2

/10B

b ω

ω-=

，2

/10C

c ω

ω-=

q 空间内的状态密度()33

)2(2ππρV L q =??

?

??= ，故椭球内的总状态数N 为

()2

/302

/131342ω

ωππ-?

?

?

???=ABC V N

故 ()2

/10

22

/102

/12414ABC

V ABC V d dN ωωπω

ωπωωρ-=-?

?

?

??==

第四章

4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同？为什么？

答：晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。 4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.

4.3如果已知空位形成能为Eu=0.67eV ，试问当温度为300K 时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？

答：设肖特基缺陷数为n ，格点数为N 。那么由公式

B Eu

k T n

e N

-= 可得

19230.671.6101.3810300

n e N

--??-

??==5.682*10-12

4.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*1015

s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1eV ，求该原子在1s 内跳跃的次数。 答：由公式

a B E k T

o v v e

-

=

可得

230.11.3810300

eV

o v v e

--

??==2*1015*0.02=4*1013

4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n 代表正、负离子空位的对数，W 是产生一对缺陷所需要的能量，N 是原有的正、负离子对的数目。 （1）试证明：n/N=Bexp （-W/2k B T ）；

（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V ，其中V 为原有的体积。 答：

（1）设n 对肖特基缺陷是从晶体内部移去n 个正离子和n 个负离子而形成的。从N 个正离子中形成n 个正离子空位的可能方式数为

1!

()!!

N W N n n =

-

同时，从N 个负离子中形成n 个负离子空位的可能方式数也是

2!

()!!

N W N n n =

-

于是，在整个晶体中形成n 对正、负离子空位的可能方式数

212!

[

]()!!

N W WW N n n ==-

由此而引起晶体熵的增量为

!

2()!!

B B N S k InW k In

N n n ?==-

设形成一对正、负离子空位需要能量w ，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变

!

2()!!

B N F U T S nw k TIn

N n n ?=?-?=-- （1）

热平衡时，(

)0T F

n

??=?，并应用斯特令公式!InN NInN n =-，从（1）式得 (

)2[()()]2[()]20T B B B F N n

w k T NInN N n In N n nInn w k T In N n Inn w k TIn n n n

???-=-----=---=-=?? 2B w

k T n

e N n

-=- 因为实际上N?n ，于是得

n/N=Bexp （-W/2k B T ）

（2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生n 对正、负离子空位时，所增加的体积应该是3

2V na ?= 式中a 为离子最近邻距离。因为3

2V Na =为晶体原有的体积，有上式可得

3322V na n

V Na N

?== 4.6已知扩散系数与温度之间的关系为：/A B E k T

o D D e -=

下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果：

试确定常数Do 和扩散激活能E A . 答：由公式 /A B E k T

o D D e

-=，可得

当T=878，D=1.6*10-20

时，D 01=

4.7铜和硅的空位形成能Eu 分别是0.3eV 和2.8eV 。试求T=1000K 时，铜和硅的空位浓度。 答：由公式

B Eu

k T n

e N

-= 可得：对于铜0.3

8.61010000.03n e N -??== 对于硅5

2.8

158.61010007.24710n e N

---??==?

4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F 带的光吸收就可得F 心的形成能E B 。当温度从570℃上升到620℃时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F 心的数目增加引起的，试计算F 心形成能E B 。 答：

4.9考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿[111]方向滑移、位错线和[110]平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。

答：如图所示：

4.10求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。

答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向（即沿该方向的周期最小）。

（1）体心立方：滑移面为（110）面，滑移向为[111]，最小滑移矢量b 即[111]晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a ，则

||2

b =

（2）面心立方：滑移面为（111），滑移向为[101]。最小滑移矢量b 等于[101]方向上相邻格点间的距离，即

||2

b a =

（3）六角密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是[2110]。[2110]晶向上原子间距为a ，因此，

||b a =

向和大小用伯格斯矢量表示为1

[110]2

b =。试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错还是螺位错。

第六章

6.1 一维周期场中电子的波函数()x k ψ应满足布洛赫定理，若晶格常数为a ，电子的波函数为

（1）()x a

x k π

ψsin

=

（2）()x a

i x k πψ3cos = （3）()()∑∞

-∞

=-=

i k a x f x ψ （f 是某个确定的函数）

试求电子在这些状态的波矢

解：布洛赫函数为()()x e a x k ika k ψψ=+ （1）x a

x a

a x a

π

ππ

π

sin

)sin(

)(sin

-=+=+

x a

e a x a

ika π

π

sin

)(sin =+

1-=∴ika

e

，π±=ka ，a

k π

±

=

（2）()x a i x a i a x a i ππππ3cos 33cos 3cos

-=??

?

??+=+ 同理，1-=∴ika

e

，π±=ka ，a

k π

±

=

（3）

()[]∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=--=+- a x f a a x f )1(

()()∑∑∞

-∞

=∞-∞

=-=-=

a x f a x f '' 此处1'-=

1=ika

e ，π20或=ka ，a

k π

20或

= 6.2 已知一维晶格中电子的能带可写成()??

?

??+-=ka ka ma k E 2cos 81cos 8722 ，式中a

是晶格常数，m 是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度，

（3） 在带顶和带底的电子的有效质量

解：能带宽度为 m i n m a x E E E -=?， 由极值条件 ()0=dk

k dE ， 得

0cos sin 2

1

sin 2sin 41sin =-=-

ka ka ka ka ka 上式的唯一解是0sin =ka 的解，此式在第一布里渊区内的解为a

k π

或0=

当k ＝0时，()k E 取极小值min E ，且有()00min ==E E

当a k π

=时，()k E 取极大值max E ，且有2

2

max 2ma

a E E

=??? ??=π

由以上的可得能带宽度为2

2min

max 2ma E E E =-=? （2）电子的平均速度为()??

?

??-==

ka ka ma dk k dE v 2sin 41sin 1

（3）带顶和带底电子的有效质量分别为 m ka ka m k E m a k a

k a

k 322cos 21cos 1222-=???

??-=??????

????????=±=-±=±

=*

π

π

π

1

220

020

1cos cos 222k k m

m ka ka m E k -*==??

????==-=?? ??????

?????

6.3 一维周期势场为

()()[]

??

???-≤≤+-+≤≤---=b

na x b a n b na x b na na x b mW x V )1(02

1

2

22当当，

其中b a 4= ，W 为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度

解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为 n g V E 2= ，

其中n V 是周期势场()x V 傅立叶级数的系数，该系数为：

()dx e x V a V nx a

i a a n

π22/2

/1--?

=

求得，第一禁带宽度为

()dx e x V a V E x

a i a a g π

22/2

/11221--?

==

[]

dx e x b mW b

nx a i b

b π

222

2241

2

--?

-=

[]

dx x b x b mW b

b

b ??

?

??-=?

-2cos 241

2

222π

2

28πb mW =

第二禁带宽度为

()dx e x V a V E x

a i a a g π

42/2

/21221--?

==

[]

dx e x b mW b

x a i b

b π

--?

-=22

2241

2

[]

dx x b x b mW b

b

b ??

?

??-=?

-πcos 241

2

222

2

2

2π

b mW =

6.4 用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s 态电子能带，画出()k E ，()k m *与

波矢的关系，证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。

解： 根据紧束缚近似， ()∑--=Rs

ika

e

J J E k E 1

00

对一维，最近邻a R s ±=

则 ()()

i k a i k a e e J J E k E -+--=100

ka J J E cos 100--= ()k E 为余弦函数 （图省）

有效质量 ()

ka a J k E m cos 22

12

2

22 =??=*

()k m *的图也省

在原点附近，ka 很小，1cos ≈ka ()

2122a J m ≈∴* 在布里渊区边界，a

k π

±=，π±=ka ，1cos -≈ka

(

)

2

122

12

22a J a J m -=-≈∴*

6.5 某晶体电子的等能面是椭球面

???

? ??++=32322

212122m k m k m k E ，坐标轴1，2，3互相垂直。 求能态密度。