八年级数学上 角平分线的作法
一. 教学内容：
1. 角平分线的作法．
2. 角平分线的性质及判定．
3. 角平分线的性质及判定的应用．
二. 知识要点：
1. 角平分线的作法（尺规作图）
①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；
②分别以C 、D 为圆心，大于1
2
CD 长为半径画弧，两弧交于点P ；
③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．
O
A
B
①
②
③
2. 角平分线的性质及判定
（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导
已知：OC 平分∠MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， 垂足分别为点A 、点B ． 求证：PA ＝PB ．
O
P
A
B
M
N
12
C
证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2
在△PAO 和△PBO 中，????
?∠PAO ＝∠PBO
∠1＝∠2
OP=OP
∴△PAO ≌△PBO
∴PA ＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
O
P
A
B
M
N
12
如图所示，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ．
（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导
已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ． 求证：点P 在∠MON 的平分线上．
O
A
B
M
N
P
证明：连结OP
在R t △PAO 和R t △PBO 中，?
????PA ＝PB
OP ＝OP
∴R t △PAO ≌R t △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2
∴OP 平分∠MON
即点P 在∠MON 的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
O
P
A
B
M
N
1
2
C
如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 3. 角平分线性质及判定的应用
①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．
例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．
4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．
A B
C
D
E
F
P
(1)两个内角的角平分线
三. 重点难点：
1. 重点：角平分线的性质及判定
2. 难点：角平分线的性质及判定的应用
【考点分析】
本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现，但角平分线的性质及判定有时出现在综合题题目当中，因此还是比较重要的．
【典型例题】
例1. 已知：如图所示，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝AC ′． 求证：（1）∠ABC ＝∠ABC ′；
（2）BC ＝BC ′（要求：不用三角形全等判定）．
A
B
C
C'
分析：由条件∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝AC ′，可以把点A 看作是∠CBC ′平分线上的点，由此可打开思路． 证明：（1）∵∠C ＝∠C ′＝90°（已知），
∴AC ⊥BC ，AC ′⊥BC ′（垂直的定义）． 又∵AC ＝AC ′（已知），
∴点A 在∠CBC ′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． ∴∠ABC ＝∠ABC ′．
（2）∵∠C ＝∠C ′，∠ABC ＝∠ABC ′，
∴180°－（∠C ＋∠ABC ）＝180°－（∠C ′＋∠ABC ′）（三角形内角和定理）． 即∠BAC ＝∠BAC ′， ∵AC ⊥BC ，AC ′⊥BC ′，
∴BC ＝BC ′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）． 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性．
例2. 如图所示，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，P 是AD 上一点，且D 点到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断AD 是否平分∠BAC ，并说明理由．
A B
C
E F
D P
1234
分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证．
解：AD 平分∠BAC ．
∵D 到PE 的距离与到PF 的距离相等， ∴点D 在∠EPF 的平分线上． ∴∠1＝∠2．
又∵PE ∥AB ，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD 平分∠BAC ． 评析：由角平分线的判定判断出PD 平分∠EPF 是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”．
例3. 如图所示，已知△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，那么AP 能否平分∠BAC ？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？
A
B
C
D N
M
F E
P
分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P 到三边的垂线段． 解：AP 平分∠BAC ．
结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 理由：过点P 分别作BC ，AC ，AB 的垂线，垂足分别是E 、F 、D ． ∵BM 是∠ABC 的角平分线且点P 在BM 上，
∴PD ＝PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 同理PF ＝PE ，∴PD ＝PF ．
∴AP 平分∠BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．
例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P 点处，距公路400m ，现分别以公路、铁路所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．
（1）学校距铁路的距离是多少？ （2）请写出学校所在位置的坐标．
分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P 到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m ；点P 在第四象限，求点P 的坐标时要注意符号． 解：（1）∵点P 在公路与铁路所夹角的平分线上，
∴点P 到公路的距离与它到铁路的距离相等， 又∵点P 到公路的距离是400m ，
∴点P （学校）到铁路的距离是400m ． （2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．
评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．
例5. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，DA 平分∠CAB 交BC 于D ，问能否在AB 上确定一点E ，使△BDE 的周长等于AB 的长？若能，请作出点E ，并给出证明；若不能，请说明理由．
A
B
C
D
E
分析：由于点D 在∠CAB 的平分线上，若过点D 作DE ⊥AB 于E ，则DE ＝DC ．于是有BD ＋DE ＝BD ＋DC ＝BC ＝AC ，只要知道AC 与AE 的关系即可得出结论．
解：能．过点D 作DE ⊥AB 于E ，则△BDE 的周长等于AB 的长．理由如下： ∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ， ∴DC ＝DE ．
在R t △ACD 和R t △AED 中，?
????DC ＝DE
AD ＝AD ，
∴R t △ACD ≌R t △AED （HL ）． ∴AC ＝AE ．
又∵AC ＝BC ，∴AE ＝BC ．
∴△BDE 的周长＝BD ＋DE ＋BE ＝BD ＋DC ＋BE ＝BC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB ． 评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系．本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化．这是初中几何中常用的一种数学思想．
【方法总结】
学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．
【模拟试题】（答题时间：90分钟）
一. 选择题
1. 如图所示，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，则PC 与PD 的大小关系是（ ）
A. PC ＞PD
B. PC ＝PD
C. PC ＜PD
D. 不能确定
O
P
A
B
C
D 第1题 2. 在R t △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是角平分线，若BC ＝10，BD ∶CD ＝3∶2，则点D 到
AB 的距离是（ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
3. 在△ABC 中，∠C ＝90°，E 是AB 边的中点，BD 是角平分线，且DE ⊥AB ，则（ ） A. BC ＞AE B. BC ＝AE C. BC ＜AE D. 以上都有可能
4. 如图所示，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ，已知PE ＝3，则点P 到AB 的距离是（ ）
P
A
B D
C
E
第4题 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AE ＝AC ，下列结论中错误的是（ ）
A. DC ＝DE
B. ∠AED ＝90°
C. ∠ADE ＝∠ADC
D. DB ＝DC
A
B
C D
E 第5题
6. 到三角形三边距离相等的点是（ ） A. 三条高的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 不能确定
7. 如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于
E ，且AB ＝6cm ，则△DEB 的周长为（ ）
A
B
C
D E 第7题
A. 4cm
B. 6cm
C. 10cm
D. 以上都不对
8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（ ）
A B
C
第8题
A. 一处
B. 二处
C. 三处
D. 四处
二. 填空题
9. 如图所示，点P 是∠CAB 的平分线上一点，PF ⊥AB 于点F ，PE ⊥AC 于点E ，如果PF ＝3cm ，那么PE ＝__________．
P
A
C
B
F
E 第9题 10. 如图所示，DB ⊥AB ，DC ⊥AC ，BD ＝DC ，∠BAC ＝80°，则∠BAD ＝__________，
∠CDA ＝__________．
A
B C
D 第10题 11. 如图所示，P 在∠AOB 的平分线上，在利用角平分线性质推证PD ＝P
E 时，必须满足的
条件是____________________．
O
P
A
B
D
E 第11题 12. 如图所示，∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，BD ＝DC ，则要证明AD 是∠BAC 的__________线．需
要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B 与∠C 互补后，就可以通过__________
来证明．因为此时BD 与DC 已经分别是__________的距离．
A
B C
D 第12题 13. 如图所示，C 为∠DAB 内一点，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，且CD ＝CB ，则点C
在__________．
A B D
第13题C
14. 如图所示，在R t △ACB 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．
A
B C
D
第14题
（1）若BC ＝8，BD ＝5，则点D 到AB 的距离是__________．
（2）若BD ∶DC ＝3∶2，点D 到AB 的距离为6，则BC 的长为__________． 15. （1）∵OP 平分∠AOB ，点P 在射线OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，∴__________（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
（2）∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD ＝PE ，∴OP 平分∠AOB （依据：___________）．
三. 解答题
16. 已知：如图，在R t △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且DE ＝DC ．
（1）求证：BD 平分∠ABC ；
（2）若∠A ＝36°，求∠DBC 的度数．
A B C
D
E
17. 如图：△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF ＋∠BAF ＝180°．
（1）求证：DE ＝DF ； （2）若把最后一个条件改为：AE ＞AF ，且∠AED ＋∠AFD ＝180°，那么结论还成立吗？
A
B
C
D
E F
18. 如图，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ，BD ⊥OA 于D ，AE 与BD 相交于点C ．求证：AC ＝BC ．
A
B
C
D
E
O 12
19. 如图所示，某铁路MN 与公路PQ 相交于点O ，且夹角为90°，其仓库G 在A 区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm ．
（1）在图上标出仓库G 的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图） （2）求出仓库G 到铁路的实际距离．
A 区
M
N
P
Q
O
四. 探究题
20. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：
（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；
（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．
你认为他这种作法对吗？试说明理由．
O
试题答案
一. 选择题
1. B
2. A
3. B
4. A
5. D
6. C
7. B
8. D
二. 填空题 9. 3cm 10. 40°，50° 11. PD ⊥OA ，PE ⊥OB 12. 角平分，全等，角平分线的性质，点D 到AB 、AC 两边 13. ∠DAB 的角平分线上 14. （1）3（2）15
15. （1）PD ＝PE （2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上
三. 解答题
16. （1）证明：∵DC ⊥BC ，DE ⊥AB ，DE ＝DC ， ∴点D 在∠ABC 的平分线上，∴BD 平分∠ABC ． （2）∵∠C ＝90°，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝54°，
∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝1
2
∠ABC ＝27°．
17. （1）证明：作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ， 又∵AD 平分∠BAC ，∴DM ＝DN ，
∵∠EAF ＋∠EDF ＝180°，∴∠AED ＋∠AFD ＝360°－180°＝180°， ∵∠AFD ＋∠CFD ＝180°，∴∠AED ＝∠CFD ， ∴△DME ≌△DNF ，∴DE ＝DF ． （2）仍成立．
18. 证明：∵∠1＝∠2，BD ⊥OA ，AE ⊥OB ， ∴CD ＝CE ，
∵∠DCA ＝∠ECB ，∠ADC ＝∠BEC ＝90°， ∴△ACD ≌△BCE ， ∴AC ＝BC ．
19. （1）图略，仓库G 在∠NOQ 的平分线上， （2）仓库G 到铁路的实际距离是100m ．
四. 探究题
20. 他这种作法对，理由如下：
由作法可知：OC ＝OD ，OB ＝OA ，∠COB ＝∠DOA ， ∴△BCO ≌△ADO ，AC ＝BD ， ∴∠OCE ＝∠ODE ， ∵∠AEC ＝∠BED ， ∴△ACE ≌△BDE ， ∴CE ＝DE ，
∵OE＝OE，
∴△OCE≌△ODE，
∴∠COE＝∠DOE，即OE平分∠MON．
新北师大版八年级下册数学 《角平分线(1)》教案
4．角平分线（一） 一、学生知识状况分析 本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。 二、教学任务分析 学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为： 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理． 2.进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力． 3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。 教学难点： 正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究新知；第三环节：巩固练习；第四环节：随堂练习；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业 1：情境引入 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下： 从折纸过程中，我们可以得出CD=CE， 即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能证明它吗? 2：探究新知 （1）引导学生证明性质定理 请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在 全班进行交流． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P 2 1 E D C P O B A
在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE． 证明：∵∠1=∠2，OP=OP， ∠PDO=∠PEO=90°， ∴△PDO≌△PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)． (教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) 我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题． 引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题： 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上． 它是真命题吗? 你能证明它吗? 没有加“在角的内部”时，是假命题． (由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) 证明如下： 已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上． 证明：PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)． 逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。 3.巩固练习 综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展
2018数学中考专题--5-角平分线问题专题
2018年数学中考 角平分线专题 下面就以五种情况进行专题研究 1. 如图1，角平分线遇平行必有等腰三角形； 2. 如图2，垂直角平分线的直线与该角两边交成等腰三角形，并且垂足F 是GH 的中点(三线合一) ； 3. 如图3，角平分线定理； 4. 补半角成倍角，或分倍角为半角； 5. 角平分线与圆. D C E B A O H F G O C B A K N M Q P O A C B 图1 图2 图3 一、 角平分线遇平行找等腰三角形 1 . 探究1 如图①，AD 为等边△ABC 的内角平分线，显然有 AC CD AB DB = . 探究2 如图 ②，若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角平分线， AC CD AB DB = 一定成立吗？证明你的判断. 应用：如图③，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=24，AB=40，E 为AB 上一点且AE=15，CE 交其内角平分线 AD 于F. 试求DF FA 的值. C A B D A B D C A E B C D F ① ② ③ 2. 如图 1 ，点O 是△ABC 的内心，过点O 作EF ∥AB ，与AC 、BC 分别交于点E 、F ，则（ ） A. EF AE BF >+ B. EF AE BF <+ C. EF AE BF =+ D. EF AE BF ≤+ F E O A B C E D A B C 图1 图2 3. 如图2，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=5，连接BD ，∠BAD 的平分线交BD 于点E ，且AE ∥CD ，则AD 的长为 .
4. 如图3，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在射线EF上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP. 设BP=y，PE=x. （1）当 1 3 CQ CE =时，求y与x之间的函数关系式； （2）当 1 CQ CE n =（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式. Q P F E A B C D 图3 5.（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与CD相交于F点. 试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论； A B E F C D D C F E B A 图①图② （2）如图②，当F在DC的延长线上时（其他条件不变），请你直接写出线段AB与AF、CF之间的数量关系.
七年级数学上册 中点及角平分线习题 (新版)新人教版
B D 中点及角平分线（习题） 巩固练习 1. 已知线段 AB =2 cm ，延长 AB 到 C ，使 BC =2AB ，若点 D 为 AB 的中点，则线段 C D 的长为 ． 2. 已知点 C 为线段 AB 的中点，点 D 为线段 BC 的中点，若 AB =10 cm ，则线段 A D 的长是 ． 3. 已知：如图，线段 A B 的中点是 C ，BC 的中点是 D ，AD 的中点是 E ，若 A B =24 cm ，则 A E = ． A E C D B 4. 已知两根木条分别长 60 cm ，100 cm ，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木条的中点间的距离是 cm ． 5. 如图，B ，O ，C 在同一条直线上，OE 平分∠AOB ，OD 平分 ∠AOC ，则∠EOD = ． E A D B O C 6. 若点 C 在线段 AB 上，则下列等式：① AC = 1 AB ；②AC =CB ； 2 ③AB =2AC ；④AC +CB =AB ，其中能说明点 C 是线段 A B 中点的是 （填序号）． 7. 点 C 是线段 A B 的中点，点 D 是线段 B C 上一点，下列说法错误的是（ ） A ． C D = AC - BD C ． C D = AD - BC B ． C D = 1 AB - BD 2 D ． C D = 1 BC 2 8. 如图，点 D 为∠BAC 内一点，则下列等式： ① BAD = 1 ∠BAC 2 ② CAD = ∠BAC - ∠BAD ； ③ BAC = 1 ∠BAC + ∠BAD ； 2 A C ④ BAC = ∠BAD + ∠DAC ． 其中能说明射线AD 是∠BAC 平分线的有 （填序号）．
八年级数学角平分线的性质练习题
角平分线的性质练习题 1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在 _____________． 2、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 3、如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。 6、点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 7、在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 . 8、三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 9、如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 10、如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 11、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定 2 1 D A P O E B l 2 l 1 l 3 第9题 第10题 第11题 第3题 第4题 D C A E B
初一数学角与角平分线练习题
初一数学角与角平分线 中考要求 例题精讲 一、角的定义 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. 角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段． 定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始 边，终止位置的那条射线叫做角的终边. (1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知： （1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点； （3）角的两条边是射线，是无限延伸的. （4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 二、角的表示方法 ① 利用三个大写字母来表示，如图1.1． ∠AOB 图1.1 注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2． ∠A 图1.2 A 注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且 只有一个． ③ 用数字来表示角，如图2.1．
∠1图2.1 1 ③用希腊字母来表示角，如图2.2． ∠ α 图2.2 α 三、单位换算 1度＝60分(160 ?=') 1分=60秒(160 '=") 四、角的度量 （1）度量角的工具常用量角器 用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数） （2）角的度量单位及其换算 角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1?．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''． 角度之间的关系 1周角=360?1平角＝180?1直角＝90? 1周角＝2平角1平角＝2直角 角的分类： 锐角α（090 α <
八年级数学上 角平分线的作法
一. 教学内容： 1. 角平分线的作法． 2. 角平分线的性质及判定． 3. 角平分线的性质及判定的应用． 二. 知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点； ②分别以C 、D 为圆心，大于1 2 CD 长为半径画弧，两弧交于点P ； ③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求． O A B ① ② ③ 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导 已知：OC 平分∠MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， 垂足分别为点A 、点B ． 求证：PA ＝PB ． O P A B M N 12 C 证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO 和△PBO 中，???? ?∠PAO ＝∠PBO ∠1＝∠2 OP=OP ∴△PAO ≌△PBO ∴PA ＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
O P A B M N 12 如图所示，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ． （2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ． 求证：点P 在∠MON 的平分线上． O A B M N P 证明：连结OP 在R t △PAO 和R t △PBO 中，? ????PA ＝PB OP ＝OP ∴R t △PAO ≌R t △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．） O P A B M N 1 2 C 如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 3. 角平分线性质及判定的应用 ①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．
最新人教版初中八年级上册数学《角的平分线的判定》精品教案
第2课时角的平分线的判定 【知识与技能】 1.掌握角的平分线的判定. 2.会利用三角形角平分线的性质. 【过程与方法】 通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力. 【情感态度】 锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值. 【教学重点】 角平分线的判定. 【教学难点】 三角形的内角平分线的应用. 一、情境导入，初步认识 问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上. 二、思考探究，获取新知 三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？ 例1 如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、CA 的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数. 【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB 的度数即可，在△ABC中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC的度数.
解:∵OF⊥AB,OD⊥BC,且OF=OD, ∴BO平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4. ∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-1 2 (∠ABC+∠ACB)=180°- 1 2 (180°-∠ A)=90°+1 2 ∠A=125°. 【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质. 例2如图①,D、E、F是△ABC的三条边上的点，且CE=BF,S △DCE =S △DBF ，求证： AD平分∠BAC. 【分析】由已知条件可知△DCE和△DBF的两底CE=BF,且它们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D作DM⊥ AB,DN⊥AC,垂足分别为M和N，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD平分∠BAC. 【证明】如图②，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N. ∵S △DCE =S △DBF ,即 1 2 CE·DN= 1 2 BF·DM. 又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D在∠BAC的平分线上，即AD 平分∠BAC. 例3 如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,D是 AC上一点，且AE⊥BD并交BD的延长线于点E，又AE=1 2 BD.求证：BD是∠ABC 的平分线. 【分析】要证明BD是∠ABC的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，延长AE、BC交于F，根据条件证明△ABE≌△FBE即可. 【证明】延长AE、BC交于点F. ∵AE⊥BD,∠ACB=90°, ∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°, 即∠2=∠FAC. 在△BDC与△AFC中，
初中数学三角形内外角平分线有关命题的证明及应用
三角形内外角平分线 一.命题的证明及应用 在中考常有及三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下． 命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90° +∠A． 证明：如图１： ∵∠1＝∠，∠２＝∠， ∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°① ∠1＋∠2＋∠D=180°② ①－②得： ∠1＋∠2＋∠A＝∠D③ 由②得： ∠1＋∠2=180°－∠D④ 把③代入④得： ∴180°－∠D＋∠A＝∠D
∠D=90°+∠A． 点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明. 命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A． 证明：如图２： ∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线， ∴∠D=180°－∠1－∠2 =180°－（∠DBE+∠DCF） =180°－（∠A+∠4+∠A+∠3） =180°－（∠A+180°） =180°－∠A－90°
=90°－∠A； 点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于及它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明. 命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线及一个外角平分线的交点，则∠E=∠A． 证明：如图3： ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∠A+2∠1=2∠4① ∠1+∠E=∠4② ①×代入②得： ∠E=∠A． 点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于及它不相邻两外角的和，很容易证明.
命题4 如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE及一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线. 证明：如图3： ∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EF CE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF ∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等. 即EF=EG=EH ∵EG=EH ∴AE是△ABC的外角平分线． 点评利用角平分线的性质和判定能够证明． 应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看． 例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线． ①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数. ②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？ 解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°
人教版数学八年级上册12.3角的平分线的性质 教学设计
第十二章全等三角形 12.3角的平分线的性质教学设计 教材分析 本节内容是全等三角形知识的运用延伸，用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种典型方法——利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等．角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，常用来证明两条线段相等，角的平分线的性质的研究过程还可为后期学习线段垂直平分线的性质提供思路。 教学目标 1．会使用尺规作一个已知角的平分线； 2．掌握角的平分线的性质和判定； 3．能运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题． 教学重点及难点 重点：角平分线的尺规作图，角的平分线的性质和判定及其应用． 难点：1.理解对角平分线性质定理中“点到角两边的距离” 2.角的平分线的性质及判定定理的运用. 教学用具 直尺、刻度尺、量角器、角平分仪、多媒体、课件 教学过程 (一)导入新课 问题1：给出一个纸片做的角,能不能找出这个角的角平分线呢？ 师生活动：可用量角器，若不利用工具，也可用折纸的方法，教师课件演示． 问题2：哪一种方法用起来更方便？在生活中，这些方法是否都可行呢？ 师生活动：用量角器比较方便，但有误差，用折叠的方法比较简捷，但若换成木板、钢板等无法对折的材料,此方法就不行了，那还有别的方法适合吗？引出课题．［设计意图］设计“激趣设疑、联旧带新”环节，既能激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．（二）探索新知
七年级数学下册 角平分线的性质教案
第3课时 角平分线的性质 1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点) 一、情境导入 问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，∠FDC ＝∠BDE .试说明：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB . 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即DE ＝DC .再根据△CDF ≌△EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等，从而得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行求解． 解：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在△CDF 和△EDB 中，∵?????∠C ＝∠DEB ＝90°，DC ＝DE ，∠FDC ＝∠BDE ， ∴△CDF ≌△EDB (ASA)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ＝90°.在△ADC 和△ADE 中，∵?????∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌ △ADE (AAS)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .
数学人教版八年级上册角平分线性质
E 12.3 《角的平分线的性质》（第1课时） 一、教学目标 1、知识与技能： （1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法。 （2）理解角的平分线的性质并能初步运用。 2、过程与方法： 通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。 3、情感与态度： 充分利用多媒体教学优势，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。 二、、教学重点、难点 教学重点：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。 教学难点：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解； 2、对于性质定理的运用。 三、教学方法 引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习 四、教学过程 一、创设情景 生活中的数学问题： 小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P 点，要从P 点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。 探索体验 探索1：如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=CD .将点A 放在角的顶点,AB,CD 沿着角的两边入放下,沿AC 画一条射线AE,AE 就是角平分线.你能说明它的道理吗 ?
从上面的探究中可以得到作已知角的平分线的方法。 观察领悟作法，探索思考证明方法 画法： 以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N ． 分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ． 作射线ＯＣ． 射线ＯＣ即为所求． 教师先在黑板上示范作图，再利用多媒体演示作图过程及画法，加深印象，并强调尺规作图的规范性。 想一想：为什么OC 是角平分线呢？ 利用三角形全等证明角平分线，进一步 明确命题的题设与结论，熟悉几何证明 过程。 已知：OM=ON ，MC=NC 。 求证：OC 平分∠AOB 。 证明：在△OMC 和△ONC 中， OM=ON ， MC=NC ， OC=OC ， ∴ △OMC ≌ △ONC （SSS ） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC 平分∠AOB 探索2： 让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一
初中数学常见模型之角平分线四大模型
角平分线四大模型 模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。 结论：PB=PA 。 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 模型实例 （1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D 到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC 。 热搜精练 1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。 2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。 N M O A B P 2图4321A C P B D A B C 图1A B D C
模型2 截取构造对称全等 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。 结论：△OPB ≌△OPA 。 模型分析 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 模型实例 （1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点 A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由； （2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。 热搜精练 1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。 求线段BC 的长。 A B D C P P O N M B A 图2D P A B C D C 1图P B A A B C D
七年级数学角平分线和垂直平分线的性质》综合练习
七下数学《角平分线和垂直平分线的性质》综合练习 一．选择题（共9小题） 1．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 2．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（） A．在AC、BC两边高线的交点处 B．在AC、BC两边中线的交点处 C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处 3．如图：ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则ΔDEB 的周长是（） A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对 4．（如图，在已知的ΔABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D， 连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（） A．90° B．95° C．100°D．105° 5．如图，ΔABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为（） A．48° B．36° C．30° D．24° 6．如图，在ΔABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，∠DBC=15°，则∠A的度数是（） A．50° B．20° C．30° D．25° 7．如图，在ΔABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（） A．2个B．3个C．4个 D．5个 8．如图，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论： ①EF=BE+CF； ②∠BOC=90°+∠A； ③点O到ΔABC各边的距离相等； ④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn． 其中正确的结论是（） A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④ 9．如图，在ΔABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二．填空题 10．如图，已知∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到边AB的距离为．11．如图，O是ΔABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=．（第10题）（第11题）（第12题） 12．如图，在ΔABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，ΔABE 的周长为14，则ΔABC的周长为．
数学人教版八年级上册《角的平分线》的画法
角的平分线的画法 数学课上，探讨角平分线的作法时，黎老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下： 小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下： 步骤： ①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON． ②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P． ③作射线OP．则OP为∠AOB的平分线． 小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线． 根据以上情境，解决下列问题： (1)黎老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_______．
(2)小聪的作法正确吗？请说明理由． (3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法． （要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明） 试题分析： （1）根据三角形全等的判定方法“SSS”解答. （2）利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，根据全等三角形对应边相等解答. （3）利用刻度尺作出PM=PN，再利用“SSS”证明两三角形全等，即可得解： 在△MOP和△NOP中，，∴△MOP≌△NOP（SSS）.∴∠MOP=∠NOP.∴OP 是∠AOB的平分线. 试题解析： （1）黎老师用到的三角形全等的方法是“SSS”. （2）小聪的作法正确。理由如下： 在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）. ∴∠MOP=∠NOP.∴OP是∠AOB的平分线. （3）如图： ①利用刻度尺上的刻度，在OA和OB上分别画点M、N，使OM=ON； ②用两个刻度尺作出MP=NP，交于点P；
③作射线OP，则OP就是∠AOB的平分线. 考点:1. 全等三角形的应用;2.作图（基本作图）.
中考数学专题复习——三角形和角平分线(详细答案)
中考数学专题复习——三角形和角平分线 一．选择题（共16小题） 1．（2018?柳州）如图，图中直角三角形共有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2018?贵阳）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（） A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG 3．（2018?河北）下列图形具有稳定性的是（） A．B．C．D． 4．（2018?长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（） A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm 5．（2018?福建）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（）A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5 6．（2018?常德）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（） A．1 B．2 C．8 D．11
7．（2018?昆明）在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为（） A．90°B．95°C．100° D．120° 8．（2018?长春）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（） A．44°B．40°C．39°D．38° 9．（2018?黄石）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（） A．75°B．80°C．85°D．90° 10．（2018?聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠， 使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β， ∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（） A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°﹣α﹣β 11．（2018?广西）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（）
北师大版八年级数学下册角平分线-教案
《4 角平分线》教案 第1课时 教学目标 掌握角的平分线的性质和判定，并会运用它们解决实际问题． 教学重点难点 重点：掌握角的平分线的性质和判定． 难点：例解性质和判定的互逆关系，并能正确运用它们解决问题． 教学过程 1、引例 在S 区有一个贸易市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？ 2、角平分线的性质定理 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 例1、在△ABC 中，已知点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，并且BE=CF ，试证：AD 在∠BAC 的角平分线上． 3、角平分线的判定定理 例2、在∠AOB 中有一点P ，已知PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，且PE=PF ．试证：点P 在∠AOB 的角平分线上． 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 例3、在△ABC 中，已知AD 将∠BAC 平分，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，试证：BE=CF ． 4、练习 在△ABC 中，AM 平分∠BAC ，BN 平分∠ABC ，AM 与BN 于点P ，试证：点P 到三边的距离都相等；点 P 在∠ACB 的角平分线上． 四、小结 1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 2、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．S 公路 铁路 P
第2课时 教学目标 1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理． 2、进一步发展学生的推理证明意识和能力． 教学重难点 证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理． 教学过程 一、学习准备 1、三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离． 2、三角形三条边的角平分线相交于一点，这一点一定在三角形． 二、自学提示 探究一： 1、用尺规作图作下面三角形的三条角平分线，你发现什么结论，并证明． 如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上． 定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离． 引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=＿＿． 例：△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E． 已知：CD=4cm，求AC长．求证：AB=AC+CD．
沪科版-数学-七年级上册-与角的平分线有关的典型例题
与角的平分线有关的典型例题 对于角平分线的认识，同学们要注意以下两点： （1）它是角的内部的一条射线，并且是一条特殊的射线，它把角分成了相等的两部分． （2）要掌握角平分线的数学表达式． 下面重点介绍与角的平分线有关的计算问题 例1．如图1，O 是直线AB 上的一点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线．求∠DOE 的度数． 解：因为OD 、OE 分别是∠AOC、∠COB 的平分线， 所以∠COD=21∠AOC，∠COE=2 1∠COB， 所以∠DOE=∠DOC+∠COE=21∠AOC+2 1∠COB =21(∠AOC+∠COB)=21∠AOB=21×180°=90°． 例2．如图2，∠AOC 为直角,OC 是∠BOD 的平分线,且∠AOB=35°,求∠AOD 的度数． 分析：和图形有关的角度计算问题，需要从图形中找到角与角 之间的关系．本题要求∠AOD 的读数，则只要求出∠COD 的度数即 可． 解：因为∠BOC=∠AOC -∠AOB=90°-35°=55°, 又OC 平分∠BOD, 所以∠COD=∠BOC=55°, 所以∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+55°=145° 【评注】解决与图形有关的角的计算问题关键将所求的角转化为已知角求解． 例3．如图3，∠AOB=90°，∠AOC 为∠AOB 外的一个锐角，且∠AOC=30°，射线OM 平分∠BOC，ON 平分∠AOC． （1）求∠MON 的度数； （2）如果（1）中∠AOB=α，其它条件不变，求∠MON 的度数； （3）如果（1）中∠AOC=β（β为锐角），其它条件不变，求∠MON 的度数； （4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？ （5）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法． 请你模仿（1）～（4）设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律来． 析解：此题是从特殊化的图形中，寻求解题的思路．然后回到一般图形中，探求一般图1 图2 图3
【5A版】初中数学角平分线说课稿
§1.4.1角平分线 尊敬的各位领导、各位老师： 大家好！ 我今天说课的课题是角平分线，它是北师大版八年级下册第一章第四节的内容。今天我将从教材分析，教学目标，教学重难点，教法学法，教学过程这五个方面谈谈我对这节课处理的一些不成熟的看法： 一、教材分析：角平分线的概念在之前已经介绍过，它的性质很重要，在几何里证明线段或角相等时常常用到它们，为证明过程开辟了新的途径。而前几节对用直角三角形全等的判定方法的学习，为证明角平分线的性质定理和逆定理创造了条件。 二、教学目标分析：我把教学目标设定为以下三个方面： 知识目标：能够掌握并证明角平分线的性质定理、判定定理；并能能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题 技能目标：通过定理的初步应用，培养学生的逻辑推理能力及创新的能力. 情感目标：通过自主学习和发展体验获取数学知识的成就感； 三、教学重点和难点分析： 本节内容的重点是角平分线的性质定理、判定定理及它们的应用。 难点是如何直接利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。 四、教法学法分析：本节课我将以学生为主体，结合多媒体教学，引导学生自主学习、合作学习和探究学习，鼓励学生多思、多说、多练，让学生在观察中发现，在发现中探索，在探索中创新。 五、教学过程分析：本节课分成七个环节： 第一环节是复习引入,温故而知新： 在这一部分，我主要通过提问的形式来复习两个相关的知识内容：点到直线的距离和角平分线的定义；为学生探索学习角平分线打下基础。 第二个环节创设情境，引入课题。 我先提出一个问题：同学们知道角平分线上的点有什么性质吗？可以怎样得到它们呢？ 在这里，我设计折纸和量一量的活动，通过让学生动手操作、体验，从而更直观地了解角平分线及其性质，并且能更准确地用文字语言把角平分线的性质定理表示出来：即角平分线上的点到角两边的距离相等。 第三个环节探究证明，这一环节我将分为两个部分来完成： 第一部分，先提出思考，除了用动手操作的方法证明这个定理之外，能否用几何语言把它的证明表达出来？ 然后引导并要求学生把定理写成“如果……那么……”形式，再根据其条件和结论，写出已知、求证和证明过程。 这一部分我将由学生独自完成，对有困难的学生加以指导，这样即可以检查学生对利用三角形全
角平分线的性质-湘教版八年级数学下册优秀教案设计
1．4 角平分线的性质 1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点) 2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点 ) 一、情境导入 在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等 【类型一】 利用角平分线的性质求线段长 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°， AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB ＝7cm ，则△DBE 的周长是____________． 解析：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，根据角平分线的性质，可得CD ＝ED ，AC ＝AE ＝BC ，继而可得△DBE 的周长为DE ＋BD ＋BE ＝CD ＋BD ＋BE ＝BC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB .故答案为7cm. 方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 【类型二】 利用角平分线的性质求面积 如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 且交BC 的延长线于点F .若AB ＝18cm ，BC ＝12cm ，DE ＝2.4cm ，求△ABC 的面积． 解析：根据角平分线的性质得到DE ＝DF ，再将△ABC 分成△BCD 和△ADB 两个三角形，分别求出它们的面积再求和． 解：∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，DF ⊥BF ，∴DE ＝DF .∵S △ABC ＝S △BCD ＋S △ABD ＝12BC ·DF ＋12AB ·DE ＝12(BC ＋AB )·DE ＝12 ×30×2.4＝36(cm 2)． 方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和． 【类型三】 利用角平分线的性质进行证明 如图，已知∠1＝∠2，P 为BN 上 一点且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC ＝2BD ，求证：∠BAP ＋∠BCP ＝180°. 解析：过点P 作PE ⊥BA ，根据已知条件得Rt △BPE ≌Rt BPD ，再根据AB ＋BC ＝2BD 得AE ＝CD ，可证Rt △APE 和Rt PDC ，可得∠PCD ＝∠P AE ，根据邻补角互补可得∠BAP ＋∠BCP ＝180°. 证明：过P 作PE ⊥AB ，交BA 的延长