高考立体几何大题及答案理

1.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面

ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，

∠ABM=60

。

（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；

()II 求二面角S AM B --的大小。

2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小

3.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；

（II ）求

AD 与平面ABE 所成角的正弦值．

4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，

PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中

点

时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.

5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，

PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ．

B C D

E

O

A

P

B

M

（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离．

6.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面； （II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。

7.如图，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,SD ＝AD ＝a ,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1），

都有AC ⊥BE :

(Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ，求λ的值。

8.如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4,

17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E .（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面

11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。

9.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；

（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，

求证： PM ∥BCE 平面

（III ）求二面角F BD A --的大小。

10.如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2

BAD π

∠=

，2CD AD ==，四边形

ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,7FC ED ==．求：

（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离； （Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值． 11．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行

四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面

ABCD ．

(1)证明：PA ⊥BD ；

(2)设PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值．

12（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD ,AC ⊥BD ，垂足为H ，

PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点 （1） 证明：PE ⊥BC

（2） 若∠APB =∠ADB =60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值

参考答案

1、【解析】（I ）解法一：作MN ∥SD 交CD 于N ，作NE AB ⊥交AB 于E ，

连ME 、NB ，则MN ⊥面ABCD ，ME AB ⊥,NE AD ==设MN x =，则NC EB x ==,

在RT MEB ?中，60MBE ∠=?ME ∴=。

在RT MNE ?中由222ME NE MN =+2232x x ∴=+

解得1x =，从而1

2

MN SD =

∴ M 为侧棱SC 的中点M . 解法二:过M 作CD 的平行线.

（II ）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过M 作MJ ∥CD 交SD 于J ,作SH AJ ⊥交AJ 于H ,作HK AM ⊥交AM 于K ,则

JM ∥CD ,JM ⊥面SAD ,面SAD ⊥面MBA ,SH ⊥面AMB ∴SKH ∠即为所求二面角的补角.

法二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，取SA 的中点G ，连GF ，易证GF AM ⊥，则GFB ∠即为所求二面角.

解法二、分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ，则

)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(S C B A 。

（Ⅰ）设)0,0)(,,0(>>b a b a M ，则

)2,,0(),,2,2(),0,2,0(-=--=-=b a SM b a BM BA ，

)2,2,0(-=SC ，由题得

??

?

?

?

>=

????

-=-=++-?--)

2(22212)2(2)2(22

2b a b a a 解之个方程组得1,1==b a 即)1,1,0(M 所以M 是侧棱SC 的中点。

法2：设MC SM λ=，则)12

,12,2(),12,12,

0(λ

λλλλ+-+=++MB M 又o AB MB AB 60,),0,2,0(>=<=

故o AB MB AB MB 60cos ||||?=?，即

2

2)12()12(214λ

λλ++++=+，解得1=λ， 所以M 是侧棱SC 的中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得)1,1,2(),1,1,0(--=MA M ，又)2,0,2(-=AS ，)0,2,0(=AB ，

设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别是平面SAM 、MAB 的法向量，则

????

?=?=?0011AS n MA n 且?????=?=?0012AB n MA n ，即?????=+-=--022*******z x z y x 且?????

==--02022222y z y x 分别令221==x x 得2,0,1,12211====z y y z ，即

)2,0,2(),1,1,2(21==n n ，

∴3

6

6

2202,cos 21=

?++>=

6arccos

-π。 2、解法一：（Ⅰ）取BC 中点F ，连接EF ，则EF

1

2

1B B ，从而EF DA 。 连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF //DE 。又DE ⊥平面1BCC ，故AF ⊥平面1BCC ，从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB =AC 。

（Ⅱ）作AG ⊥BD ，垂足为G ，连接CG 。由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角

A -BD -C 的平面角。由题设知，∠AGC =600..

设AC =2，则AG =

3

。又AB =2，BC =22，故AF =2。 由AB AD AG BD ?=?得2AD =

22.23

AD +，解得AD =2。

故AD =AF 。又AD ⊥AF ，所以四边形ADEF 为正方形。

因为BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD =A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF 。 连接AE 、DF ，设AE ∩DF =H ，则EH ⊥DF ，EH ⊥平面BCD 。 连接CH ，则∠ECH 为1B C 与平面BCD 所成的角。

因ADEF 为正方形，AD 2EH =1，又EC =11

2

B C =2，

所以∠ECH =300，即1B C 与平面BCD 所成的角为300. 解法二：

（Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如

图所示的直角坐标系A —xyz 。

0，

设B （1，0，0），C （0，b ，0），D （0，0，c ），则1B （1，

2c ）,E （12，2

b

，c ）.

于是DE →

=（12，2

b

，0），BC →=（-1，b ,0）.由DE ⊥平面1BCC 知DE ⊥BC ， DE BC →→?=0，

求得b =1，所以 AB =AC 。

（Ⅱ）设平面BCD 的法向量(,,),AN x y z →

=则0,0.AN BC AN BD →→→→

?=?= 又BC →

=（-1，1， 0），

BD →

=（-1，0，c ）,故0

x y x cz -+=??

-+=? 令x =1, 则y =1, z =1c ,AN →=(1,1, 1

c

).

又平面ABD 的法向量AC =（0，1，0）

由二面角C BD A --为60°知，AC AN ，

=60°， 故 60cos ??=?AC AN AC AN °，求得2

1c =

于是 ），，（211=AN ， ）

，，211(1-=CB 2

1

cos 1

11=

??=

CB AN CB AN CB AN ，， 601=CB AN ，

° 所以C B 1与平面BCD 所成的角为30°

3、（Ⅰ）证明：连接CQ DP ,， 在ABE ?中，Q P ,分别是AB AE ,的中点，所以BE PQ 2

1

//==，

又BE DC 21

//==，所以DC PQ ==

//，又?PQ 平面ACD ，DC ?平面ACD ， 所以//PQ 平面ACD

（Ⅱ）在ABC ?中，BQ AQ BC AC ===,2，所以AB CQ ⊥

而DC ⊥平面ABC ，DC EB //，所以⊥EB 平面ABC

而?EB 平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面ABC ， 所以⊥CQ 平面ABE

由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以CQ DP //

所以⊥DP 平面ABE ， 所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP ，

所以直线AD 与平面ABE 所成角是DAP ∠

在APD Rt ?中，5122222=+=+=DC AC AD ，1sin 2=∠==CAQ CQ DP

所以55

5

1sin =

==

∠AD DP DAP 4、【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，

∵PD ABCD ⊥底面，

∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面.

（Ⅱ）设AC ∩BD =O ，连接OE ，

由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点，

∴OE //PD ，1

2

OE PD =

，又∵PD ABCD ⊥底面， ∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，

在Rt △AOE 中，122

OE PD AB AO =

==， ∴45AOE ?∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45?. 【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -， 设,,AB a PD h ==

则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ， （Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==，

∴0,0AC DP AC DB ?=?=，

∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面.

（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，()

11,,,222P E a a a ??

? ??

?，

设AC ∩BD =O ，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，

∵112,,,0,0,22EA a a a EO ????

=--= ? ? ? ?????

，

∴2

cos EA EO AEO EA EO

?∠=

=

?， ∴45AOE ?∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45?.

∴多面体ABCDEF 的体积为V E —ABCD ＋V E —BCF =

5、解：方法（一）：

（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.

（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，

由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN 是PN 在平面ABM 上的射影，

所以

PNM ∠就是PC 与平面ABM 所成的角，

且PNM PCD ∠=∠

所求角为arctan （3）因为O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M ，则|DM |就是D 点到平面ABM 距离.

因为在Rt △PAD 中，4PA AD ==，PD AM ⊥，所以M 为PD 中点，DM =O 点

到平面ABM 。

方法二： （1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(2,0,0)B ， (2,4,0)C ，

(0,4,0)D ，(0,2,2)M ，

设平面ABM 的一个法向量(,,)n x y z =，由,n AB n AM ⊥⊥可得：20220x y z =??+=?，令1z =-，

则1y =，即(0,1,1)n =-.设所求角为α，则2sin PC n PC n

α?=

=

所求角的大小为arcsin

3

. （3）设所求距离为h ，由(1,2,0),(1,2,0)O AO =，得：2AO n h n

?=

=

6、【解析】解法一：

因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF.

所以BC⊥EF.

因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，

所以∠AEB=45°，

又因为∠AEF=45,

所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.

因为BC?平面ABCD, BE?平面BCE,

BC∩BE=B

⊥平面

所以EF BCE

…………………………………………6分

（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MN1

A B PC

2

∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.

∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,

∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分

（III ）由EA ⊥AB ,平面ABEF ⊥平面ABCD ,易知EA ⊥平面ABCD .

作FG ⊥AB ,交BA 的延长线于G ,则FG ∥EA .从而FG ⊥平面ABCD , 作GH ⊥BD 于H ,连结FH ,则由三垂线定理知BD ⊥FH . ∴ ∠FHG 为二面角F -BD -A 的平面角. ∵ FA =FE ,∠AEF =45°, ∠AEF =90°, ∠FAG =45°.

设AB =1,则AE =1,AF =

2

2

,则1FG AF sin FAG 2=?=

在Rt ⊿BGH 中, ∠GBH =45°,BG =AB +AG =1+12=3

2

,

3232GH BG sin GBH 224

=?=

?=, 在Rt ⊿FGH 中, FG 2

tan FHG GH 3

=

=, ∴ 二面角F BD A --的大小为2

arc tan

3

…………………………………………12分 解法二: 因ABE ?等腰直角三角形，AE AB =，所以AB AE ⊥

又因为平面AB ABCD ABEF =?平面，所以AE ⊥平面ABCD ，

所以AD AE ⊥

即AE AB AD 、、两两垂直；如图建立空间直角坐标系, (I ) 设1=AB ，则1=AE ，)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0(C E D B

∵?=∠=45,AEF FE FA ，∴090＝AFE ∠，

从而），，－（2

1

210F

)2

1

,21,0(--=，)0,0,1(),1,1,0(=-=BC BE

于是02

1

210=-+

=?，0=? ∴EF ⊥BE ,EF ⊥BC

∵BE ?平面BCE ，BC ?平面BCE ，B BE BC =? ∴EF BCE ⊥平面

（II ）)0,21,1(),21,0,0(P M ，从而)2

1

,21,1(--=

于是04

1

410)21,21,0()21,21,1(=-+=--?--=?

∴PM ⊥EF ，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内， 故PM ∥平面BCE

（III ）设平面BDF 的一个法向量为1n ，并设1n ＝（),,z y x

?????=?=?0011BF n n 即???

??=+-=-021

2

30z y y x 取1=y ，则1=x ，3=z ，从而1n ＝（1，1，3） 取平面ABD D 的一个法向量为)1,0,0(2=n

故二面角F BD A --的大小为11

11

3arccos

7、（Ⅰ）证发1：连接BD ，由底面是正方形可得AC ⊥BD 。 SD ⊥平面ＡＢＣＤ，∴BD 是BE 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得AC ⊥BE .

(II )解法1： SD ⊥平面ABCD ，ＣＤ?平面ＡＢＣＤ，∴ SD ⊥CD .

又底面ＡＢＣＤ是正方形，∴ ＣD ⊥ＡD ，又ＳＤ AD =D ，∴CD ⊥平面SAD 。 过点D 在平面SAD 内做DF ⊥AE 于F ，连接CF ，则CF ⊥AE ， 故∠CFD 是二面角C -AE -D 的平面角，即∠CFD =60°

在Rt △ADE 中， AD =a , DE = a λ， AE =a

12+λ 。

于是，DF =

1

2

+=?λλa AE

DE

AD

在Rt △CDF 中，由cot 60°=

1

2

+=λλCD

DF

得

3

3

1

2=

+λλ， 即332+λ=3λ (0,1]λ∈， 解得λ=

2

2 8、解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱111ABC A B C -的性质知1AA ⊥平面ABC .

又DE ?平面ABC ，所以DE 1AA ⊥.而DE ⊥1A E ，111AA A E A =,

所以DE ⊥平面11ACC A .又DE ?平面1A DE ， 故平面1A DE ⊥平面11ACC A .

（Ⅱ）解法 1: 过点A 作AF 垂直1A E 于点F , 连接DF .由（Ⅰ）知，平面1A DE ⊥平面11ACC A ， 所以AF ⊥平面1A DE ,故ADF ∠是直线AD 和 平面1A DE 所成的角。因为DE ⊥11ACC A ， 所以DE ⊥AC.而?ABC 是边长为4的正三角形，

于是AD =23，AE=4-CE =4-1

2

CD =3.

又因为17AA =，所以1A E = 2211A E AA AE =+22(7)3=+= 4,

1137

AE AA AF A E ?=

=

, 21sin 8AF ADF AD ∠==.

即直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值为

218

解法2 : 如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系，

则相关各点的坐标分别是A (2,0,0,), 1A (2,0,7), D (-1,

3,0), E (-1,0,0).

易知1A D =（-3，3，-7），DE =（0，-3，0），AD =（-3，3，0）. 设(,,)n x y z =是平面1A DE 的一个法向量，则

解得7

,0x z y =-

=. 故可取(7,0,3)n =-.于是

cos ,n AD n AD n AD

?=

?=

3721

8423

-=-? 由此即知，直线AD 和平面1A DE 21

所以ME 与BN 不共面，它们是异面直线。 ……..12分 9、【解析】解法一：

因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD =AB ， 所以BC ⊥平面ABEF . 所以BC ⊥EF .

因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，

所以∠AEB=45°，

又因为∠AEF=45,

所以∠FEB=90°，即EF⊥BE.

因为BC?平面ABCD, BE?平面BCE,

BC∩BE=B

所以EF BCE

⊥平面………………6分

（II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MN1

A B PC

2

∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.

∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,

∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.

作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,

作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.

∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.

∵ FA =FE ,∠AEF =45°,∠AEF =90°, ∠FAG =45°.

设AB =1,则AE =1,AF =

2

2

,则1FG AF sin FAG 2=?=

在Rt ⊿BGH 中, ∠GBH =45°,BG =AB +AG =1+12=3

2

,

3232GH BG sin GBH 224

=?=

?=, 在Rt ⊿FGH 中, FG 2

tan FHG GH 3

=

=, ∴ 二面角F BD A --的大小为2

arc tan

3

………………12分 解法二: 因ABE ?等腰直角三角形，AE AB =，所以AB AE ⊥

又因为平面AB ABCD ABEF =?平面，所以AE ⊥平面ABCD ，所以AD AE ⊥ 即AE AB AD 、、两两垂直；如图建立空间直角坐标系, (I ) 设1=AB ，则1=AE ，)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0(C E D B

∵?=∠=45,AEF FE FA ，∴090＝AFE ∠，

从而），，－（2

1

210F

)2

1

,21,0(--=EF ，)0,0,1(),1,1,0(=-=

于是02

1

210=-+

=?BE EF ，0=?