常微分方程考研讲义第三章一阶微分方程解的存在定理
第三章一阶微分方程解的存在定理
[教学目标]
1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解
的误差估计式。
2.了解解的延拓定理及延拓条件。
3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时
[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]
1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法
微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程
2dy
y dx
= 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数
2
0 0() c<1
x c
y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。
1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx
dy
= （3.1）
这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。
定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，
2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件
00()x y ?=
（3.3）
其中,min(,),max (,)x y R b
h a M f x y M
∈==,L 称为Lipschitz 常数.
思路：
1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 0
0(,)x
x y y f x y dx =+?
的连续解。
2） 构造近似解函数列{()}n x ?
任取一个连续函数0()x ?，使得00|()|x y b ?-≤，替代上述积分方程右端的
y ，得到
100()(,())x
x x y f x x dx ??=+
?
如果10()()x x ??≡，那么0()x ?是积分方程的解，否则，又用1()x ?替代积分方程右端的y ，得到
201()(,())x
x x y f x x dx ??=+
?
如果21()()x x ??≡，那么1()x ?是积分方程的解，否则，继续进行，得到 0
01()(,())x
n n x x y f x x dx ??-=+?
（3.4）
于是得到函数序列{()}n x ?.
3） 函数序列{()}n x ?在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ?，即 lim ()()n n x x ??→∞
=
存在，对(3.4)取极限,得到
00
010lim ()lim (,()) =(,())
x
n n x n n x
x x y f x x dx
y f x x dx ???-→∞
→∞=++??
即0
0()(,())x
x x y f x x dx ??=+
?
.
4) ()x φ是积分方程0
0(,)x
x y y f x y dx =+
?
在00[,]x h x h -+上的连续解.
这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理.
为了讨论方便,只考虑区间00x x x h ≤≤+,对于区间00x h x x -≤≤的讨论完全类似.
命题1 设()y x ?=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件
00()x y ?= （3.3）
的解,则()y x ?=是积分方程 0
0(,)x
x y y f x y dx =+?
00x x x h ≤≤+
(3.5)
的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.
证明 因为()y x ?=是方程(3.1)满足00()x y ?=的解,于是有
()
(,())d x f x x dx
??= 两边取0x 到x 的积分得到 0
0()()(,())x
x x x f x x dx ???-=?
00x x x h ≤≤+
即有0
0()(,())x
x x y f x x dx ??=+
?
00x x x h ≤≤+
所以()y x ?=是积分方程0
0(,)x
x y y f x y dx =+
?
定义在区间00x x x h ≤≤+上的连续解.
反之,如果()y x ?=是积分方程(3.5)上的连续解,则
0()(,())x
x x y f x x dx ??=+? 00x x x h ≤≤+
（3.6）
由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())f x x ?连续,两边对x 求导,可得
()
(,())d x f x x dx
??= 而且 00()x y ?=,
故()y x ?=是方程(3.1)定义在区间00x x x h ≤≤+上,且满足初始条件00()x y ?=的解. 构造Picard 的逐次逼近函数序列{()}n x ?.
0000100()()(,()) x n
n x x y x y f d x x x h ??ξ?ξξ-=??
?=+≤≤+???(1,2,)n =
（3.7）
命题2 对于所有的n ，（3.6）中的函数()n x ?在00x x x h ≤≤+上有定义，连续且满足不等式
0|()|n x y b ?-≤ （3.8）
证明 用数学归纳法证明 当1n =时，0
100()(,)x
x x y f y d ?ξξ=+?
，显然1()x ?在00x x x h ≤≤+上有定
义、连续且有
10000|()||(,)||(,)|()x x
x x x y f y d f y d M x x Mh b ?ξξξξ-=≤≤-≤≤??
即命题成立.
假设n k =命题2成立，也就是在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等式 0|()|k x y b ?-≤ 当1n k =+时，
10()(,())x
k k x x y f dx ?ξ?ξ+=+
?
由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())k f x x ?在00x x x h ≤≤+上连续，于是得知1()k x ?+在00x x x h ≤≤+上有定义、连续,而且有 0
100|()||(,())|()x
k k x x y f d M x x Mh b ?ξ?ξξ+-≤
≤-≤≤?
即命题2对1n k =+时也成立.由数学归纳法知对所有的n 均成立.
命题3 函数序列{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的.
记lim ()()n n x x ??→∞
=,00x x x h ≤≤+
证明 构造函数项级数 011
()[()()]k
k k x x x ??
?∞
-=+-∑ 00x x x h ≤≤+
(3.9) 它的部分和为
011
()()[()()]()n
n k
k n k S x x x x x ??
??-==+
-=∑
于是{()}n x ?的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数(3.9)的通项进行估计.
1000|()()||(,())|()x
x x x f d M x x ??ξ?ξξ-≤≤-?
(3.10)
2110|()()||(,())(,())|x
x x x f f d ??ξ?ξξ?ξξ-≤-?
由Lipschitz 条件得知
2110020|()()||()()|ξ
() ()2!
x
x x
x x x L d L M x d ML
x x ???ξ?ξξξ-≤-≤-≤
-??
设对于正整数n ,有不等式
1
10|()()|() !
n n n n ML x x x x n ??---≤- 成立,则由Lipschitz 条件得知,当00x x x h ≤≤+时,有
01110
1
0|()()||(,())(,())| |()()|ξ
() ! ()(+1)!
x
n n n n x x
n n x n x n
x n
n x x f f d L d ML x d n ML x x n ??ξ?ξξ?ξξ
?ξ?ξξξ+--+-≤-≤-≤-≤-???
于是由数学归纳法可知, 对所有正整数k ,有
1110|()()|() !!
k k k
k k k ML ML x x x x h k k ??----≤-≤ 00x x x h ≤≤+
(3.11) 由正项级数
1
1
!
k
K k h ML
k ∞
-=∑ 的收敛性,利用Weierstrass 判别法,级数(3.9)在00x x x h ≤≤+上一致收敛.因而序列{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛.
设lim ()()n n x x ??→∞
=,则()x ?也在00x x x h ≤≤+上连续,且
0|()|x y b ?-≤
命题4 ()x ?是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.
证明 由Lipschitz 条件
|(,())(,())||()()|n n f x x f x x L x x ????-≤-
以及{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛于()x ?,可知(,())n f x x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛于(,())f x x ?.因此
000101lim ()lim (,())
=lim (,())
x
n n x n n x
n x n x y f d y f d ?ξ?ξξξ?ξξ-→∞
→∞-→∞
=++??
即 0
0()(,()) x
n x x y f d ?ξ?ξξ=+
?
故()x ?是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.
命题5 设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则()()x x ?ψ≡,00x x x h ≤≤+.
证明 设()|()()|g x x x ?ψ=-,则()g x 是定义在00x x x h ≤≤+的非负连续函数,由于
0()(,()) x
x x y f d ?ξ?ξξ=+
?
0()(,()) x
x x y f d ψξψξξ=+?
而且(,)f x y 满足Lipschitz 条件,可得
()|()()||[(,())(,())]|
|(,())(,())| |()()|()x
x x
x x
x
x x g x x x f f d f f d L d L g d ?ψξ?ξξψξξξ?ξξψξξ
?ξψξξξξ
=-=-≤
-≤-=??
??
令0
()()x
x u x L
g d ξξ=?
,则()u x 是00x x x h ≤≤+的连续可微函数,且0()0u x =,
0()()g x u x ≤≤,()()u x Lg x '=,()()u x Lu x '≤,(()())0Lx u x Lu x e -'-≤,
即(())0Lx u x e -'≤,于是在00x x x h ≤≤+上, 00()()0Lx Lx u x e u x e --≤= 故()()0g x u x ≤≤,即()0g x ≡,00x x x h ≤≤+,命题得证.
对定理说明几点:
(1)存在唯一性定理中min(
,
)b
h a M
=的几何意义.
在矩形域R 中(,)f x y M ≤,故方程过00(,)x y 的积分曲线()y x ?=的斜率必介于M -与M 之间,过点00(,)x y 分别作斜率为M -与M 的直线.
当b M a ≤
时，即b a M
≤,（如图(a)所示），解()y x ?=在00x a x x a -≤≤+上有定义；当b M a ≥时,即b
a M
≤,（如图(b)所示），不能保证解在00x a x x a -≤≤+上有
定义，它有可能在区间内就跑到矩形R 外去，只有当00b b
x x x M M
-≤≤+
才能保证解()y x ?=在R 内，故要求解的存在范围是
0||x x h -≤.
(2)、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数),(y x f 在矩形域R 上关于y 的偏导数),('y x f y 存在并有界，即'(,)y f x y L ≤，则李普希兹条件条件成立. 事实上
212121212(,())
|(,)(,)||
|||
||
f x y y y f x y f x y y y y L y y θ?+--=-?≤-
这里12(,),(,),01x y x y R θ∈<<. 如果),('y x f y 在R 上连续，它在R 上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如函数
(,)||f x y y =在任何区域都满足李普希兹条件,但它在0y =处没有导数.
(3)、设方程(3.1)是线性的,即方程为
()()dy
P x y Q x dx
=+ 易知,当(),()P x Q x 在区间[,]αβ上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值
000(,),[,]x y x αβ∈所确定的解在整个区间[,]αβ上有定义、连续.
实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在0||x x h -≤上,是因为在构造逐步逼近函数序列{()}n x ?时,要求它不越出矩形域R ,此时,右端函数对y 没有任何限制,只要取0[,]
max |()()|x M P x y Q x αβ∈=+.
(4)、Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 例如 试证方程
0 =0
ln || 0 y dy y y dx y ≠?=?
?
经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.
证明 0y ≠时, (,)ln ||f x y y y =,在0y ≠上连续, (,)1ln ||y f x y y '=+也在
0y ≠上连续,因此对x 轴外的任一点00(,)x y ,方程满足00()y x y =的解都是唯一存在的.
又由
ln ||dy
y y dx
= 可得方程的通解为 x
ce y e
=±,其中
x
ce y e
=为上半平面的通解,
x
ce y e
=-为
下半平面的通解,它们不可能与0y =相交.注意到0y =是方程的解,因此对x 轴上的任一点0(,0)x ,只有0y =通过,从而保证xoy 平面上任一点的解都是唯一的. 但是
|(,)(,0)||ln ||||ln |||||f x y f x y y y y -== 因为0
lim |ln |||y y →=+∞,故不可能存在0L >,使得
|(,)(,0)|||f x y f x L y -≤
所以方程右端函数在0y =的任何邻域并不满足Lipschitz 条件.
此题说明Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程
(,,)0F x y y '= (3.12)
由隐函数存在定理,若在000
(,,)x y y '的某一邻域内F 连续且000(,,)0F x y y '=,而0F
y ?≠'
?,则必可把y 唯一地表为,x y 的函数 (,)y f x y '= (3.13)
并且(,)f x y 于00(,)x y 的某一邻域连续,且满足0
00(,)y f x y '= 如果F 关于所有变元存在连续的偏导数,则(,)f x y 对,x y 也存在连续的偏导数,并且
/f F F
y y y ???=-'
??? (3.14)
显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的0()0y x =解存在且唯一.从而得到下面的定理.
定理2 如果在点000
(,,)x y y '的某一邻域中: ⅰ) (,,)F x y y '关于所有变元(,,)x y y '连续,且存在连续的偏导数；
ⅱ）000
(,,)0F x y y '= ⅲ）
000
(,,)0F x y y y '?≠'
? 则方程（3.12）存在唯一的解
0() || y y x x x h =-≤（h 为足够小的正数） 满足初始条件
0000
(), ()y x y y x y ''== （3.15）
1、 近似计算和误差估计
求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法
000
0100()()(,()) x n
n x x y x y f d x x x h ??ξ?ξξ-=??
?=+≤≤+???
对方程的第n 次近似解()n x ?和真正解()x ?在0||x x h -≤内的误差估计式
1
|()()|(1)!
n n n ML x x h n ??+-≤
+ （3.16）
此式可用数学归纳法证明. 0
00|()()||(,())|()x
x x x f d M x x Mh ??ξ?ξξ-≤≤-≤?
设有不等式
1110|()()|() !!
n n n
n n ML ML x x x x h n n ??----≤-≤ 成立,则
01101
10|()()||(,())(,())| |()()|ξ
()
! ()(+1)!(+1)!
x
n n x x
n x n x n
x n n n n x x f f d L d ML x d n ML ML x x h
n n ??ξ?ξξ?ξξ
?ξ?ξξξ--++-≤-≤-≤-≤-≤??? 例1 讨论初值问题
22dy
x y dx
=+, (0)0y = 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中, :11,11R x y -≤≤-≤≤.
解 (,)1
max |(,|2,1,1,min{,
}2
x y R
b M f x y a b h a M ∈======,由于|
||2|2f
y L y
?=≤=?,根据误差估计式(3.16) 11
|()()|0.05(1)!(1)!
n n n ML x x h n n ??+-≤
=<++ 可知3n =.于是 0()0x ?=
3
2
2
10
0()[()]3
x
x x x x dx ??=+=?
37
2
2
21
0()[()]363
x
x x x x x dx ??=+=+?
371115
2
2
32
0()[()]363207959535
x
x x x x x x x dx ??=+=+++?
3()x ?就是所求的近似解,在区间11
22
x -≤≤上,这个解与真正解得误差不超过0.05.
§2 解的延拓
上节我们学习了解的存在唯一性定理，当
),(y x f dx
dy
=的右端函数),(y x f 在R 上满足解的存在性唯一性条件时，初值问题?????==)
()
,(00x y y y x f dx dy
的解在0||x x h -≤上存在且
唯一. 但是，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是很小的. 可能随着
),(y x f 的存在区域的增大，而能肯定的解得存在区间反而缩小。例如，上一节的例
1，当定义区域变为:22,22R x y -≤≤-≤≤时，21
8,min{2,}84
M h ===，解的范围
缩小为01
||4
x x -≤. 在实际引用中，我们也希望解的存在区间能尽量扩大，下面讨论
解的延展概念，尽量扩大解的存在区间，把解的存在唯一性定理的结果由局部的变成大范围的.
1、饱和解及饱和区间
定义1 对定义在平面区域G 上的微分方程 ),(y x f dx
dy
= (3.1)
设()y x ?=是方程(3.1)定义在区间1I R ?上的一个解,如果方程(3.1)还有一个定义在区间2I R ?上的另一解()y x ψ=,且满足 (1) 12I I ?；但是12I I ≠ （2）当1x I ∈时，()()x x ?ψ≡
则称1(),y x x I ?=∈是可延拓的，并称()y x ψ=是()y x ?=在2I 上的延拓.否则如果不存在满足上述条件的解()y x ψ=,则称1(),y x x I ?=∈是方程(3.1)的不可延拓解或饱和解,此时把不可延拓解的区间1I 称为一个饱和区间.
2、局部李普希兹条件
定义2 若函数),(y x f 在区域G 内连续，且对G 内每一点P ，都存在以P 点为中心，完全含在G 内的闭矩形域p R ，使得在p R 上),(y x f 关于y 满足李普希兹条件（对于不同的点，闭矩形域p R 的大小和李普希兹常数L 可能不同），则称),(y x f 在G 上关于y 满足局部李普希兹条件.
定理3 （延拓定理）如果方程
),(y x f dx
dy
=的右端函数),(y x f 在（有界或无界）区域2G R ∈上连续，且在关于y 满足局部李普希兹条件，则对任意一点00(,)x y G ∈，
方程
),(y x f dx
dy
=以),(00y x 为初值的解)(x ?均可以向左右延展，直到点(,())x x ?任意接近区域G 的边界.
以向x 增大的一方来说，如果()y x ?=只能延拓到区间上，则当x m →时，
(,())x x ?趋于区域G 的边界。
证明 00(,)x y G ?∈，由解的存在唯一性定理，初值问题
?????==)
()
,(00x y y y x f dx dy
（1）
存在唯一的解()y x ?=，解的存在唯一区间为00||x x h -≤.取100x x h =+,
11()y x ?=,以11(,)x y 为中心作一小矩形1R G ∈,则初值问题
11(,)
()
dy
f x y dx y y x ?=???=?
(2)
存在唯一的解()y x ψ=，解的存在唯一区间为11||x x h -≤.
因为 11()()x x ?ψ=,有唯一性定理,在两区间的重叠部分应有()()x x ?ψ=,即当
111x h x x -≤≤时()()x x ?ψ=.定义函数
0000
00001
(),()(),x x h x x h x x x h x x h h ??ψ*
-≤≤+?=?
+≤≤++?
则()y x ?*=是方程(3.1)满足(1)(或(2)) 的,在0011[,]x h x h -+上有定义的唯一的解.这样,把方程(3.1)满足(1)的解()y x ?=在定义区间上向右延伸了一段.即把解
()y x ?*=看作方程(3.1)的解()y x ?=在定义区间00||x x h -≤的向右延拓,延拓到更大
区间00001x h x x h h -≤≤++.同样的方法,也可把解()y x ?=向左延拓.这种将曲线向左右延拓的办法可继续进行下去,最后将得到一个解~
()y x ?=,不能再向左右延拓了.这个解称为方程(3.1)的饱和解.
推论1 对定义在平面区域G 上的初值问题
?????==)
()
,(00x y y y x f dx dy
其中00(,)x y G ∈
若),(y x f 在区域G 内连续且关于y 满足局部Lipschtiz 条件,则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.
推论2 设~
()y x ?=是初值问题
?????==)
()
,(00x y y y x f dx dy
其中00(,)x y G ∈
的一个饱和解，则该饱和解的饱和区间I 一定是开区间.
证明 若饱和区间I 不是开区间,不妨设(,]I αβ=,则~
(,())G β?β∈,这样解~
()y x ?=还可以向右延拓,从而~
()y x ?=是非饱和解,矛盾.对[,)I αβ=时,同样讨论,即
x β-→(或x α+→)时, (,())x x G ?→?.
推论3 如果G 是无界区域,在上面解的延拓定理的条件下,方程(3.1)通过00(,)x y 点的解()y x ?=可以延拓,以向x 增大(减小)一方的延拓来说,有以下两种情况:
(1) 解()y x ?=可以延拓到区间0[,)x +∞(或0(,]x -∞)；
(2) 解()y x ?=只可延拓到区间0[,)x m (或0(,]m x )，其中为有限数，则当
x m →时，或者()y x ?=无界,或者点(,())x x G ?→?.
例1讨论方程21
2dy y dx -=分别通过点(0,0)和点(ln 2,3)-的解的存在区间. 解 此方程右端函数21
(,)2
y f x y -=在整个xy 平面上满足解的存在唯一性定理及
解的延拓定理的条件.易知方程的通解为
11x
x
ce y ce +=-
故通过点(0,0)的解为(1)/(1)x x y e e =-+,这个解的存在区间为x -∞<<+∞； 通过点(ln 2,3)-的解为(1)/(1)x x y e e =+-,这个解的存在区间为0x <<+∞ (如图所示).注意, 过点(ln 2,3)-的解为(1)/(1)x x y e e =+-向右方可以延拓到
+∞,但向左方只能延拓到0,因为当0x +→时,y →-∞.
例2讨论方程
1ln dy
x dx
=+过(1,0)点的解的存在区间. 解 方程右端函数(,)1ln f x y x =+在右半平面0x >上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.区域G (右半平面)是无界开域，y 轴是它的边界. 易知问题的解为ln y x x =,它于区间0x <<+∞ 上有定义、连续且当0x →时,
0y →,即所求问题的解向右方可以延拓到+∞,但向左方只能延拓到0,且当0x →时
积分曲线上的点(,)x y 趋向于区域G 的边界上的点.
例3 考虑方程
),()(22y x f a y dx
dy
-=,假设(,)f x y 和),('y x f y 在xoy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及a y <0，方程满足00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.
证明 根据题设,易知方程右端函数在整个xoy 平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.又y a =±为方程在(,)-∞+∞上的解,由延拓定理可知,对
00,||x y a ?<,满足00)(y x y =的解()y y x =应当无限远离原点,但是,由解的唯一性, ()y y x =又不能穿过直线y a =±,故只能向两侧延拓,而无限远离原点,从而解应在(,)-∞+∞存在.
注: 如果函数(,)f x y 于整个xoy 平面上定义、连续和有界,同时存在关于y 的一阶连续偏导数,则方程(3.1)的任一解均可以延拓到区间x -∞<<+∞.
练习 试证对任意0x ，0y ，方程1
222
++=
y x x dx dy 满足初始条件00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.
§3 解对初值的连续性和可微性定理
在初值问题?????==)()
,(00x y y y x f dx dy
中我们都是把初值),(00y x 看成是固定的数值，然后再
去讨论方程),(y x f dx
dy
=经过点),(00y x 的解.但是假如00(,)x y 变动，则相应初值问题
的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量x ,还依赖于初值00(,)x y .
例如：y y x f =),(时,方程y y ='的解是x ce y =,将初始条件00)(y x y =带入,可得
00x x e y y -=.很显然它是自变量x 和初始条件00(,)x y 的函数.因此将对初值问题
?????==)
()
,(00x y y y x f dx
dy
的解记为),,(00y x x y ?=,它满足0000(,,)y x x y ?=. 当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质.
1、解关于初值的对称性
设方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ?=,则在此关系式中, (,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式
00(,,)y x x y ?=
证明 在方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解的存在区间内任取一点1x ,显然
1100(,,)y x x y ?=,则由解的唯一性知,过点11(,)x y 的解与过点00(,)x y 的解是同一条积
分曲线,即此解也可写为
11(,,)y x x y ?=
并且,有0011(,,)y x x y ?=.又由11(,)x y 是积分曲线上的任一点,因此关系式
00(,,)y x x y ?=对该积分曲线上的任意点均成立.
2、 解对初值的连续依赖性
由于实际问题中初始条件一般是由实验 测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当
00(,)x y 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续
依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：
引理：如果函数(,)f x y 于某域D 内连续，且关于y 满足Lipschtiz 条件（Lipschtiz 常数为L ），则对方程（3.1）的任意两个解()x ?及()x ψ，在它们公共存在的区间内成立着不等式
0||00|()()||()()|L x x x x x x e ?ψ?ψ--≤- （3.17）
其中0x 为所考虑区域内的某一值.
证明 设()x ?, ()x ψ于区间a x b ≤≤上均有定义,令 2()[()()],V x x x a x b ?ψ=-≤≤ 则
()2[()()][(,)(,)]V x x x f x f x ?ψ?ψ'=-- 于是 ()|()|2|()()||(,)(,)|2()V x V x x x f x f x LV x ?ψ?ψ''≤=--≤ 22()2()0Lx Lx V x e LV x e --'-≤ 从而
2(())0Lx d
V x e dx
-≤ 所以,对0[,]x a b ?∈,有
02()00()(),L x x V x V x e x x b -≤≤≤
对于区间0a x x ≤≤,令x t -≤,并记00x t -≤,则方程(3.1)变为
(,)dy
f t y dx
=-- 而且已知它有解()y t ?=-和()y t ψ=-. 类似可得02()00()(),L x x V x V x e a x x -≤≤≤ 因此, 02||
00()(),,L x x V x V x e a x b a x b -≤≤≤≤≤
两边开平方即得(3.17).
利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性： 解对初值的连续依赖定理
假设),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部李普希兹条件，如果
00(,)x y G ∈，初值问题?????==)
()
,(00x y y y x f dx dy
有解00(,,)y x x y ?=，它于区间b x a ≤≤上有
定义(0a x b ≤≤),则对任意0>ε， (,,)0a b δδε?=>，使得当
2220000()()x x y y δ-+-≤时,方程(3.1)满足条件00()y x y =的解00(,,)y x x y ?=在区
间b x a ≤≤上也有定义，并且有
0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ??ε-<≤≤.
证明 记积分曲线段00:(,,)(),S y x x y x a x b ??=≡≤≤是xy 平面上一个有界闭集. 第一步:找区域D ,使S D ?,而且(,)f x y 在D 上关于y 满足Lipschitz 条件. 由已知条件,对(,)x y S ?∈,存在以它为中心的开圆,C C G ?,使(,)f x y 在其内关于y 满足Lipschitz 条件.因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆
(1,2,,)i C i N =(不同的i C ,其半径i r 和Lipschitz 常数i L 的大小可能不同),它们的全
体覆盖了整个积分曲线段S ,令1
N i i G C ==
,则S G G ??,对0ε?>,记
1(,),min(,2),max(,
)N d G S L L L ρηερ=?==,则以S 上的点为中心,以η为半径的
圆的全体及其边界构成包含S 的有界闭域D G G ??,且(,)f x y 在D 上关于y 满足
Lipschitz 条件, Lipschitz 常数为L .
第二步:证明(,,)0()a b δδεδη?=><，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,解
00()(,,)y x x x y ψ?==在区间a x b ≤≤上也有定义.
由于D 是一个有界闭域,且(,)f x y 在其内关于y 满足Lipschitz 条件,由解的延拓定理可知, 解00()(,,)y x x x y ψ?==必能延拓到区域D 的边界上.设它在D 的边界上的点为(,())c c ψ和(,())d d ψ,c d <,这时必有,c a d b ≤≥.否则设,c a d b ><,由引理有
0||
00|()()||()()|,L x x x x x x e
c x
d ?ψ?ψ--≤-≤≤
利用()x ?的连续性,对()112
L b a e δη--=,必有20δ>存在,使当02||x x δ-≤时有
01|()()|x x ??δ-<,取12min(,)δδδ=,则当2220000()()x x y y δ-+-≤时就有
0002||
22002||
200002||
22
00002101|()()||()()|2
(|()()||()()|) 2(|()()||()()|) 2(|L x x L x x L x x x x x x e x x x x e x x x x e
y ?ψ?ψ???ψ???ψδ----≤-≤-+-≤-+-<+-22()
022()21|) 4 ()
L b a L b a y e e c x d δη--≤=≤≤
(3.18)
于是对一切[,],|()()|x c d x x ?ψη∈-<成立,特别地有 |()()|c c ?ψη-<,|()()|d d ?ψη-<
即点(,())c c ψ和(,())d d ψ均落在域D 的内部,这与假设矛盾,故解()y x ψ=在区间
[,]a b 上有定义.
第三步 证明|()()|,x x a x b ?ψε-<≤≤.
在不等式（3.18）中将区间[,]c d 换成[,]a b ，可知当
2220000()()x x y y δ-+-≤时，就有
0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ??ηε-<≤≤≤. 根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有 3、解对初值的连续性定理
若函数),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部李普希兹条件,则方程(3.1) 的解00(,,)y x x y ?=作为00,,x x y 的函数在它的存在范围内是连续的.
证明 对00(,)x y G ?∈,方程(3.1)过00(,)x y 的饱和解00(,,)y x x y ?=定义于
0000(,)(,)x y x x y αβ≤≤上,令
00000000{(,,)|(,)(,),(,)}V x x y x y x x y x y G αβ=≤≤∈ 下证00(,,)y x x y ?=在V 上连续.
对00(,,)x x y V ?∈,[,]a b ?,使解00(,,)y x x y ?=在[,]a b 上有定义,其中
0,[,]x x a b ∈.
对10,0εδ?>?>,使得当22200001()()x x y y δ-+-≤时, 0000(,,)(,,),2
x x y x x y a x b ε
??-<
≤≤
又00(,,)y x x y ?=在[,]x a b ∈上对x 连续,故20δ?>,使得当2||x x δ-≤时有 0000(,,)(,,),,[,]2
x x y x x y x x a b ε
??-<
∈
取12min(,)δδδ=,则只要22220000()()()x x x x y y δ-+-+-≤就有
000000000000(,,)(,,)
|(,,)(,,)||(,,)(,,)|2
2
x x y x x y x x y x x y x x y x x y ??????ε
ε
ε
-≤-+-<
+
=
从而得知00(,,)y x x y ?=在V 上连续.
一阶常微分方程的奇解
摘要.................................................... 错误!未定义书签。 1.何谓奇解.............................................. 错误!未定义书签。 2.奇解的产生............................................ 错误!未定义书签。 3.包络跟奇解的关系...................................... 错误!未定义书签。 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法................. 错误!未定义书签。 克莱罗微分方程 ..................................... 错误!未定义书签。 5.奇解的基本性质........................................ 错误!未定义书签。 定理１ ............................................. 错误!未定义书签。 定理２ ............................................. 错误!未定义书签。 定理３ ............................................. 错误!未定义书签。 6.小结.................................................. 错误!未定义书签。参考文献：.............................................. 错误!未定义书签。
(完整版)常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分
第三讲 常微分方程发展简史——解析理论 与定性理论阶段 3、常微分方程解析理论阶段：19世纪 19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。 级数解和特殊函数 这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数. 常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程. 222 ()0x y xy x n y '''++-= 其中参数n 和x 都可以是复的. 对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20 ()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-? 1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式 11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+= 和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式. 后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。 解析理论中另一重要内容是Legendre 方程的级数解和Legendre 多项式方面的结果. 1784年, Legendre 研究了Legendre 方程2 (1)20x y xy y λ'''-++=, 给出了幂级数形式的解, 得到
总结一阶常微分方程奇解的求法
总结一阶微分方程奇解的求法 摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用 Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these methods through the concrete examples. 关键词：常微分方程 奇解 c-判别式 p-判别式 方法一：利用c-判别式求奇解 设一阶微分方程0, ,=?? ? ?? dx dy y x F ① 可求出方程①的通解为()0,,=c y x φ ② 如果()()???==0 ,,0,,' c y x c y x c φφ ③ 是微分方程①的解，且对③式满足：()()02 '2 '≠+y x φφ ④ 则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。 例1：方程() 2 2 2 x x y dy dx dy dx + -= 的奇解 解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为2 2 2 c cx y x ++= 与4 2 x y = 其中c 为任意常数 当时2 2 2 c cx y x ++= ， ()y c cx x c y x -++= 2 2 2 ,,φ 其相应的c -判别式为 ? ??=+=-++02022x 2 c x y c cx 易得到： ? ??=-=2 2c y c x
代入原微分方程，可知? ??=-=2 2c y c x 不是原微分方程的解； 当4 2 x y = 时，易求出2 ,1''x y x ==φφ，则有()()02 '2 '≠+y x φφ 故4 2 x y = 为原微分方程的奇解 例2：试求微分方程() () y y dy dx 9 42 2 1= -的奇解 解：首先，根据题意求出微分方程的通解为：()()0322=---y y c x 其中c 为任意常数 再由相应的c-判别式： ()()()? ??=--=---020 322c x y y c x 易求出：? ??==0y c x 或 ???==3y c x 当???==0y c x 时，代入原微分方程成立； 所以? ??==0y c x 为原微分方程的解 且有()02'=--=c x x φ；()()93232 '-=---=y y y y φ 满足(Φ‘ x )2 +(Φ‘ y )2≠0 易验证???==3y c x 不是原微分方程的解 故x=c, y=0 是元微分方程的奇解。 方法二：利用p-判别法求奇解 在微分方程①中，设y ′=p,则此方程的p-判别式为： ()()?????==0,,0 ,,' p y x F p y x F p ⑤ 消去p 之后得到的函数y=?(x)是微分方程①身为解，
常微分方程总结
（1） 概念 微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。如： 一阶：2dy x dx = 二阶：220.4d s dt =- 三阶：32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+= 一般n 阶微分方程的形式：()() ,,,,0n F x y y y '=。这里的()n y 是必须出现。 （2）微分方程的解 设函数()y x ?=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上， ()()()(),,0n F x x x x ?????'≡???? 则()y x ?=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。 注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。 函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。 导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。 导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。 函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()0 0lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。 左连续：()() ()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。 右连续：()() ()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。 在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。 函数在0x 点连续?()()()()000 0lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0 lim x x f x →极限存在
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程
的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
一阶常微分方程解法总结
页脚内容1 第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(11212 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(1212 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M ) ()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x
页脚内容2 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如)(x y g dx dy = 解法：令x y u = ，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211 =b a b a ，转化为)(by ax G dx dy +=，下同①； 02、0221 1 ≠b a b a ，???=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u
高阶线性微分方程常用解法介绍
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
《常微分方程》课程大纲
《常微分方程》课程大纲 一、课程简介 课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。 面向对象：本科二年级或以上学生 教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。 二、教学内容和要求 常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0） （一）本章教学目的与要求： 要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方
向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。 （二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。 第二章初等积分法（4，2） （一）本章教学目的与要求： 要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。 本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。 （二）教学内容： １. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法 ３. 一阶线性微分方程（常数变易法） ４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）
一阶常微分方程解法总结
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程：
①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得 到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程， 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(2 221 11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：0 1、 02 2 11=b a b a ，转化为 )(by ax G dx dy +=，下同①； 02、 022 1 1≠b a b a ，???=++=++00 222111 c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=0 0y y v x x u 得到，)()( )(221 12211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( 以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、 2 5--+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u u dx du 7 1+= - ，有dx udu 7-= 所以)(72 2 为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72 22 为常数） （C C x y x =+--。 例2.2、 1 212+-+-=y x y x dx dy 解：由???=+-=+-012012y x y x 得到?????=-=3131y x ，令?? ???-=+=3131y v x u ，有???==du dx dv dy ，代入得到
常微分方程平衡点及稳定性研究38112
摘要 本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型 ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- 的平衡点1 x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性
Abstract In this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1 x=of the following delay single population model ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature. Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity
常微分方程考研讲义 一阶微分方程解的存在定理
第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练 近似解的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的 证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延 拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客 观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一 阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法 求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初 值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值 问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定 性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0 y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 =或更一般地，函数 y x 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01 <<的任一数。 c ≤≤上的解，其中c是满足01 x
一阶常微分方程的奇解
摘要 (2) 1.何谓奇解 (2) 2.奇解的产生 (3) 3.包络跟奇解的关系 (4) 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (5) 4.1 克莱罗微分方程 (9) 5.奇解的基本性质 (12) 5.1 定理１ (12) 5.2 定理２ (14) 5.3 定理３ (14) 6.小结 (14) 参考文献： (15)
一阶常微分方程的奇解 摘要 在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。 关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式 1.何谓奇解 设一阶隐式方程),,(,y y x F =0有一特解
)(:x y ψ=Γ，j x ∈ 如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解 定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解 2.奇解的产生 先看一个例子，求方程 033=-?? ? ??y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx dy = 的解。 经分离变量后，可得（1）的通解 3)(27 1c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。由图我们看到，在解y=0上的每一 点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0 称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇 解，这就是奇解的产生。 我们现在给出曲线族包络的定义 某些微分方程，存在一些特殊的积分 曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并 不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。
第5章 定性和稳定性理论简介(常微分方程)
第5章定性和稳定性理论简介 在十九世纪中叶,通过Liouville等人的工作,人们已经知道绝大多数微分方程不能用初等积分法求解.这个结果对微分方程理论的发展产生了极大的影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而从微分方程本身来推断其性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家Poincare(1854-1912)在19世纪80年代所创立,后者由俄国数学家Liapunov(1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程解的情况下,直接根据微分方程本身的结构与特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. 第一讲§5.1 稳定性（Stability）概念(5课时) 一、教学目的：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握零解的稳 定、渐近稳定的概念；学会判定一些简单微分方程零 解的稳定和渐近稳定性。 二、教学要求：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握简单微分 方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 三、教学重点：简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 四、教学难点：如何把一般解的稳定性转化为零解的稳定性。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程：
1．稳定性的定义 考虑微分方程组 (,)dx f t x dt = （5.1） 其中函数(,)f t x 对n x D R ∈?和(,)t ∈-∞+∞连续，对x 满足局部Lipschitz 条件。 设方程（5.1）对初值01(,)t x 存在唯一解01(,,)x t t x ?=，而其它解记作00(,,)x x t t x = 。 现在的问题是：当01x x -很小是，差 0001(,,)(,,) x t t x t t x ?-的变化是否也很小？本章向量1 2 (,,,)T n x x x x = 的范数取 1 221n i i x x =?? = ? ?? ∑。 如果所考虑的解的存在区间是有限区间，那么这是解对初值的连续依赖性，在第二章的定理2.7已有结论。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生了Liapunov 意义下的稳定性概念。 定义 5.1 如果对于任意给定的0 ε>和00t ≥都存在0(,)0 t δδε=>, 使得只要 01x x δ -<，就有 0001(,,)(,,)x t t x t t x ?ε -< 对一切0t t ≥成立，则 称（5.1）的解01(,,)x t t x ?=是稳定的。否则是不稳定的。 定义5.2 假定01(,,)x t t x ?=是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要 011x x δ-< ，就有 0001l i m ((,,) (,,))0t x t t x t t x ?→∞ -= ，则称 （5.1）的解01(,,)x t t x ?=是渐近稳定的。 为了简化讨论，通常把解01(,,)x t t x ?=的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,) x t x t t x =01()(,,)t t t x ??=作如下变量代换. 作如下变量代 换.
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法 摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。 关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法 Solution of first-order differential equation Abstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate. Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method 1. 引言 一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解. 2. 一般变量分离 2.1 变量可分离方程 形如 ()()dy f x g y dx = （1.1） 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = （1.2） 的方程，称为变量可分离方程。分别称（1.1）、（1.2）为显式变量可分离方程和 微分形式变量可分离方程[1] . (1) 显式变量可分离方程的解法 在方程（1.1）中， 若()0g y ≠，（1.1）变形为 ()() dy f x dx g y =
一阶常微分方程的奇解
摘要 (4) 1.何谓奇解 (5) 2.奇解的产生 (5) 3.包络跟奇解的关系 (6) 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (7) 4.1 克莱罗微分方程 (11) 5.奇解的基本性质 (14) 5.1 定理１ (14) 5.2 定理２ (16) 5.3 定理３ (16) 6.小结 (17) 参考文献： (17)
一阶常微分方程的奇解 摘要 在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。 关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式
1.何谓奇解 设一阶隐式方程) x F=0有一特解 y , , (,y
)(:x y ψ=Γ，j x ∈ 如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域内，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解 定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解 2.奇解的产生 先看一个例子，求方程 033=-?? ? ??y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx dy = 的解。 经分离变量后，可得（1）的通解 3)(27 1c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。由图我们看到，在解y=0上的每一 点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0 称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇 解，这就是奇解的产生。 我们现在给出曲线族包络的定义 某些微分方程，存在一些特殊的积分 曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并 不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。
试论常微分方程的奇解
试论常微分方程的奇解 摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法. 关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法. Discussing Singular Solution about First Order Differential Equation ZHU Yong-wang (Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Professor LI Jian-min Abstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has special solution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method．While whether the two judgments can be applied to get every singular solution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples． Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-P elimination method, The supplement method, Natural method. 1．引言 一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络
常微分方程考试大纲
常微分方程考试大纲 Ⅰ. 课程性质 本课程是高等师范院校数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的一门重要的核心基础课，是进一步学习泛函分析、数学物理方程、微分几何的必要准备，本身在工程力学、流体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化工，生物、医学、经济、管理等领域有广泛的应用。通过本课程的学习，不仅为后续课程打下基础，而且以穿插其中的在历史上成功利用微分方程解释实际现象的著名范例来培养学生用数学理论解决实际问题的意识和初步能力。是数学系数学与应用数学、信息与计算科学两个本科专业的必修课。 Ⅱ. 课程设置目的与要求 通过常微分方程的教学，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的了解，培养学生分析问题和解决问题的能力，为学生学习数学的其它课程和物理学等有关课程打下基础，从而有助于学生胜任中学数学教学，为实施素质教育提供建模思想方面的训练和准备。 Ⅲ. 课程内容与考核目标 第一章 绪论 （一）学习目的和要求 通过本章的学习，掌握从实际问题建立常微分方程模型的基本过程和常用方法，理解初值条件的实际含义。掌握微分方程的基本概念，特别是解、通解、初值问题、特解等概念及其关系。理解一阶常微分方程的积分曲线与方向场之间的关系，并初步了解其中所包含的定性思想。 （二）课程主要内容 1．微分方程：某些物理过程的数学模型 2．基本概念 （1）常微分方程和偏微分方程。
（2）线性和非线性。 （3）解和隐式解。 （4）通解和特解。 （5）积分曲线和方向场。 （三）考核知识点 1．微分方程的数学模型。 2．微分方程的基本概念。 （四）考核要求 1．微分方程：某些物理过程的数学模型 （1）理解：微分方程的数学模型。 2．基本概念 （1）理解：微分方程的基本概念。 第二章 一阶微分方程的初等解法 （一）学习目的和要求 通过本章的学习，掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法。理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程。掌握四类典型的一阶隐方程的解法。 （二）课程主要内容 1．变量分离方程与变量变换 （1）变量分离方程。 （2）可化为变量分离方程的类型、应用举例。 2．线性方程与常数变易法 3．恰当方程与积分因子法 4．一阶隐方程与参数表示 （三）考核知识点 1．变量分离方程与可化为变量分离方程的解法。 2．线性方程的常数变易法。 3．恰当方程与积分因子法。 4．一阶隐方程的参数方法。 （四）考核要求