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空间向量与立体几何知识点总结

一、基本概念 :

1、空间向量：

2、相反向量： 3 、相等向量：

4、共线向量： 5 、共面向量：

6、方向向量 : 7 、法向量

8、空间向量基本定理：

二、空间向量的坐标运算：

1.向量的直角坐标运算

r r

设 a ＝(a1,a2 , a3 ) ， b ＝ (b1 , b2 , b3 ) 则

(1) r r

b1, a2 b2, a3 b3 ) ；(2)

r r

a ＋b＝(a1 a －b＝( a1

(3)

r

a2 , a3 ) (λ∈R)；(4)

r r

λ a ＝( a1, a · b ＝ a1b1

2.设 A( x1, y1, z1)， B( x2, y2, z2)，则b1 , a2 b2 , a3b3 ) ；a2b2a3b3；

uuur uuur uuur

AB OB OA = (x2x1 , y2y1 , z2z1 ) .

r r

3、设a ( x1 , y1, z1 ) ， b ( x2, y2 , z2 ) ，则

r r r r r r r r r r

a P

b a b(b 0) ； a b a b 0 x1 x2 y1 y2 z1z2 0 .

4. 夹角公式

r r r r a1b1 a2 b2 a3b3

.

设 a ＝(a1,a2, a3)，b＝(b1, b2, b3)，则 cos a,b

a12 a22 a32 b12 b22 b32 5．异面直线所成角

r r

r r

| a b | | x1x2 y1 y2 z1 z2 |

cos | cos a,b .

|= r r

x12 y12 z12 x22 y22 z22

| a | | b |

6．平面外一点p 到平面的距离

n

r

已知 AB 为平面的一条斜线， n 为平面的一个法

α

uuur r

向量， A 到平面

的距离为： d

| AB r ? n |

| n |

空间向量与立体几何练习题

一、选择题

z

1. 如图，棱长为

2 的正方体 ABCD ABC D

D 1

C 1

在空间直角坐标

A 1

B 1

1111

uuur

F

系中，若 E, F 分别是 BC , DD 1 中点，则 EF 的坐标为（

）

A. (1,2, 1)

B. ( 1,2, 1)

C.( 1,

2,1)

D.

(1, 2, 1)

D(O)

C y

E

A

B

x

2．如图， ABCD — A 1B 1C 1D 1 是正方体， B 1E 1＝D 1F 1＝

A 1

B 1

，则 BE 1 与

4

DF 1 所成角的余弦值是（

）

． 15

B ． A

17

1

2

图

C ．

8

D ．

17

3

2

3. 在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， E 为 PD 中点，

uuur r uuur r uuur r uuur

若 PA a ， PB b ， PC c ， 则 BE （

）

A.

1

r

1

r

1

r

a b c

2 2 2 C.

1

r

3

r

1

r

a

b

c

2 2 2 二、填空题

B.

D.

1

r

1

r

1

r

a b c

2 2 2

1

r

1

r

3

r

图

a

b

c

2 2 2

4. 若点 A(1,2,3) , B(

uuur uuur r

3,2,7) , 且 AC BC 0 , 则点 C 的坐标为 ______.

5．在正方体 ABCD AB C D 中，直线

AD

与平面 A BC 夹角的余弦值为 _____.

1111

11

三、解答题

1、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中 , AB 1与底面 ABCD所成的角为，

4 （1）求证 BD1面AB 1C

（2）求二面角B1AC B的正切值

2．在三棱锥P ABC AB AC 3

中，

AP 4,PA 面ABC , BAC 90 , D是PA中点, 点 E在 BC上,且 BE 2CE,

(1) 求证：AC BD ；

P

D

A

C

E

(2) 求直线 DE 与 PC 夹角的余弦值；

(3) 求点 A 到平面 BDE 的距离 d 的值.

B

3．在四棱锥P—ABCD中，底面 ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥ BC，AB=BC=a，AD=2a，且 PA⊥底面 ABCD， PD与底面成30°角．

（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥ PD；

（2）求异面直线AE与 CD所成角的余弦值．

4、已知棱长为 1 的正方体A C1，E、F分别是 B1C1、C1D的中点．（1）求证： E、 F、 D、B共面；

（2）求点A1到平面的B DEF的距离；

（3）求直线A1D 与平面B DEF所成的角．

5、已知正方体ABCD－ A1B1C1D1的棱长为2，点 E为棱 AB的中点，求：（Ⅰ） D1E与平面 BC1D所成角的大小；

（Ⅱ）二面角D－ BC1－C的大小；

一、考点概要：

1、空间向量及其运算

(1)空间向量的基本知识：

①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。

②空间向量基本定理：

ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组 x、 y、z，使。且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。

ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。

ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单

位正交基底，通常用表示。

ⅳ空间四点共面：设 O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、z，使。

③共线向量 ( 平行向量 ) ：

ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。

ⅱ规定：零向量与任意向量共线;

ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ，使。

④共面向量：

ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量 ; 空间的任意两个向量都是共面向量。

ⅱ向量与平面平行：如果直线 OA平行于平面或在α内，则说向量平行于平面α，记作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。

ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充

要条件是：存在实数对x、 y，使。

ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实

际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其

中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。

ⅴ共面向量定理的推论：空间一点 P 在平面 MAB内的充要条件是：存在有

序实数对 x、 y，使得，或对于空间任意一定点 O，有。

⑤空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点 O，作，( 两个向量的起点一定要相同 ) ，则叫做向量与的夹角，记作，且。

⑥两个向量的数量积：

ⅰ定义：已知空间两个非零向量、，则叫做向量、的数量积，记作，即：。

ⅱ规定：零向量与任一向量的数量积为0。

ⅲ注意：两个向量的数量积也叫向量、的点积 ( 或内积 ) ，它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。

ⅳ数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影 ( 其中θ为向量和的夹角)。

即：数量积等于向量的模与向量在方向上的投影的乘积。

ⅴ基本性质：

ⅵ运算律：

(2)空间向量的线性运算：

①定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：

②加法：

③减法：

④数乘向量：

⑤运算律：

ⅰ加法交换律：

ⅱ加法结合律：

ⅲ数乘分配律：二、复习点睛：

1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间

向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效

的工具。

2、根据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系，形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通

常遵循“三步”：一化向量问题，二进行向量运算，三回到图形问题。其实质是数

形结合思想与等价转化思想的运用。

3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和

分配律，但不满足结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然适用，数量积的运算在许多方面

和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面两个公式较为常

用，请务必记住并学会应用：。

2、空间向量的坐标表示：

(1)空间直角坐标系：

①空间直角坐标系 O-xyz，在空间选定一点 O和一个单位正交基底，以点 O 为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴： x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，点 O叫做原点，向量叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面。

②右手直角坐标系：右手握住 z 轴，当右手的四指从正向 x 轴以 90°角度转

向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向 ;

③构成元素：点 ( 原点 ) 、线 (x 、y、z 轴 ) 、面 (xOy 平面， yOz 平面， zOx 平面 );

④空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系O-xyz 时，一般使∠xOy=135°( 或45°), ∠yOz=90°， z 轴垂直于 y 轴， z 轴、 y 轴的单位长度相同， x 轴上的单位长度为 y 轴( 或 z 轴 ) 的一半 ;

(2)空间向量的坐标表示：

①已知空间直角坐标系和向量，且设为坐标向量 ( 如图 ) ，

由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组叫做向量在此直角坐标系

中的坐标，记作。

②在空间直角坐标系O-xyz 中，对于空间任一点A，对应一个向量，若，

则有序数组 (x ， y，z) 叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为 A(x ，y，z) ，其中 x 叫做点 A 的横坐标， y 叫做点 A 的纵坐标， z 叫做点 A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。

③空间任一点的坐标的确定：过P 分别作三个与坐标平面平行的平面( 或垂

面) ，分别交坐标轴于A、B、C 三点，│x│=│OA│，│y│=│OB│，│z│=│OC│，当与的方向相同时， x>0，当与的方向相反时， x<0，同理可确 y、z( 如图 ) 。

④规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与

它的终点坐标一一对应。

⑤一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的

坐标减去起点的坐标。

设，，

则：

(3)空间向量的直角坐标运算：

⑦空间两点间距离： ;

⑧空间线段的中点M(x，y，z)的坐标：;

⑨球面方程：

二、复习点睛：

4、过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别叫做 z 轴( 横轴 ) 、y 轴( 纵轴 ) 、z 轴( 竖轴 ); 统称坐标轴。通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上，而 z 轴则是铅垂线 ; 它们的正方向要符合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点 O叫做坐标原点。

5、空间直角坐标系中的特殊点:

(1)点( 原点 ) 的坐标： (0,0,0);

(2)线( 坐标轴 ) 上的点的坐标： x 轴上的坐标为 (x,0,0) ， y 轴上的坐标为(0,y,0)，z轴上的坐标为(0,0,z);

(3)面(xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面 ) 内的点的坐标：平面上的坐标为(x,y,0)、平面上的坐标为(0,y,z)、平面上的坐标为(x,0,z)

6、要使向量与z轴垂直，只要z=0即可。事实上，要使向量与哪一个坐标轴垂直，只要向量的相应坐标为 0即可。

7、空间直角坐标系中，方程x=0表示 yOz 平面、方程 y=0表示 zOx 平面、方

程 z=0表示 xOy平面，方程 x=a 表示平行于平面 yOz 的平面、方程 y=b 表示平行于平面 zOx 的平面、方程 z=c 表示平行于平面 xOy 平面 ;

8、只要将和代入，即可证明空间向量的运算法则与平面向量一样 ;

9、由空间向量基本定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量

生成 . 任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底，此定理是空间向量分

解的基础。