佛山市中考数学试题及答案

佛山市2007年高中阶段学校招生考试

数学试卷

说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分130分，考试时间100分钟．

注意事项：

1．试卷的选择题和非选择题都在答题卡上作答，不能答在试卷上．

2．要作图（含辅助线）或画表，先用铅笔进行画线、绘图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑．

3．其余注意事项，见答题卡．

第Ⅰ卷（选择题 共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．计算22-的值是（ ） Ａ．4

Ｂ．4-

Ｃ．1

4

-

Ｄ．

14

2．下面简单几何体的左视图是（ ）

3．下列四个算式中，正确的个数有（ ） ①4

3

12

a a a =·

②5510

a a a +=

③55

a a a ÷=

④336

()a a =

Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个

4．与平面图形有①有相同对称性的平面图形是（ ）

5．下列说法正确的是（ ） A ．无限小数是无理数 B ．不循环小数是无理数 C ．无理数的相反数还是无理数 D ．两个无理数的和还是无理数

6．小颖准备用21元钱买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本2元，她买了4个笔记本，则她最多还可以买（ ）支笔．

A ．

B ．

C ．

D ．

正面

① A ． B ． C ． D ．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．若r 为圆柱底面的半径，h 为圆柱的高．当圆柱的侧面积一定时，则h 与r 之间函数关系的图象大致是（ ）

8．观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2007个图形是（ ）

9．如图，

M N P R ，，

，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且1MN NP

PR ===．数a

对应的点在M 与N 之间，数b

对应的点在P 与R 之间，若

3a b +=

，则原点是（ ）

A ．M 或R

B ．N 或

P C ．M 或N D ．P 或R

10．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P 的距离是（ ）

A ．2cm

B ．43cm

C ．6cm

D ．8cm

h r O

h r O h r O h r O A ．

B ．

C ．

D ． … 1 2 3 4 5 6

A ．

B ．

C ．

D ． M N P R a b x 第9题图 16cm

83cm 第10题图 甲杯 30o

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡中）．

11．佛山“一环”南线路段的304盏太阳能路灯一年大约可节电221920千瓦时，用科学记数法表示为 千瓦时（保留两个有效数字）． 12．如图，地面A 处有一支燃烧的蜡烛（长度不计），一个人在A 与墙BC 之间运动，则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而 （填“变大”、“变小”或“不变”）．

13．如图，ABC △内接于O AD e ，是O e 的直径，

30ABC ∠=o

，则CAD ∠= 度．

14．某班准备同时在A B ，两地开展数学活动，每位同学由抽签确定去其中一个地方，则甲、乙、丙三位同学中恰好有两位同学抽到去B 地的概率是 ．

15．已知二次函数2

y ax bx c =++（a b c ，，是常数），x 与y 的部分对应值如下表，则当

x 满足的条件是 时，0y =；当x 满足的条件是 时，0y >．

x 2- 1- 0 1 2 3

y

16- 6-

2

6-

三、解答题（在答题卡上作答，写出必要的解题步骤．16~20题每小题6分，21~23题

每小题10分，24题12分，25题13分，共85分）． 16．解方程：

221

211

x x x =+--．

17．一个瓶中装有一些幸运星，小王为了估计这个瓶中幸运星的颗数，他是这样做的：先从瓶中取出20颗幸运星做上记号，然后把这些幸运星放回瓶中，充分摇匀；再从瓶中取出30颗幸运星，发现有6颗幸运星带有记号． 请你帮小王估算出原来瓶中幸运星的颗数．

A B

C 第12题图 A

D B

O C 第13题图

18．下面的统计图表是2006年佛山市某三间高中共4145人参加广州市模拟考、佛山市模拟考、全国统一高考的数学学科考试成绩情况：

根据统计图表，请回答下列问题：

（1）在某个分段，广模与高考人数差距最大，相差人数是

；

（2）在651~700这个分数段中，高考人数比佛模人数增长了 （填百分数，精确到期1%）；

（3）从图表中你还发现了什么信息（写出一条即可）？

19．如图，O e 是ABC △的外接圆，且1324AB AC BC ===，，求O e 的半径．

20．上数学课时，老题提出了一个问题：“一个奇数的平方减1，结果是怎样的数？”请你解答这个问题．

2006年广模、佛模、高考部分学生数学各分数段人数变化统计图（表） A

B C

O

第19题图

21．甲、乙两人进行百米赛跑，甲比乙跑得快．如果两人同时起跑，甲肯定赢．现在甲让乙先跑若干米．图中12l l ，分别表示两人的路程s （米）与时间t （秒）的关系． （1）哪条线表示甲的路程与时间的关系？ （2）甲让乙先跑了多少米？ （3）谁先到达终点？

22．佛山市的名片——“一环”路全长约为99公里，其中：东线长36公里，西线长32公里，南线长15公里，北线长15.6公里（为计算方便，以上数据与实际稍有出入） 小明同学想根据以上信息估算“一环”路的环内面积，他把佛山“一环”路的形状理想化为一个四边形进行研究，他想到的图形有如下四种：

（1）如果让你来研究，你会选择哪个图形（注：图3中AD BC ∥）？

请你利用选定的图形，把所给信息中的三个数据作为其中三边的长，计算出第四边的长，并比较它与实际长的误差是多少？ 参考数据：24115.5320914.46==，，227.3615.0818.36 4.28==，．

（2）假设边长的误差在0.5公里以内，就可以用所选择的图形近似计算环内面积．你选择的图形是否符合以上假设？若符合，请计算出环内面积．

O

10

20 35 40 60 80 5 10 15

t /秒

s /米 第21题图

1l 2l

A B C

D C

C C

D D D A A A B B B 第22题图1 第22题图2 第22题图3 第22题图4 北 东

23．如图，在Rt ABC △中，90C M ∠=o

，是AB 的中点，AM AN MN AC =，∥． （1）求证：MN AC =；

（2）如果把条件“AM AN =”改为“AM AN ⊥”，其它条件不变，那么MN AC =不一定成立．如果再改变一个条件，就能使MN AC =成立． 请你写出改变的条件并说明理由．

24．如图，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8m ，宽AB 为

2m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是

抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6m ． （1）求抛物线的解析式；

（2）一辆货运卡车高4.5m ，宽2.4m ，它能通过该隧道吗？

（3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m 的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？

A C

B M N 第23题图 A D

C

B O E

y

第24题图

25．在Rt ABC △中，902BAC AB AC ∠===o

，， 点D 在BC 所在的直线上运动，作45ADE ∠=o

（A D E ，，按逆时针方向）． （1）如图1，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ．

①求证：ABD DCE △∽△；

②当ADE △是等腰三角形时，求AE 的长．

（2）①如图2，若点D 在BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E '，是否存在点D ，使ADE '△是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由；

②如图3，若点D 在BC 的反向延长线上运动，是否存在点D ，使ADE △是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由．

45o

A

B D

C E 第25题图1 45o

45o

C

D

B A E E '

C

A B

D

E

第25题图2

第25题图3

佛山市2007年高中阶段学校招生考试数学试卷

参考答案及评分标准

一、选择题答案：

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D

A

A

B

C

D

B

C

A

C

二、填空题答案：

11. 5

102.2? 12. 变小 13. ?60 14.

8

3

15.2,0=x ；20<

三、解答题答案及评分标准：

16. 解：去分母，)1(21)1(22

-+=+x x x . …………………………………………………………2分

去括号，得221222

2

-+=+x x x . ……………………………………………………………3分

解得2

1

-

=x . ………………………………………………………………………………………………5分 经检验，2

1

-=x 是原方程的解. ………………………………………………………………………6分

17. 【方法一】

解：设原来瓶子中幸运星大约有x 颗． ……………………………………………………………1分

则有

30

6

20=

x . ………………………………………………………………………………………4分 解得100=x . ………………………………………………………………………………………5分

答：原来瓶子中幸运星大约有100颗． …………………………………………………………6分 【方法二】

解：∵30颗幸运星中带记号的幸运星的频率为5

1

306=. …………………………………2分 ∴1005

1

20=÷

. ..........................................................................................5分 答：原来瓶子中幸运星大约有100颗． (6)

分

18．解：(1) 157；(2) 5%；(3) 高考时800分以上人数比两次模拟考都多、高考分组数据

中的众数是791、三次考试的分组数据中的最大值是875、诸如此类。 (注：(1)正确给3分；(2)正确给2分；(3)正确给1分)

19．解：连结OA 交BC 于点D ，连结OC ， ……………………………………………………………1分

由AB = AC = 13，得AO ⊥BC 且CD =2

1BC =12。

A

B

C

O

D

在Rt △ACD 中，AC =13，CD =12，

所以AD 5121322=-=. ………………………………………………………………………………3分 设⊙O 的半径为r ，

则在Rt △OCD 中， OD =r -5，CD =12，OC =r ，

所以2

2212)5(r r =+-。…………………………………………………………………………………5分 解得9.16=r 。……………………………………………………………………………………………………6分

20．【方法一】：

当奇数为1、3、5、…时，这个数为0、8、24、…，…………………………………………2分 所以这个数应是8的倍数. …………………………………………………………………………………4分 然后转入代数化，参照方法二给分。

（注：用一至两个数验算，未回答不给分，回答是整数、偶数给1分，回答是4的倍数、8的倍数给2分；用3个以上的数验算，回答是整数、偶数、4的倍数给3分）

【方法二】：设奇数为12+n （n 为整数）， ………………………………………………………1分

则这个数为)1(4)(4441)12(2

22+=+=+=-+n n n n n n n 。…………………………3分 （到此处：回答是整数、偶数、4的倍数的给4分）

因为n 为整数，所以n 与1+n 中必有一个偶数。…………………………………………………4分 所以)1(+n n 是偶数（或者说是2的倍数）。 ………………………………………………………5分 所以结果是8的倍数。 …………………………………………………………………………………………6分

21．(1) 2l ．…………………………………………………………………………………………………………………2分 (2) 10米．……………………………………………………………………………………………………………4分 (3)【方法一】

设1l 、2l 的解析式分别为101+=t k s 乙（或设b t k s +=1乙）、t k s 2=甲．…………5分 ∵1l 经过点（5，40），2l 经过点（5，35）．

∴355,4010521==+k k ； 解得：7,621==k k ． ∴t s 7=甲，106+=t s 乙

．

……………………………………………………………………………7分

当100==乙甲s s 时，157

2

147100===

乙甲，t t ． ……………………………………………9分 ∵甲t ＜乙t ，∴甲先到终点．……………………………………………………………………………10分 （注：未区分21,k k ，总共扣1分） 【方法二】 由图，可知甲的速度为75

35

=． …………………………………………………6分

乙的速度为

65

10

40=-． …………………………………………………………………………………8分 ∴甲到达终点的时间是72

147100=， 乙到达终点的时间是

156

10

100=-．………………………………………………………………9分

∴甲先到达终点． …………………………………………………………………………………………10分 （注：若将图中1l 、2l 延长，观察图象给出结果，未说明相交的理由给2分，说明理

由不充分给3－4分，说明理由充分给6分）

22．解：(1) 选择图2，三边长分别为AD=32，AB=15，BC=36． ………………………3分 过D 点作DE ⊥CB 于E ． …………………………………………………………………………………4分 则四边形ABED 是矩形． ∴DE=AB=15，BE=AD=32；

∴EC=4． …………………………………………………………………………………………5分 在Rt △CDE 中，53.1524141522≈=+=CD ； ………………………………………6分

∴07.053.156.15=-； ∴与北线长度相比，误差是07.0公里．………………………………………………………………7分 (2) 由(1)可知，可以把“一环”近似的看作图2，其面积为

()5102

153632=?+；

答：“一环”的环内面积大约是510平方公里．…………………………………………………10分 （注：若选三边为AB 、AD 、CD ，则求得BC ＝36.28，面积约为512平方公里；若选三边为AB 、BC 、CD ，则求得AD=31.72，面积约为508平方公里. 若选图形1，则认为不能做；若图形3、4，视解答情况酌情给分）

23．(1) 【方法一】证明：如图，连结CM ． ………………………………………………………1分

在Rt △ABC 中，?=∠90C ，M 是AB 的中点，∴CM=AM ， ………………………2分 ∴MCA MAC ∠=∠．

∵AM=AN ，∴ANM AMN ∠=∠． ∵MN ∥AC ，∴AMN CAM ∠=∠，

∴ANM ACM ∠=∠．................................................................................................4分 ∴MAN CMA ∠=∠．∴AN ∥CM ， .....................................................................5分 ∴四边形ACMN 是平行四边形． (6)

分 ∴MN=AC ． (7)

分

【方法二】如图，连结CM ．

(1)

分

证△ACM ≌△MNA . …………………………………………………………………………………………6分 ∴MN=AC ． ………………………………………………………………………………………………7分 （注：其它证法，酌情给分）

(2) 把“M 是AB 的中点”改为“过C 点作AB 的垂线，垂足为M 点”． ……9分 理由是：易知CM //AN ，又MN ∥AC ，有四边形ACMN 是平行四边形．……10分 （注：改“Rt △ABC ”为“等腰Rt △ABC ”，酌情给分）

24．(1) 根据题意，A （-4，2），D （4，2） ，E （0，6）． ………………………………1分

设抛物线的解析式为)0( 62

≠+=a ax y ，把A （-4，2）或D （4，2）代入得

D C

A B

第22题图2 E

A

N

第23题图 B

C M

16a +6 =2. ………………………………………………………………………………………………………3分

得4

1

-

=a . ……………………………………………………………………………………………………4分 抛物线的解析式为64

12

+-=x y . …………………………………………………………………5分

【方法二】：设解析式为)0( 2

≠++=a c bx ax y ，代入A 、D 、E 三点坐标得

??

?

??==++=+-.6,2416,

2416c c b a c b a ………………………………………………………………………………………3分 得4

1

-=a ，b =0 ，c = 6． …………………………………………………………………………4分 抛物线的解析式为64

12

+-

=x y ． ………………………………………………………………5分

(2) 根据题意，把2.1±=x 代入解析式， ……………………………………………………6分 得64.5=y ． ………………………………………………………………………………………………7分 ∵ 5.64 ＞4.5， ∴ 货运卡车能通过． …………………………………………………8分 （注：如果只代x =1.2 ，需说明对称性；只代x =1.2 没说对称性扣1分）

(3) 根据题意，把6.2±=x 代入解析式，……………………………………………………10分 得 31.4=y . …………………………………………………………………………………………………11分

∵ 4.31 ＜ 4.5，

∴ 货运卡车不能通过． ……………………………………………………………………………12分

（注：代一个x 的值计算不扣分）

25. (1) ① 由∠BAC =90°，AB =AC ，推出∠B =∠C =45°. ……………………………1分

由∠BAD +∠ADB =135°，∠ADB +∠EDC =135°得到 ∠BAD =∠EDC .…………2分 推出△ABD ∽△DCE ． ……………………………………………………………………………………3分 ② 分三种情况：

（ⅰ）当AD =AE 时，∠ADE =∠AED =45°时，得到∠DAE =90°，点D 、E 分别与B 、C 重合，所以 AE =AC =2．………………………………………………………………………………4分 （ⅱ）当AD =DE 时，由 ①知 △ABD ∽△DCE ，

又AD =DE ，知△ABD ≌ △DCE . …………………………………………………………………5分

所以AB = CD = 2 ，故BD = CE = 222-，

所以 AE = AC -CE = 4-22．…………………………………………………………………………6分 （ⅲ）当AE = DE 时，有∠EAD =∠ADE = 45°=∠C ，

x

A y

B O

C

D

E 第24题图 A

D

C

B

E / 45° 第25题图2

E 第25题图1

A

D

C

B

E

45°

故∠ADC =∠AED = 90°. 所以 DE = AE =

2

1

AC = 1． …………………………………………………………………………8分 （2）① 存在（只有一种情况）．……………………………………………………………………9分 由∠AC B = 45°推出 ∠CAD +∠ADC = 45°. 由∠ADE = 45°推出∠DAC +∠DE 'A = 45°.

从而推出∠ADC =∠D E '

A . 证得△ADC ∽△AE 'D . ……………………………………10分 所以D E AD DC AC '=

， 又AD = DE '

， 所以DC = AC = 2． …………………………11分

② 不存在． ……………………………………………………………………………………………………12分 因为D 和B 不重合，

所以∠AED ＜45°，∠ADE =45°， ∠DAE ＞90°.

所以AD ≠AE ． ………………………………………………………………………

B

A

D C

E

45° 第25题图3