思维特训(四) 绝对值与分类讨论-word文档
思维特训(四) 绝对值与分类讨论
方法点津 ·
1.由于去掉绝对值符号时,要分三种情况:即正数的绝对值是它本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数,所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论.
用符号表示这一过程为:||a =?????a (a >0),0(a =0),-a (a <0).
2.由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个,一个点表示的数是正数,另一个点表示的数是负数,因此知道某个数的绝对值求该数时,往往需要分两种情况讨论.
用符号表示这个过程为:若||x =a (a >0),则x =±a .
3.分类讨论的原则是不重不漏,一般步骤为:①分类;②讨论;③归纳.
典题精练 ·
类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论
1.已知点A 在数轴上对应的数是a ,点B 在数轴上对应的数是b ,且|a +4|+(b -1)2=0.现将点A ,B 之间的距离记作|AB|,定义|AB|=|a -b|.
(1)|AB|=________;
(2)设点P 在数轴上对应的数是x ,当|PA|-|PB|=2时,求x 的值.
2.我们知道:点A ,B 在数轴上分别表示有理数a ,b ,A ,B 两点之间的距离表示为AB ,在数轴上A ,B 两点之间的距离AB =|a -b|,所以式子|x -3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离.
根据上述材料,回答下列问题:
(1)|5-(-2)|的值为________;
(2)若|x -3|=1,则x 的值为________;
(3)若|x -3|=|x +1|,求x 的值;
(4)若|x -3|+|x +1|=7,求x 的值.
类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题
3.在解决数学问题的过程中,我们常用到“分类讨论”的数学思想,下面是运用分类
讨论的数学思想解决问题的过程,请仔细阅读,并解答下列问题:
【提出问题】三个有理数a ,b ,c 满足abc >0,求|a|a +|b|b +|c|c
的值. 【解决问题】
解:由题意,得a ,b ,c 三个有理数都为正数或其中一个为正数,另两个为负数.
①当a ,b ,c 都是正数,即a >0,b >0,c >0时,则|a|a +|b|b +|c|c =a a +b b +c c
=1+1+1 =3;②当a ,b ,c 中有一个为正数,另两个为负数时,设a >0,b <0,c <0,则|a|a +|b|b +|c|c
=a a +-b b +-c c
=1-1-1=-1. 所以|a|a +|b|b +|c|c
的值为3或-1. 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题:
(1)三个有理数a ,b ,c 满足abc <0,求|a|a +|b|b +|c|c
的值; (2)已知|a|=3,|b|=1,且a <b ,求a +b 的值.
4.在有些情况下,不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉.例如:
|6+7|=6+7;|6-7|=7-6;|7-6|=7-6;|-6-7|=6+7.
(1)根据上面的规律,把下列各式写成去掉绝对值符号的形式:
①|7-21|=________;
②|-12
+0.8|=________; ③???
?717-718=________. (2)用合理的方法计算:|15-12018|+|12018-12|-|-12|+11009
. 5.探索研究:
(1)比较下列各式的大小(填“<”“>”或“=”):
①|-2|+|3|________|-2+3|;