2020陕西中考数学试卷及答案

陕西中考模拟试题

一、选择题（咸阳数学魏老师，中学一级数学教师）

1. ?1

2

的绝对值等于( )

A. ?2

B. 2

C. ?1

2D. 1

2

2. 如图所示的几何体的俯视图是( )

A. B.

C. D.

3. 下列计算正确的是( )

A. a2?a3=a6

B. a6÷a3=a2

C. (?2a2)3=?8a6

D. 4x3?3x2=1

4. 将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，∠C=45°，∠D=30°，则∠ABD的度数为( )

A. 10°

B. 15°

C. 20°

D. 25°

5. 正比例函数y=(2k+1)x，若y的值随x值增大而增大，则k的取值范围是( )

A. k>?1

2B. k

2

C. k=?1

2

D. k=0

6. 如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC=90°，若AC=10，BC=16，则DF

的长为( )

A. 5

B. 3

C. 8

D. 10

7. 一次函数y=4

3x+b(b>0)与y=4

3

x?1图象之间的距离等于3，则b的值为( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

8. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ODA交OA于点E，若AB=4，

则线段OE的长为( )

A. 4

3

√2 B. 4?2√2 C. √2 D. √2?2

9. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE，若AB=4，

CD=1，则CE的长为( )

A. √13

B. 4

C. √10

D. √15

10、已知抛物线y=x2+(m+1)x+m，当x=1时，y>0，且当x<-2时，y的值随x的增大而减小，则m 的取值范围是（）

A. 1

-

>

m B. 3

<

m C. 3

1≤

<

-m D. 4

3≤

二、填空题（共4小题；共12分）

11. 分解因式：a2b+2ab2+b3=．

12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是．

13. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点B在x轴上，且B(?1

2

,0)，A点的横坐标是1，AB=

3BC，双曲线y=4m

x (m>0)经过A点，双曲线y=?2m

x

经过C点，则m的值为．

14. 如图，△APB 中，AB =2√2，∠APB =90°，在 AB 的同侧作正 △ABD 、正 △APE 和正 △BPC ，

则四边形 PCDE 面积的最大值是 ．

三、解答题（共11小题；共72分） 15. 计算：√12+(π?2015)0+(12)?1

?6tan30°．

16. 解方程 x+1

x?1+4

1?x 2=1 .

17. 如图，点 P 是 ⊙O 上一点，请用尺规过点 P 作 ⊙O 的切线（不写画法，保留作图痕迹）．

18. 某中学组织全体学生参加了“服务社会献爱心”的活动，为了了解九年级学生参加活动情况，从九

年级学生中随机抽取部分学生进行调查，统计了该天他们打扫街道，去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，其中到社区文艺演出的人数占所调查的九年级学生人数的 3

10，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：

（1）本次调查共抽取了多少名九年级学生?

（2）补全条形统计图．

（3）若该中学九年级共有1400名学生，请你估计该中学九年级去敬老院的学生有多少名? 19. 如图，已知：在矩形ABCD中，点E在边CD上，点F在边BC上，且BF=CE，EF⊥AF，求

证：AB=CF．

20. 如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B

北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据：√3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）

21. 小李是某服装厂的一名工人，负责加工A，B两种型号服装，他每月的工作时间为22天，月收

入由底薪和计件工资两部分组成，其中底薪900元，加工A型服装1件可得20元，加工B型服装1件可得12元．已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件，设他每月加工A型服装的时间为x天，月收入为y元．

（1）求y与x的函数关系式；

，那么他的月收（2）根据服装厂要求，小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的3

5入最高能达到多少元?

22. 某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母亲节”当天举办了某种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物

满188元者，有两种奖励方案供选择，一是直接获得18元的礼金券，二是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如表）．

（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．

（2）如果一名顾客当天在本店购物满188元，若只考虑获得最多的礼金券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．

23. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接

PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

，DE=16，求PD的长．

（2）若tanD=5

12

24. 如图，抛物线y=?x2+x+6与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，抛物线与y轴交

于点C，抛物线的顶点为D，直线l过点C交x轴于E(6,0)．

（1）写出顶点D的坐标和直线l的解析式；

（2）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于点M，交抛物线于点N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M?．探究：是否存在点Q，使得M?恰好落在y轴上?若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

25. （1）如图①，点A、点B在直线l的同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最

小（不需要说明理由）；

（2）如图②，菱形ABCD的边长为6，对角线AC=6√3，点E，F在AC上，且EF=2，求DE+BF的最小值；

（3）如图③，四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，四边形ABCD 的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

答案

第二部分 13. 3

16

【解析】过点 A 作 AE ⊥x 轴于点 E ，过点 C 作 CF ⊥x 轴于点 F ，

∵A 点的横坐标是 1，且在双曲线 y =4m x

上，

∴A (1,4m )， ∵∠ABC =90°，

∴∠ABE +∠CBF =∠BCF +∠CBF =90°，∠ABE =∠BCF ， ∴△ABE ∽△BCF ， ∴CF

BE =BF

AE =BC

AB =1

3， ∴CF =1

2，BF =4m 3

，

∴C (?1

2?

4m 3,12)，

∵ 双曲线 y =?2m x

经过 C 点，

∴1

2(?12?4m 3

)=?2m ，

∴m =316

．

14. 2

【解析】如图，延长 EP 交 BC 于点 F ，

∵∠APB =90°，∠APE =∠BPC =60°， ∴∠EPC =150°，

∴∠CPF =180°?150°=30°， ∴PF 平分 ∠BPC ， 又 ∵PB =PC ， ∴PF ⊥BC ，

设 Rt △ABP 中，AP =a ，BP =b ，则 CF =1

2CP =1

2b ，a 2+b 2=8， ∵△APE 和 △ABD 都是等边三角形，

∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，

在△EAD和△PAB中，

{AE=AP,

∠EAD=∠PAB, AD=AB,

∴△EAD≌△PAB(SAS)，

∴ED=PB=CP，

同理可得：△APB≌△DCB(SAS)，∴EP=AP=CD，

∴四边形CDEP是平行四边形，

∴S

四边形CDEP =EP×CF=a×1

2

b=1

2

ab，

又∵(a?b)2=a2?2ab+b2≥0，

∴2ab≤a2+b2=8，

∴1

2

ab≤2，即四边形PCDE面积的最大值为2．14. b(a+b)2

第三部分

15. 原式=2√3+1+2?6×√3 3

= 3. 16. 原方程可变为：

x+1 x?1?

4

(x+1)(x?1)

=1.

两边同时乘以(x+1)(x?1)，得：

(x+1)2?4=(x+1)(x?1).

解得：

x=1.

检验：把x=1代入(x+1)(x?1)得：

(x+1)(x?1)=0.

所以x=1不是方程的解，即原方程无解17. 连接OP并延长，过P作OP的垂线，即为⊙O的切线，如图所示：

18. （1）根据题意得：15÷3

10

=50（名），

则本次共抽取了50名九年级学生．

（2）去敬老院服务的学生有50?(25+15)=10（名）．

（3） 根据题意得：1400×

1050

=280（名），

则该中学九年级去敬老院的学生约有 280 名． 19. 因为四边形 ABCD 为矩形， 所以 ∠B =∠C =90°， 因为 EF ⊥AF ， 所以 ∠AFE =90°，

所以 ∠BAF +∠BFA =∠BFA +∠CFE =90°， 所以 ∠BAF =∠CFE ， 在 △ABF 和 △FCE 中，

{∠BAF =∠CFE,∠B =∠C,BF =CE.

所以 △ABF ≌△FCE ， 所以 AB =CF ． 20. 如图，

在 Rt △BDF 中，

∵∠DBF =60°，BD =4 km ， ∴BF =

BD cos60°

=8 km ，

∵AB =20 km ， ∴AF =12 km ，

∵∠AEF =∠BDF ，∠AFE =∠BFD ， ∴△AEF ∽△BDF ， ∴

AE AF

=

BD BF

，

∴AE =6 km ，

在 Rt △AEC 中，CE =AE ?tan74°≈20.9km ． 故这艘轮船的航行路程 CE 的长度是 20.9km ． ．

21. （1） 依题意得 y =20×4x +12×8(22?x )+900, 即 y 与 x 的函数关系式为 y =?16x +3012. （2） 依题意得 4x ≥3

5×8(22?x ),∴x ≥12． 在 y =?16x +3012 中，?16<0， ∴y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x =12 时，y 取得最大值， 此时 y =?16×12+3012=2820． 答：他月收入最高能达到 2820 元．

22. （1） 树状图为：

∴ 一共有 6 种等可能的情况，摇出一红一白的情况共有 4 种，摇出一红一白的概率 =2

3

．

（2） ∵ 两红的概率 P =16

，两白的概率 P =16

，一红一白的概率 P =2

3

，

∴ 摇奖的平均收益是：16×12+23×24+1

6×12=20（元）． ∵20>18，

∴ 顾客应该选择摇奖．

23. （1） 连接 OB ，则 OA =OB ，

∵OP ⊥AB ， ∴AC =BC ，

∴OP 是 AB 的垂直平分线， ∴PA =PB ，

在 △PAO 和 △PBO 中，

∵{AP =PB,OP =PO,OA =OB,

∴△PAO ≌△PBO ，

∴∠PBO =∠PAO ，PB =PA ， ∵PB 为 ⊙O 的切线，B 为切点， ∴∠PBO =90°，

∴∠PAO =90°，即 PA ⊥OA ， ∴PA 是 ⊙O 的切线． （2） ∵tanD =

512

，

∴ 设 AP =5x ，AD =12x ，则 PD =13x ，

∴BD =8x ，由切割线定理得，BD 2=DE ?AD ，即 (8x )2=16×(12x )， ∴x =3， ∴PD =39．

24. （1） 当 x =0 时，y =?x 2

+x +6=6，则 C (0,6)，y =?x 2

+x +6=?(x ?12)2

+234

，

则 D 点坐标为 (12,23

4)，

设直线 l 的解析式为 y =kx +b ，

把 C (0,6)，E (6,0) 代入得 {6k +b =0,b =6, 解得 {k =?1,

b =6,

∴ 直线 l 的解析式为 y =?x +6．

（2） 存在．直线 CN 交 x 轴于点 P ，作 PH ⊥l 于点 H ，如图，

利用折叠的性质得 CN 平分 ∠MCM?， 则根据角平分线的性质得 PO =PH ， 设 OP =t ，则 PH =t ，PE =6?t ， ∵OC =OE ，

∴△OCE 为等腰直角三角形， ∴∠PEH =45°，

∴△PEH 为等腰直角三角形，

∴PE =√2PH ，即 6?t =√2t ，解得 t =6(√2?1)， ∴P(6(√2?1),0)，

设直线 PC 的解析式为 y =mx +n ，

C (0,6)，P(6(√2?1),0) 代入得 {n =6,6(√2?1)m +n =0, 解得 {m =?(√2+1),n =6, ∴ 直线 PC 的解析式为 y =?(√2+1)x +6，

解方程组 {y =?x 2+x +6,y =?(√2+1)x +6, 得 {x =0,y =6 或 {x =2+√2,

y =2?3√2,

∴N(2+√2,2?3√2)， ∵QN ⊥x 轴， ∴Q(2+√2,0)．

25. （1） 如图 ① 中，作点 A 关于直线 l 的对称点 A?，连接 A?B 交直线 l 于点 P ，连接 PA ，则点 P 即为所求的点．

（2） 如图 ② 中，作 DM ∥AC ，使得 DM =EF =2，连接 BM 交 AC 于点 F ，

∵DM =EF ，DM ∥EF ， ∴ 四边形 DEFM 是平行四边形， ∴DE =FM ，

∴DE +BF =FM +FB =BM ，

根据两点之间线段最短可知，此时 DE +FB 最短， ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，AO =OC =3√3，

在 Rt △ADO 中，OD =√AD 2?OA 2=3， ∴BD =6， ∵DM ∥AC ，

∴∠MDB =∠BOC =90°，

∴BM =√BD 2+DM 2=√62+22=2√10． ∴DE +BF 的最小值为 2√10．

（3） 四边形 ABCD 的周长存在最大值．

如图 ③ 中，连接 AC ，BD ，在 AC 上取一点，使得 DM =DC ．

∵∠DAB=60°，∠DCB=120°，

∴∠DAB+∠DCB=180°，

∴A，B，C，D四点共圆，

∵AD=AB，∠DAB=60°，

∴△ADB是等边三角形，

∴∠ABD=∠ACD=60°，

∵DM=DC，

∴△DMC是等边三角形，

∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，∴∠ADM=∠BDC，

在△ADM和△BDC中，

{DM=DC,

∠ADM=∠BDC, AD=BD,

∴△ADM≌△BDC，

∴AM=BC，

∴AC=AM+MC=BC+CD，

∵四边形ABCD的周长=AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC，

∵AD=AB=6，

∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，

∴当AC为△ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大，易知AC的最大值=4√3，∴四边形ABCD的周长最大值为12+4√3．