函数的基本性质知识点和典型例题
学生： 年级： 班型：1对1 上课时间： （第 次课） 剩余课时： 上课容：函数的基本性质
一、函数的单调性：
1、定义域为I 的函数f （x ）在区间D 上的增减性
（1）共同条件：12
,
,D I x x D ??↓?∈?任意
（2）假设前提：12x x <。 （3）判断依据：
①若__________________，则f （x ）在区间D 上是增函数； ②若__________________，则f （x ）在区间D 上是增函数。 2、单调区间
如果函数y=f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，就说f （x ）在区间D 上具有（严格的）___________，区间D 叫做f （x ）的__________。 思考探究
1、把增（减）函数定义中的“任意两个自变量12,x x ”换成“存在两个自变量12,x x ”还能判断函数是增（减）函数吗？
2、把增（减）函数定义中的“某个区间D ”去掉，其余条件不变，能否判断函数的增减性？
3、所有的函数都具有单调性吗？ 自主测评
1、下列说确的是（ ）
A 、定义在(,)a b 上的函数f （x ），若存在12x x <时，有12()()f x f x <，那么f （x ）在(,)a b 上为增函数
B 、定义在(,)a b 上的函数f （x ），若有无穷多对12,(,)x x a b ∈使得12x x <时，有12()()f x f x <，那么f （x ）在(,)a b 上为增函数
C 、若f （x ）在区间I 1上为增函数，在区间I 2上也为增函数，那以f （x ）在I 1U I 2上也一定为增函数
D 、若f （x ）在区间I 上为增函数，且1212()()(,)f x f x x x I <∈，那么12x x <
在区间I 2上也为增函数，那以f （x ）在I 1U I 2上也一定为增函数
2、函数y=f （x ）的图象如较所示，其增区间是（ ） A 、[-4，4] B 、[-4，-3] U [1，4]
C 、[-3，1]
D 、[-3，4]
3、函数2
y x =-的单调区间是（ ） A 、[0，+∞）
B 、（-∞，0]
C 、（-∞，0）
D 、（-∞，+∞）
4、函数y=|x|的增区间是_________，减区间是_________。 典例探究突破
类型一：依据函数图象给出单调区间
例1：求下列函数的单调区间并指出其在单调区间上是增函数还是减函数。
21
(1)32;(2);(3)23y x y y x x x
=-=-=-++
变式：把（3）变成“2
2||3y x x =-++”先画出图象，再指明其单调区间，并写出它的值域。
类型二：单调性的证明 例2：判断函数1
1
y x =-的单调性，并用定义加以证明。
变式训练：证明：函数1
()f x x x
=+
在（0，1）上是减函数。
类型三：利用函数的单调性求参数的围
例3：函数2
3y ax bx =++在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，+∞）上是减函数，则（ ） A 、00b a ><且
B 、20b a =<
C 、20b a =>
D 、,a b 的符合不确定
变式训练：已知2
()26f x x mx =-+在（-∞，-1]上为减函数，则m 的围为_________。
二、函数的最大值、最小值：
思考探究
1、在最大（小）值定义中若把条件“存在0x I ∈，使得f （x 0）=M ”去掉，M 还是函数y=f （x ）的最大（小）值吗？
2、函数的最值与值域、单调性之间有什么关系？
3、函数最大值或最小值的几何意义是什么？
自主测评
1、在函数y=f （x ）的定义域中存在无数个实数满足f （x ）>M ，则（ ） A 、函数y=f （x ）的最小值为M B 、函数y=f （x ）的最大值为M C 、函数y=f （x ） 最小值
D 、不能确定M 是函数y=f （x ）的最小值
2、函数1(0)y ax a =+<在区间[0，2]上的最大值与最小值分别为（ ） A 、1，2a +1
B 、2a +1，1
C 、1+a ，1
D 、1，1+a
3、函数(),[1,2]y f x x =∈的图象如图所示，则该函数在[-1，2]上的最
大值为______，最小值为________。
4、函数2
21()y x x x R =++∈有最________值，为________，无最
________值。 典例探究突破
类型一：图象法求函数最值
例1：求函数|1||2|y x x =+--的最大值和最小值。
变式训练：求函数|1||1|y x x =+--的最值。
类型二：利用单调性求函数最值
例2：已在函数1().f x x x
=+
（1）证明：()f x 在(1,)+∞是增函数； （2）求()f x 在[2，4]上的最值。
类型三：与最值有关的应用问题
例3：某厂准备投资100万生产A ，B 两种新产品，据测算，投资后的年收益，A 产品是总投入的1/5，B 产品则是总投入开平方后的2倍，问应该怎样分配投主数，使这两种产品的年总收益最大？
变式训练：某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每减少10元，直至每降为450为止，每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元，假设一个旅行团不能超过70人。 （1） 写出飞机票的价格关于人数的函数式；
（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
三、函数的奇偶性：
1、偶函数
（1）定义：对于函数f（x）的定义域_________x，都有_________，那么f（x）叫做偶函数。
（2）图象特征：图象关于_________对称。
2、奇函数
（1）定义：对于函数f（x）的定义域_________x，都有_________，那么函数f（x）叫做奇函数。
（2）图象特征：图象关于_________对称。
思考探究
1、奇（偶）函数的定义域有何特征？
2、奇函数、偶函数的图象有何特点？
3、若奇函数f（x）在x=0处有定义，则f（0）是定值吗？
自主测评
1、函数y+x是（）
A、奇函数
B、偶函数
C、奇函数又是偶函数
D、非奇非偶函数
2、函数f（x）=x2的图象（）
A、关于x对称
B、关于y对称
C、关于原点对称
D、关于y=x对称
3、如果定义在区间[2-a，4]上的函数f（x）为偶函数，那么a=_________。
4、已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=3，则f（-2）等于_______。
典例探究突破
类型一：判断函数的奇偶性
例1：判断列列函数的奇偶性
3
=+===
(1)()2;(2)()()||;(4)()0.
f x x x f x f x x f x
变式训练：判断下列函数的奇偶性
24
2
2323(1)()3;(2)();(3)().13
x x x
f x x x f x f x x x +=-==++
类型二：利用奇偶性作图
例2：如图是给出的奇函数y=f （x ）在区间（-∞，0] 上的图象，试作出函数在 [0，+∞）上的图象，并求出f （3）的值。
变式训练：已知函数2
1
()1
f x x =+在[0，+∞）上的图象如图所示，请据此在该坐标系中补全函数()f x 在其定义域的图象。
类型三：利用函数的奇偶性求解析式
例3：已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x>0时，2
()231,f x x x =-++求： （1）(0)f ；
（2）当x<0时，()f x 的解析式； （3）()f x 在R 上的解析式。
f x的解析式。
变式：本例中若把“奇函数”换成“偶函数”，求x<0时()
课后练习:
1.下列函数中，是奇函数的为().
A. B. C. D.
2.已知奇函数在区间上的图像如图，则不等式的解集是().
A. B.
C. D.
3.设是定义在上的奇函数，当时，，则 .
4.已知，则函数的单调增区间是 .
5．某水果批发市场规定：批发水果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购水果，并以批发价买进水果x千克，小王付款后剩余现金为y元，则x与y之间的函数关系为( )．
A．y＝3 000－2.5x，(100≤x≤1 200)
B．y＝3 000－2.5x，(100＜x＜1 200)
C．y＝3 000－100x，(100＜x＜1 200)
D．y＝3 000－100x，(100≤x≤1 200)
6. 设函数)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若1)1(>f ，1
4
3)2(+-=
a a f ，则a 的取值围是（ ） （A ）43<
a （B ）4
3